حساب التفاضل والتكامل الأمثلة

$y = \sqrt{\frac{x - 3}{x^{6} + 2}}$

خطوة 1

استخدِم $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ لكتابة $\sqrt{\frac{x - 3}{x^{6} + 2}}$ في صورة ${(\frac{x - 3}{x^{6} + 2})}^{\frac{1}{2}}$ .

$\frac{d}{d x} [{(\frac{x - 3}{x^{6} + 2})}^{\frac{1}{2}}]$

خطوة 2

أوجِد المشتقة باستخدام قاعدة السلسلة، والتي تنص على أن $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ هو $f' (g (x)) g' (x)$ حيث $f (x) = x^{\frac{1}{2}}$ و $g (x) = \frac{x - 3}{x^{6} + 2}$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 2.1

لتطبيق قاعدة السلسلة، عيّن قيمة $u$ لتصبح $\frac{x - 3}{x^{6} + 2}$ .

$\frac{d}{d u} [u^{\frac{1}{2}}] \frac{d}{d x} [\frac{x - 3}{x^{6} + 2}]$

خطوة 2.2

أوجِد المشتقة باستخدام قاعدة القوة التي تنص على أن $\frac{d}{d u} [u^{n}]$ هو $n u^{n - 1}$ حيث $n = \frac{1}{2}$ .

$\frac{1}{2} u^{\frac{1}{2} - 1} \frac{d}{d x} [\frac{x - 3}{x^{6} + 2}]$

خطوة 2.3

استبدِل كافة حالات حدوث $u$ بـ $\frac{x - 3}{x^{6} + 2}$ .

$\frac{1}{2} {(\frac{x - 3}{x^{6} + 2})}^{\frac{1}{2} - 1} \frac{d}{d x} [\frac{x - 3}{x^{6} + 2}]$

خطوة 3

لكتابة $- 1$ على هيئة كسر بقاسم مشترك، اضرب في $\frac{2}{2}$ .

$\frac{1}{2} {(\frac{x - 3}{x^{6} + 2})}^{\frac{1}{2} - 1 \cdot \frac{2}{2}} \frac{d}{d x} [\frac{x - 3}{x^{6} + 2}]$

خطوة 4

اجمع $- 1$ و $\frac{2}{2}$ .

$\frac{1}{2} {(\frac{x - 3}{x^{6} + 2})}^{\frac{1}{2} + \frac{- 1 \cdot 2}{2}} \frac{d}{d x} [\frac{x - 3}{x^{6} + 2}]$

خطوة 5

اجمع البسوط على القاسم المشترك.

$\frac{1}{2} {(\frac{x - 3}{x^{6} + 2})}^{\frac{1 - 1 \cdot 2}{2}} \frac{d}{d x} [\frac{x - 3}{x^{6} + 2}]$

خطوة 6

بسّط بَسْط الكسر.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 6.1

اضرب $- 1$ في $2$ .

$\frac{1}{2} {(\frac{x - 3}{x^{6} + 2})}^{\frac{1 - 2}{2}} \frac{d}{d x} [\frac{x - 3}{x^{6} + 2}]$

خطوة 6.2

اطرح $2$ من $1$ .

$\frac{1}{2} {(\frac{x - 3}{x^{6} + 2})}^{\frac{- 1}{2}} \frac{d}{d x} [\frac{x - 3}{x^{6} + 2}]$

خطوة 7

انقُل السالب أمام الكسر.

$\frac{1}{2} {(\frac{x - 3}{x^{6} + 2})}^{- \frac{1}{2}} \frac{d}{d x} [\frac{x - 3}{x^{6} + 2}]$

خطوة 8

أوجِد المشتقة باستخدام قاعدة القسمة التي تنص على أن $\frac{d}{d x} [\frac{f (x)}{g (x)}]$ هو $\frac{g (x) \frac{d}{d x} [f (x)] - f (x) \frac{d}{d x} [g (x)]}{{g (x)}^{2}}$ حيث $f (x) = x - 3$ و $g (x) = x^{6} + 2$ .

$\frac{1}{2} {(\frac{x - 3}{x^{6} + 2})}^{- \frac{1}{2}} \frac{(x^{6} + 2) \frac{d}{d x} [x - 3] - (x - 3) \frac{d}{d x} [x^{6} + 2]}{{(x^{6} + 2)}^{2}}$

خطوة 9

أوجِد المشتقة.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 9.1

وفقًا لقاعدة الجمع، فإن مشتق $x - 3$ بالنسبة إلى $x$ هو $\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [- 3]$ .

$\frac{1}{2} {(\frac{x - 3}{x^{6} + 2})}^{- \frac{1}{2}} \frac{(x^{6} + 2) (\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [- 3]) - (x - 3) \frac{d}{d x} [x^{6} + 2]}{{(x^{6} + 2)}^{2}}$

خطوة 9.2

أوجِد المشتقة باستخدام قاعدة القوة التي تنص على أن $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ هو $n x^{n - 1}$ حيث $n = 1$ .

