حساب التفاضل والتكامل الأمثلة

$y = \frac{\sin (3 x)}{\tan (x)}$

خطوة 1

أعِد كتابة $\tan (x)$ من حيث الجيوب وجيوب التمام.

$\frac{d}{d x} [\frac{\sin (3 x)}{\frac{\sin (x)}{\cos (x)}}]$

خطوة 2

اضرب في مقلوب الكسر للقسمة على $\frac{\sin (x)}{\cos (x)}$ .

$\frac{d}{d x} [\frac{\sin (3 x) \cos (x)}{\sin (x)}]$

خطوة 3

حوّل من $\frac{\sin (3 x) \cos (x)}{\sin (x)}$ إلى $\sin (3 x) \cot (x)$ .

$\frac{d}{d x} [\sin (3 x) \cot (x)]$

خطوة 4

أوجِد المشتقة باستخدام قاعدة الضرب التي تنص على أن $\frac{d}{d x} [f (x) g (x)]$ هو $f (x) \frac{d}{d x} [g (x)] + g (x) \frac{d}{d x} [f (x)]$ حيث $f (x) = \sin (3 x)$ و $g (x) = \cot (x)$ .

$\sin (3 x) \frac{d}{d x} [\cot (x)] + \cot (x) \frac{d}{d x} [\sin (3 x)]$

خطوة 5

مشتق $\cot (x)$ بالنسبة إلى $x$ يساوي $- \csc^{2} (x)$ .

$\sin (3 x) (- \csc^{2} (x)) + \cot (x) \frac{d}{d x} [\sin (3 x)]$

خطوة 6

أوجِد المشتقة باستخدام قاعدة السلسلة، والتي تنص على أن $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ هو $f' (g (x)) g' (x)$ حيث $f (x) = \sin (x)$ و $g (x) = 3 x$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 6.1

لتطبيق قاعدة السلسلة، عيّن قيمة $u$ لتصبح $3 x$ .

$\sin (3 x) (- \csc^{2} (x)) + \cot (x) (\frac{d}{d u} [\sin (u)] \frac{d}{d x} [3 x])$

خطوة 6.2

مشتق $\sin (u)$ بالنسبة إلى $u$ يساوي $\cos (u)$ .

$\sin (3 x) (- \csc^{2} (x)) + \cot (x) (\cos (u) \frac{d}{d x} [3 x])$

خطوة 6.3

استبدِل كافة حالات حدوث $u$ بـ $3 x$ .

$\sin (3 x) (- \csc^{2} (x)) + \cot (x) (\cos (3 x) \frac{d}{d x} [3 x])$

خطوة 7

أوجِد المشتقة.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 7.1

بما أن $3$ عدد ثابت بالنسبة إلى $x$ ، إذن مشتق $3 x$ بالنسبة إلى $x$ يساوي $3 \frac{d}{d x} [x]$ .

$\sin (3 x) (- \csc^{2} (x)) + \cot (x) \cos (3 x) (3 \frac{d}{d x} [x])$

خطوة 7.2

أوجِد المشتقة باستخدام قاعدة القوة التي تنص على أن $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ هو $n x^{n - 1}$ حيث $n = 1$ .

$\sin (3 x) (- \csc^{2} (x)) + \cot (x) \cos (3 x) (3 \cdot 1)$

خطوة 7.3

بسّط العبارة.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 7.3.1

اضرب $3$ في $1$ .

$\sin (3 x) (- \csc^{2} (x)) + \cot (x) \cos (3 x) \cdot 3$

خطوة 7.3.2

انقُل $3$ إلى يسار $\cot (x) \cos (3 x)$ .

$\sin (3 x) (- \csc^{2} (x)) + 3 \cdot (\cot (x) \cos (3 x))$

خطوة 8

بسّط.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 8.1

أعِد ترتيب الحدود.

$- \csc^{2} (x) \sin (3 x) + 3 \cos (3 x) \cot (x)$

خطوة 8.2

بسّط كل حد.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 8.2.1

أعِد كتابة $\csc (x)$ من حيث الجيوب وجيوب التمام.

$- {(\frac{1}{\sin (x)})}^{2} \sin (3 x) + 3 \cos (3 x) \cot (x)$

خطوة 8.2.2

طبّق قاعدة الضرب على $\frac{1}{\sin (x)}$ .

$- \frac{1^{2}}{\sin^{2} (x)} \sin (3 x) + 3 \cos (3 x) \cot (x)$

خطوة 8.2.3

العدد واحد مرفوع لأي قوة يساوي واحدًا.

$- \frac{1}{\sin^{2} (x)} \sin (3 x) + 3 \cos (3 x) \cot (x)$

خطوة 8.2.4

اجمع $\sin (3 x)$ و $\frac{1}{\sin^{2} (x)}$ .

$- \frac{\sin (3 x)}{\sin^{2} (x)} + 3 \cos (3 x) \cot (x)$

خطوة 8.2.5

أعِد كتابة $\cot (x)$ من حيث الجيوب وجيوب التمام.

