حساب التفاضل والتكامل الأمثلة

$y = \sin^{5} (\cos (3 x))$

خطوة 1

أوجِد المشتقة باستخدام قاعدة السلسلة، والتي تنص على أن $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ هو $f' (g (x)) g' (x)$ حيث $f (x) = x^{5}$ و $g (x) = \sin (\cos (3 x))$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 1.1

لتطبيق قاعدة السلسلة، عيّن قيمة $u_{1}$ لتصبح $\sin (\cos (3 x))$ .

$\frac{d}{d u_{1}} [{u_{1}}^{5}] \frac{d}{d x} [\sin (\cos (3 x))]$

خطوة 1.2

أوجِد المشتقة باستخدام قاعدة القوة التي تنص على أن $\frac{d}{d u_{1}} [{u_{1}}^{n}]$ هو $n {u_{1}}^{n - 1}$ حيث $n = 5$ .

$5 {u_{1}}^{4} \frac{d}{d x} [\sin (\cos (3 x))]$

خطوة 1.3

استبدِل كافة حالات حدوث $u_{1}$ بـ $\sin (\cos (3 x))$ .

$5 \sin^{4} (\cos (3 x)) \frac{d}{d x} [\sin (\cos (3 x))]$

خطوة 2

أوجِد المشتقة باستخدام قاعدة السلسلة، والتي تنص على أن $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ هو $f' (g (x)) g' (x)$ حيث $f (x) = \sin (x)$ و $g (x) = \cos (3 x)$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 2.1

لتطبيق قاعدة السلسلة، عيّن قيمة $u_{2}$ لتصبح $\cos (3 x)$ .

$5 \sin^{4} (\cos (3 x)) (\frac{d}{d u_{2}} [\sin (u_{2})] \frac{d}{d x} [\cos (3 x)])$

خطوة 2.2

مشتق $\sin (u_{2})$ بالنسبة إلى $u_{2}$ يساوي $\cos (u_{2})$ .

$5 \sin^{4} (\cos (3 x)) (\cos (u_{2}) \frac{d}{d x} [\cos (3 x)])$

خطوة 2.3

استبدِل كافة حالات حدوث $u_{2}$ بـ $\cos (3 x)$ .

$5 \sin^{4} (\cos (3 x)) (\cos (\cos (3 x)) \frac{d}{d x} [\cos (3 x)])$

خطوة 3

أوجِد المشتقة باستخدام قاعدة السلسلة، والتي تنص على أن $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ هو $f' (g (x)) g' (x)$ حيث $f (x) = \cos (x)$ و $g (x) = 3 x$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 3.1

لتطبيق قاعدة السلسلة، عيّن قيمة $u_{3}$ لتصبح $3 x$ .

$5 \sin^{4} (\cos (3 x)) \cos (\cos (3 x)) (\frac{d}{d u_{3}} [\cos (u_{3})] \frac{d}{d x} [3 x])$

خطوة 3.2

مشتق $\cos (u_{3})$ بالنسبة إلى $u_{3}$ يساوي $- \sin (u_{3})$ .

$5 \sin^{4} (\cos (3 x)) \cos (\cos (3 x)) (- \sin (u_{3}) \frac{d}{d x} [3 x])$

خطوة 3.3

استبدِل كافة حالات حدوث $u_{3}$ بـ $3 x$ .

$5 \sin^{4} (\cos (3 x)) \cos (\cos (3 x)) (- \sin (3 x) \frac{d}{d x} [3 x])$

خطوة 4

أوجِد المشتقة.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 4.1

اضرب $- 1$ في $5$ .

$- 5 \sin^{4} (\cos (3 x)) \cos (\cos (3 x)) (\sin (3 x) \frac{d}{d x} [3 x])$

خطوة 4.2

بما أن $3$ عدد ثابت بالنسبة إلى $x$ ، إذن مشتق $3 x$ بالنسبة إلى $x$ يساوي $3 \frac{d}{d x} [x]$ .

$- 5 \sin^{4} (\cos (3 x)) \cos (\cos (3 x)) \sin (3 x) (3 \frac{d}{d x} [x])$

خطوة 4.3

اضرب $3$ في $- 5$ .

$- 15 \sin^{4} (\cos (3 x)) \cos (\cos (3 x)) \sin (3 x) \frac{d}{d x} [x]$

خطوة 4.4

أوجِد المشتقة باستخدام قاعدة القوة التي تنص على أن $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ هو $n x^{n - 1}$ حيث $n = 1$ .

$- 15 \sin^{4} (\cos (3 x)) \cos (\cos (3 x)) \sin (3 x) \cdot 1$

خطوة 4.5

اضرب $- 15$ في $1$ .

$- 15 \sin^{4} (\cos (3 x)) \cos (\cos (3 x)) \sin (3 x)$