$\frac{1}{2} {(\frac{x - 3}{x^{6} + 2})}^{- \frac{1}{2}} \frac{(x^{6} + 2) (1 + \frac{d}{d x} [- 3]) - (x - 3) \frac{d}{d x} [x^{6} + 2]}{{(x^{6} + 2)}^{2}}$

خطوة 9.3

بما أن $- 3$ عدد ثابت بالنسبة إلى $x$ ، فإن مشتق $- 3$ بالنسبة إلى $x$ هو $0$ .

$\frac{1}{2} {(\frac{x - 3}{x^{6} + 2})}^{- \frac{1}{2}} \frac{(x^{6} + 2) (1 + 0) - (x - 3) \frac{d}{d x} [x^{6} + 2]}{{(x^{6} + 2)}^{2}}$

خطوة 9.4

بسّط العبارة.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 9.4.1

أضف $1$ و $0$ .

$\frac{1}{2} {(\frac{x - 3}{x^{6} + 2})}^{- \frac{1}{2}} \frac{(x^{6} + 2) \cdot 1 - (x - 3) \frac{d}{d x} [x^{6} + 2]}{{(x^{6} + 2)}^{2}}$

خطوة 9.4.2

اضرب $x^{6} + 2$ في $1$ .

$\frac{1}{2} {(\frac{x - 3}{x^{6} + 2})}^{- \frac{1}{2}} \frac{x^{6} + 2 - (x - 3) \frac{d}{d x} [x^{6} + 2]}{{(x^{6} + 2)}^{2}}$

خطوة 9.5

وفقًا لقاعدة الجمع، فإن مشتق $x^{6} + 2$ بالنسبة إلى $x$ هو $\frac{d}{d x} [x^{6}] + \frac{d}{d x} [2]$ .

$\frac{1}{2} {(\frac{x - 3}{x^{6} + 2})}^{- \frac{1}{2}} \frac{x^{6} + 2 - (x - 3) (\frac{d}{d x} [x^{6}] + \frac{d}{d x} [2])}{{(x^{6} + 2)}^{2}}$

خطوة 9.6

أوجِد المشتقة باستخدام قاعدة القوة التي تنص على أن $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ هو $n x^{n - 1}$ حيث $n = 6$ .

$\frac{1}{2} {(\frac{x - 3}{x^{6} + 2})}^{- \frac{1}{2}} \frac{x^{6} + 2 - (x - 3) (6 x^{5} + \frac{d}{d x} [2])}{{(x^{6} + 2)}^{2}}$

خطوة 9.7

بما أن $2$ عدد ثابت بالنسبة إلى $x$ ، فإن مشتق $2$ بالنسبة إلى $x$ هو $0$ .

$\frac{1}{2} {(\frac{x - 3}{x^{6} + 2})}^{- \frac{1}{2}} \frac{x^{6} + 2 - (x - 3) (6 x^{5} + 0)}{{(x^{6} + 2)}^{2}}$

خطوة 9.8

اجمع الكسور.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 9.8.1

أضف $6 x^{5}$ و $0$ .

$\frac{1}{2} {(\frac{x - 3}{x^{6} + 2})}^{- \frac{1}{2}} \frac{x^{6} + 2 - (x - 3) (6 x^{5})}{{(x^{6} + 2)}^{2}}$

خطوة 9.8.2

اضرب $6$ في $- 1$ .

$\frac{1}{2} {(\frac{x - 3}{x^{6} + 2})}^{- \frac{1}{2}} \frac{x^{6} + 2 - 6 (x - 3) x^{5}}{{(x^{6} + 2)}^{2}}$

خطوة 9.8.3

اضرب $\frac{x^{6} + 2 - 6 (x - 3) x^{5}}{{(x^{6} + 2)}^{2}}$ في $\frac{1}{2}$ .

$\frac{x^{6} + 2 - 6 (x - 3) x^{5}}{{(x^{6} + 2)}^{2} \cdot 2} {(\frac{x - 3}{x^{6} + 2})}^{- \frac{1}{2}}$

خطوة 9.8.4

انقُل $2$ إلى يسار ${(x^{6} + 2)}^{2}$ .

$\frac{x^{6} + 2 - 6 (x - 3) x^{5}}{2 \cdot {(x^{6} + 2)}^{2}} {(\frac{x - 3}{x^{6} + 2})}^{- \frac{1}{2}}$

خطوة 10

بسّط.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 10.1

غيّر علامة الأُس بإعادة كتابة الأساس في صورة مقلوبه.