$- \frac{\sin (3 x)}{\sin^{2} (x)} + 3 \cos (3 x) \frac{\cos (x)}{\sin (x)}$

خطوة 8.2.6

اضرب $3 \cos (3 x) \frac{\cos (x)}{\sin (x)}$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 8.2.6.1

اجمع $\frac{\cos (x)}{\sin (x)}$ و $3$ .

$- \frac{\sin (3 x)}{\sin^{2} (x)} + \frac{\cos (x) \cdot 3}{\sin (x)} \cos (3 x)$

خطوة 8.2.6.2

اجمع $\frac{\cos (x) \cdot 3}{\sin (x)}$ و $\cos (3 x)$ .

$- \frac{\sin (3 x)}{\sin^{2} (x)} + \frac{\cos (x) \cdot 3 \cos (3 x)}{\sin (x)}$

خطوة 8.2.7

انقُل $3$ إلى يسار $\cos (x)$ .

$- \frac{\sin (3 x)}{\sin^{2} (x)} + \frac{3 \cos (x) \cos (3 x)}{\sin (x)}$

خطوة 8.3

بسّط كل حد.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 8.3.1

أخرِج العامل $\sin (x)$ من $\sin^{2} (x)$ .

$- \frac{\sin (3 x)}{\sin (x) \sin (x)} + \frac{3 \cos (x) \cos (3 x)}{\sin (x)}$

خطوة 8.3.2

افصِل الكسور.

$- (\frac{1}{\sin (x)} \cdot \frac{\sin (3 x)}{\sin (x)}) + \frac{3 \cos (x) \cos (3 x)}{\sin (x)}$

خطوة 8.3.3

أعِد كتابة $\frac{\sin (3 x)}{\sin (x)}$ في صورة حاصل ضرب.

$- (\frac{1}{\sin (x)} (\sin (3 x) \frac{1}{\sin (x)})) + \frac{3 \cos (x) \cos (3 x)}{\sin (x)}$

خطوة 8.3.4

اكتب $\sin (3 x)$ على هيئة كسر قاسمه $1$ .

$- (\frac{1}{\sin (x)} (\frac{\sin (3 x)}{1} \cdot \frac{1}{\sin (x)})) + \frac{3 \cos (x) \cos (3 x)}{\sin (x)}$

خطوة 8.3.5

بسّط.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 8.3.5.1

اقسِم $\sin (3 x)$ على $1$ .

$- (\frac{1}{\sin (x)} (\sin (3 x) \frac{1}{\sin (x)})) + \frac{3 \cos (x) \cos (3 x)}{\sin (x)}$

خطوة 8.3.5.2

حوّل من $\frac{1}{\sin (x)}$ إلى $\csc (x)$ .

$- (\frac{1}{\sin (x)} (\sin (3 x) \csc (x))) + \frac{3 \cos (x) \cos (3 x)}{\sin (x)}$

خطوة 8.3.6

حوّل من $\frac{1}{\sin (x)}$ إلى $\csc (x)$ .

$- (\csc (x) (\sin (3 x) \csc (x))) + \frac{3 \cos (x) \cos (3 x)}{\sin (x)}$

خطوة 8.3.7

اضرب $\csc (x) (\sin (3 x) \csc (x))$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 8.3.7.1

ارفع $\csc (x)$ إلى القوة $1$ .

$- (\csc^{1} (x) \csc (x) \sin (3 x)) + \frac{3 \cos (x) \cos (3 x)}{\sin (x)}$

خطوة 8.3.7.2

ارفع $\csc (x)$ إلى القوة $1$ .

$- (\csc^{1} (x) \csc^{1} (x) \sin (3 x)) + \frac{3 \cos (x) \cos (3 x)}{\sin (x)}$

خطوة 8.3.7.3

استخدِم قاعدة القوة $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ لتجميع الأُسس.

$- ({\csc (x)}^{1 + 1} \sin (3 x)) + \frac{3 \cos (x) \cos (3 x)}{\sin (x)}$

خطوة 8.3.7.4

أضف $1$ و $1$ .

$- (\csc^{2} (x) \sin (3 x)) + \frac{3 \cos (x) \cos (3 x)}{\sin (x)}$

خطوة 8.3.8

افصِل الكسور.

$- \csc^{2} (x) \sin (3 x) + \frac{3 \cos (3 x)}{1} \cdot \frac{\cos (x)}{\sin (x)}$

خطوة 8.3.9

حوّل من $\frac{\cos (x)}{\sin (x)}$ إلى $\cot (x)$ .

$- \csc^{2} (x) \sin (3 x) + \frac{3 \cos (3 x)}{1} \cot (x)$

خطوة 8.3.10

اقسِم $3 \cos (3 x)$ على $1$ .

$- \csc^{2} (x) \sin (3 x) + 3 \cos (3 x) \cot (x)$