حساب التفاضل والتكامل الأمثلة

$y = \arctan (\ln (4 x))$

خطوة 1

أوجِد المشتقة باستخدام قاعدة السلسلة، والتي تنص على أن $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ هو $f' (g (x)) g' (x)$ حيث $f (x) = \arctan (x)$ و $g (x) = \ln (4 x)$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 1.1

لتطبيق قاعدة السلسلة، عيّن قيمة $u_{1}$ لتصبح $\ln (4 x)$ .

$\frac{d}{d u_{1}} [\arctan (u_{1})] \frac{d}{d x} [\ln (4 x)]$

خطوة 1.2

مشتق $\arctan (u_{1})$ بالنسبة إلى $u_{1}$ يساوي $\frac{1}{1 + {u_{1}}^{2}}$ .

$\frac{1}{1 + {u_{1}}^{2}} \frac{d}{d x} [\ln (4 x)]$

خطوة 1.3

استبدِل كافة حالات حدوث $u_{1}$ بـ $\ln (4 x)$ .

$\frac{1}{1 + \ln^{2} (4 x)} \frac{d}{d x} [\ln (4 x)]$

خطوة 2

أوجِد المشتقة باستخدام قاعدة السلسلة، والتي تنص على أن $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ هو $f' (g (x)) g' (x)$ حيث $f (x) = \ln (x)$ و $g (x) = 4 x$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 2.1

لتطبيق قاعدة السلسلة، عيّن قيمة $u_{2}$ لتصبح $4 x$ .

$\frac{1}{1 + \ln^{2} (4 x)} (\frac{d}{d u_{2}} [\ln (u_{2})] \frac{d}{d x} [4 x])$

خطوة 2.2

مشتق $\ln (u_{2})$ بالنسبة إلى $u_{2}$ يساوي $\frac{1}{u_{2}}$ .

$\frac{1}{1 + \ln^{2} (4 x)} (\frac{1}{u_{2}} \frac{d}{d x} [4 x])$

خطوة 2.3

استبدِل كافة حالات حدوث $u_{2}$ بـ $4 x$ .

$\frac{1}{1 + \ln^{2} (4 x)} (\frac{1}{4 x} \frac{d}{d x} [4 x])$

خطوة 3

أوجِد المشتقة.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 3.1

اضرب $\frac{1}{4 x}$ في $\frac{1}{1 + \ln^{2} (4 x)}$ .

$\frac{1}{4 x (1 + \ln^{2} (4 x))} \frac{d}{d x} [4 x]$

خطوة 3.2

بما أن $4$ عدد ثابت بالنسبة إلى $x$ ، إذن مشتق $4 x$ بالنسبة إلى $x$ يساوي $4 \frac{d}{d x} [x]$ .

$\frac{1}{4 x (1 + \ln^{2} (4 x))} (4 \frac{d}{d x} [x])$

خطوة 3.3

بسّط الحدود.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 3.3.1

اجمع $4$ و $\frac{1}{4 x (1 + \ln^{2} (4 x))}$ .

$\frac{4}{4 x (1 + \ln^{2} (4 x))} \frac{d}{d x} [x]$

خطوة 3.3.2

ألغِ العامل المشترك لـ $4$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 3.3.2.1

ألغِ العامل المشترك.

$\frac{4}{4 x (1 + \ln^{2} (4 x))} \frac{d}{d x} [x]$

خطوة 3.3.2.2

أعِد كتابة العبارة.

$\frac{1}{x (1 + \ln^{2} (4 x))} \frac{d}{d x} [x]$

خطوة 3.4

أوجِد المشتقة باستخدام قاعدة القوة التي تنص على أن $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ هو $n x^{n - 1}$ حيث $n = 1$ .

$\frac{1}{x (1 + \ln^{2} (4 x))} \cdot 1$

خطوة 3.5

اضرب $\frac{1}{x (1 + \ln^{2} (4 x))}$ في $1$ .

$\frac{1}{x (1 + \ln^{2} (4 x))}$

خطوة 4

بسّط.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 4.1

طبّق خاصية التوزيع.

$\frac{1}{x \cdot 1 + x \ln^{2} (4 x)}$

خطوة 4.2

اضرب $x$ في $1$ .

$\frac{1}{x + x \ln^{2} (4 x)}$

خطوة 4.3

أعِد ترتيب الحدود.

$\frac{1}{x \ln^{2} (4 x) + x}$

خطوة 4.4

أخرِج العامل $x$ من $x \ln^{2} (4 x) + x$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 4.4.1

أخرِج العامل $x$ من $x \ln^{2} (4 x)$ .

$\frac{1}{x (\ln^{2} (4 x)) + x}$

خطوة 4.4.2

ارفع $x$ إلى القوة $1$ .

$\frac{1}{x (\ln^{2} (4 x)) + x^{1}}$

خطوة 4.4.3

أخرِج العامل $x$ من $x^{1}$ .

$\frac{1}{x (\ln^{2} (4 x)) + x \cdot 1}$

خطوة 4.4.4

أخرِج العامل $x$ من $x (\ln^{2} (4 x)) + x \cdot 1$ .

$\frac{1}{x (\ln^{2} (4 x) + 1)}$