$\frac{x^{6} + 2 - 6 (x - 3) x^{5}}{2 {(x^{6} + 2)}^{2}} {(\frac{x^{6} + 2}{x - 3})}^{\frac{1}{2}}$

خطوة 10.2

طبّق قاعدة الضرب على $\frac{x^{6} + 2}{x - 3}$ .

$\frac{x^{6} + 2 - 6 (x - 3) x^{5}}{2 {(x^{6} + 2)}^{2}} \cdot \frac{{(x^{6} + 2)}^{\frac{1}{2}}}{{(x - 3)}^{\frac{1}{2}}}$

خطوة 10.3

طبّق خاصية التوزيع.

$\frac{x^{6} + 2 + (- 6 x - 6 \cdot - 3) x^{5}}{2 {(x^{6} + 2)}^{2}} \cdot \frac{{(x^{6} + 2)}^{\frac{1}{2}}}{{(x - 3)}^{\frac{1}{2}}}$

خطوة 10.4

طبّق خاصية التوزيع.

$\frac{x^{6} + 2 - 6 x \cdot x^{5} - 6 \cdot - 3 x^{5}}{2 {(x^{6} + 2)}^{2}} \cdot \frac{{(x^{6} + 2)}^{\frac{1}{2}}}{{(x - 3)}^{\frac{1}{2}}}$

خطوة 10.5

جمّع الحدود.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 10.5.1

اضرب $x$ في $x^{5}$ بجمع الأُسس.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 10.5.1.1

انقُل $x^{5}$ .

$\frac{x^{6} + 2 - 6 (x^{5} x) - 6 \cdot - 3 x^{5}}{2 {(x^{6} + 2)}^{2}} \cdot \frac{{(x^{6} + 2)}^{\frac{1}{2}}}{{(x - 3)}^{\frac{1}{2}}}$

خطوة 10.5.1.2

اضرب $x^{5}$ في $x$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 10.5.1.2.1

ارفع $x$ إلى القوة $1$ .

$\frac{x^{6} + 2 - 6 (x^{5} x^{1}) - 6 \cdot - 3 x^{5}}{2 {(x^{6} + 2)}^{2}} \cdot \frac{{(x^{6} + 2)}^{\frac{1}{2}}}{{(x - 3)}^{\frac{1}{2}}}$

خطوة 10.5.1.2.2

استخدِم قاعدة القوة $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ لتجميع الأُسس.

$\frac{x^{6} + 2 - 6 x^{5 + 1} - 6 \cdot - 3 x^{5}}{2 {(x^{6} + 2)}^{2}} \cdot \frac{{(x^{6} + 2)}^{\frac{1}{2}}}{{(x - 3)}^{\frac{1}{2}}}$

خطوة 10.5.1.3

أضف $5$ و $1$ .

$\frac{x^{6} + 2 - 6 x^{6} - 6 \cdot - 3 x^{5}}{2 {(x^{6} + 2)}^{2}} \cdot \frac{{(x^{6} + 2)}^{\frac{1}{2}}}{{(x - 3)}^{\frac{1}{2}}}$

خطوة 10.5.2

اضرب $- 6$ في $- 3$ .

$\frac{x^{6} + 2 - 6 x^{6} + 18 x^{5}}{2 {(x^{6} + 2)}^{2}} \cdot \frac{{(x^{6} + 2)}^{\frac{1}{2}}}{{(x - 3)}^{\frac{1}{2}}}$

خطوة 10.5.3

اطرح $6 x^{6}$ من $x^{6}$ .

$\frac{- 5 x^{6} + 2 + 18 x^{5}}{2 {(x^{6} + 2)}^{2}} \cdot \frac{{(x^{6} + 2)}^{\frac{1}{2}}}{{(x - 3)}^{\frac{1}{2}}}$

خطوة 10.5.4

اضرب $\frac{- 5 x^{6} + 2 + 18 x^{5}}{2 {(x^{6} + 2)}^{2}}$ في $\frac{{(x^{6} + 2)}^{\frac{1}{2}}}{{(x - 3)}^{\frac{1}{2}}}$ .

$\frac{(- 5 x^{6} + 2 + 18 x^{5}) {(x^{6} + 2)}^{\frac{1}{2}}}{2 {(x^{6} + 2)}^{2} {(x - 3)}^{\frac{1}{2}}}$

خطوة 10.5.5

انقُل ${(x^{6} + 2)}^{\frac{1}{2}}$ إلى القاسم باستخدام قاعدة الأُسس السالبة $b^{n} = \frac{1}{b^{- n}}$ .

$\frac{- 5 x^{6} + 2 + 18 x^{5}}{2 {(x^{6} + 2)}^{2} {(x - 3)}^{\frac{1}{2}} {(x^{6} + 2)}^{- \frac{1}{2}}}$

خطوة 10.5.6

اضرب ${(x^{6} + 2)}^{2}$ في ${(x^{6} + 2)}^{- \frac{1}{2}}$ بجمع الأُسس.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 10.5.6.1

انقُل ${(x^{6} + 2)}^{- \frac{1}{2}}$ .

