حساب التفاضل والتكامل الأمثلة

$y = \sqrt{e^{x} - 1}$

خطوة 1

استخدِم $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ لكتابة $\sqrt{e^{x} - 1}$ في صورة ${(e^{x} - 1)}^{\frac{1}{2}}$ .

$\frac{d}{d x} [{(e^{x} - 1)}^{\frac{1}{2}}]$

خطوة 2

أوجِد المشتقة باستخدام قاعدة السلسلة، والتي تنص على أن $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ هو $f' (g (x)) g' (x)$ حيث $f (x) = x^{\frac{1}{2}}$ و $g (x) = e^{x} - 1$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 2.1

لتطبيق قاعدة السلسلة، عيّن قيمة $u$ لتصبح $e^{x} - 1$ .

$\frac{d}{d u} [u^{\frac{1}{2}}] \frac{d}{d x} [e^{x} - 1]$

خطوة 2.2

أوجِد المشتقة باستخدام قاعدة القوة التي تنص على أن $\frac{d}{d u} [u^{n}]$ هو $n u^{n - 1}$ حيث $n = \frac{1}{2}$ .

$\frac{1}{2} u^{\frac{1}{2} - 1} \frac{d}{d x} [e^{x} - 1]$

خطوة 2.3

استبدِل كافة حالات حدوث $u$ بـ $e^{x} - 1$ .

$\frac{1}{2} {(e^{x} - 1)}^{\frac{1}{2} - 1} \frac{d}{d x} [e^{x} - 1]$

خطوة 3

لكتابة $- 1$ على هيئة كسر بقاسم مشترك، اضرب في $\frac{2}{2}$ .

$\frac{1}{2} {(e^{x} - 1)}^{\frac{1}{2} - 1 \cdot \frac{2}{2}} \frac{d}{d x} [e^{x} - 1]$

خطوة 4

اجمع $- 1$ و $\frac{2}{2}$ .

$\frac{1}{2} {(e^{x} - 1)}^{\frac{1}{2} + \frac{- 1 \cdot 2}{2}} \frac{d}{d x} [e^{x} - 1]$

خطوة 5

اجمع البسوط على القاسم المشترك.

$\frac{1}{2} {(e^{x} - 1)}^{\frac{1 - 1 \cdot 2}{2}} \frac{d}{d x} [e^{x} - 1]$

خطوة 6

بسّط بَسْط الكسر.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 6.1

اضرب $- 1$ في $2$ .

$\frac{1}{2} {(e^{x} - 1)}^{\frac{1 - 2}{2}} \frac{d}{d x} [e^{x} - 1]$

خطوة 6.2

اطرح $2$ من $1$ .

$\frac{1}{2} {(e^{x} - 1)}^{\frac{- 1}{2}} \frac{d}{d x} [e^{x} - 1]$

خطوة 7

أوجِد المشتقة باستخدام قاعدة الجمع.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 7.1

انقُل السالب أمام الكسر.

$\frac{1}{2} {(e^{x} - 1)}^{- \frac{1}{2}} \frac{d}{d x} [e^{x} - 1]$

خطوة 7.2

اجمع الكسور.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 7.2.1

اجمع $\frac{1}{2}$ و ${(e^{x} - 1)}^{- \frac{1}{2}}$ .

$\frac{{(e^{x} - 1)}^{- \frac{1}{2}}}{2} \frac{d}{d x} [e^{x} - 1]$

خطوة 7.2.2

انقُل ${(e^{x} - 1)}^{- \frac{1}{2}}$ إلى القاسم باستخدام قاعدة الأُسس السالبة $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$\frac{1}{2 {(e^{x} - 1)}^{\frac{1}{2}}} \frac{d}{d x} [e^{x} - 1]$

خطوة 7.3

وفقًا لقاعدة الجمع، فإن مشتق $e^{x} - 1$ بالنسبة إلى $x$ هو $\frac{d}{d x} [e^{x}] + \frac{d}{d x} [- 1]$ .

$\frac{1}{2 {(e^{x} - 1)}^{\frac{1}{2}}} (\frac{d}{d x} [e^{x}] + \frac{d}{d x} [- 1])$

خطوة 8

أوجِد المشتقة باستخدام القاعدة الأسية التي تنص على أن $\frac{d}{d x} [a^{x}]$ هو $a^{x} \ln (a)$ حيث $a$ = $e$ .

$\frac{1}{2 {(e^{x} - 1)}^{\frac{1}{2}}} (e^{x} + \frac{d}{d x} [- 1])$

خطوة 9

أوجِد المشتقة باستخدام قاعدة الدالة الثابتة.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 9.1

بما أن $- 1$ عدد ثابت بالنسبة إلى $x$ ، فإن مشتق $- 1$ بالنسبة إلى $x$ هو $0$ .

$\frac{1}{2 {(e^{x} - 1)}^{\frac{1}{2}}} (e^{x} + 0)$

خطوة 9.2

اجمع الكسور.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 9.2.1

أضف $e^{x}$ و $0$ .

$\frac{1}{2 {(e^{x} - 1)}^{\frac{1}{2}}} e^{x}$

خطوة 9.2.2

اجمع $\frac{1}{2 {(e^{x} - 1)}^{\frac{1}{2}}}$ و $e^{x}$ .

$\frac{e^{x}}{2 {(e^{x} - 1)}^{\frac{1}{2}}}$