$\frac{- 5 x^{6} + 2 + 18 x^{5}}{2 ({(x^{6} + 2)}^{- \frac{1}{2}} {(x^{6} + 2)}^{2}) {(x - 3)}^{\frac{1}{2}}}$

خطوة 10.5.6.2

استخدِم قاعدة القوة $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ لتجميع الأُسس.

$\frac{- 5 x^{6} + 2 + 18 x^{5}}{2 {(x^{6} + 2)}^{- \frac{1}{2} + 2} {(x - 3)}^{\frac{1}{2}}}$

خطوة 10.5.6.3

لكتابة $2$ على هيئة كسر بقاسم مشترك، اضرب في $\frac{2}{2}$ .

$\frac{- 5 x^{6} + 2 + 18 x^{5}}{2 {(x^{6} + 2)}^{- \frac{1}{2} + 2 \cdot \frac{2}{2}} {(x - 3)}^{\frac{1}{2}}}$

خطوة 10.5.6.4

اجمع $2$ و $\frac{2}{2}$ .

$\frac{- 5 x^{6} + 2 + 18 x^{5}}{2 {(x^{6} + 2)}^{- \frac{1}{2} + \frac{2 \cdot 2}{2}} {(x - 3)}^{\frac{1}{2}}}$

خطوة 10.5.6.5

اجمع البسوط على القاسم المشترك.

$\frac{- 5 x^{6} + 2 + 18 x^{5}}{2 {(x^{6} + 2)}^{\frac{- 1 + 2 \cdot 2}{2}} {(x - 3)}^{\frac{1}{2}}}$

خطوة 10.5.6.6

بسّط بَسْط الكسر.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 10.5.6.6.1

اضرب $2$ في $2$ .

$\frac{- 5 x^{6} + 2 + 18 x^{5}}{2 {(x^{6} + 2)}^{\frac{- 1 + 4}{2}} {(x - 3)}^{\frac{1}{2}}}$

خطوة 10.5.6.6.2

أضف $- 1$ و $4$ .

$\frac{- 5 x^{6} + 2 + 18 x^{5}}{2 {(x^{6} + 2)}^{\frac{3}{2}} {(x - 3)}^{\frac{1}{2}}}$

خطوة 10.6

أعِد ترتيب الحدود.

$\frac{- 5 x^{6} + 18 x^{5} + 2}{2 {(x^{6} + 2)}^{\frac{3}{2}} {(x - 3)}^{\frac{1}{2}}}$

خطوة 10.7

أخرِج العامل $- 1$ من $- 5 x^{6}$ .

$\frac{- (5 x^{6}) + 18 x^{5} + 2}{2 {(x^{6} + 2)}^{\frac{3}{2}} {(x - 3)}^{\frac{1}{2}}}$

خطوة 10.8

أخرِج العامل $- 1$ من $18 x^{5}$ .

$\frac{- (5 x^{6}) - (- 18 x^{5}) + 2}{2 {(x^{6} + 2)}^{\frac{3}{2}} {(x - 3)}^{\frac{1}{2}}}$

خطوة 10.9

أخرِج العامل $- 1$ من $- (5 x^{6}) - (- 18 x^{5})$ .

$\frac{- (5 x^{6} - 18 x^{5}) + 2}{2 {(x^{6} + 2)}^{\frac{3}{2}} {(x - 3)}^{\frac{1}{2}}}$

خطوة 10.10

أعِد كتابة $2$ بالصيغة $- 1 (- 2)$ .

$\frac{- (5 x^{6} - 18 x^{5}) - 1 (- 2)}{2 {(x^{6} + 2)}^{\frac{3}{2}} {(x - 3)}^{\frac{1}{2}}}$

خطوة 10.11

أخرِج العامل $- 1$ من $- (5 x^{6} - 18 x^{5}) - 1 (- 2)$ .

$\frac{- (5 x^{6} - 18 x^{5} - 2)}{2 {(x^{6} + 2)}^{\frac{3}{2}} {(x - 3)}^{\frac{1}{2}}}$

خطوة 10.12

أعِد كتابة $- (5 x^{6} - 18 x^{5} - 2)$ بالصيغة $- 1 (5 x^{6} - 18 x^{5} - 2)$ .

$\frac{- 1 (5 x^{6} - 18 x^{5} - 2)}{2 {(x^{6} + 2)}^{\frac{3}{2}} {(x - 3)}^{\frac{1}{2}}}$

خطوة 10.13

انقُل السالب أمام الكسر.

$- \frac{5 x^{6} - 18 x^{5} - 2}{2 {(x^{6} + 2)}^{\frac{3}{2}} {(x - 3)}^{\frac{1}{2}}}$