حساب التفاضل والتكامل الأمثلة

$y = x^{2} + x^{4} e^{- 2 \ln (x)}$

خطوة 1

أوجِد المشتقة.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 1.1

وفقًا لقاعدة الجمع، فإن مشتق $x^{2} + x^{4} e^{- 2 \ln (x)}$ بالنسبة إلى $x$ هو $\frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [x^{4} e^{- 2 \ln (x)}]$ .

$\frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [x^{4} e^{- 2 \ln (x)}]$

خطوة 1.2

أوجِد المشتقة باستخدام قاعدة القوة التي تنص على أن $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ هو $n x^{n - 1}$ حيث $n = 2$ .

$2 x + \frac{d}{d x} [x^{4} e^{- 2 \ln (x)}]$

خطوة 2

احسِب قيمة $\frac{d}{d x} [x^{4} e^{- 2 \ln (x)}]$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 2.1

أوجِد المشتقة باستخدام قاعدة الضرب التي تنص على أن $\frac{d}{d x} [f (x) g (x)]$ هو $f (x) \frac{d}{d x} [g (x)] + g (x) \frac{d}{d x} [f (x)]$ حيث $f (x) = x^{4}$ و $g (x) = e^{- 2 \ln (x)}$ .

$2 x + x^{4} \frac{d}{d x} [e^{- 2 \ln (x)}] + e^{- 2 \ln (x)} \frac{d}{d x} [x^{4}]$

خطوة 2.2

أوجِد المشتقة باستخدام قاعدة السلسلة، والتي تنص على أن $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ هو $f' (g (x)) g' (x)$ حيث $f (x) = e^{x}$ و $g (x) = - 2 \ln (x)$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 2.2.1

لتطبيق قاعدة السلسلة، عيّن قيمة $u$ لتصبح $- 2 \ln (x)$ .

$2 x + x^{4} (\frac{d}{d u} [e^{u}] \frac{d}{d x} [- 2 \ln (x)]) + e^{- 2 \ln (x)} \frac{d}{d x} [x^{4}]$

خطوة 2.2.2

أوجِد المشتقة باستخدام القاعدة الأسية التي تنص على أن $\frac{d}{d u} [a^{u}]$ هو $a^{u} \ln (a)$ حيث $a$ = $e$ .

$2 x + x^{4} (e^{u} \frac{d}{d x} [- 2 \ln (x)]) + e^{- 2 \ln (x)} \frac{d}{d x} [x^{4}]$

خطوة 2.2.3

استبدِل كافة حالات حدوث $u$ بـ $- 2 \ln (x)$ .

$2 x + x^{4} (e^{- 2 \ln (x)} \frac{d}{d x} [- 2 \ln (x)]) + e^{- 2 \ln (x)} \frac{d}{d x} [x^{4}]$

خطوة 2.3

بما أن $- 2$ عدد ثابت بالنسبة إلى $x$ ، إذن مشتق $- 2 \ln (x)$ بالنسبة إلى $x$ يساوي $- 2 \frac{d}{d x} [\ln (x)]$ .

$2 x + x^{4} (e^{- 2 \ln (x)} (- 2 \frac{d}{d x} [\ln (x)])) + e^{- 2 \ln (x)} \frac{d}{d x} [x^{4}]$

خطوة 2.4

مشتق $\ln (x)$ بالنسبة إلى $x$ يساوي $\frac{1}{x}$ .

$2 x + x^{4} (e^{- 2 \ln (x)} (- 2 \frac{1}{x})) + e^{- 2 \ln (x)} \frac{d}{d x} [x^{4}]$

خطوة 2.5

أوجِد المشتقة باستخدام قاعدة القوة التي تنص على أن $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ هو $n x^{n - 1}$ حيث $n = 4$ .

$2 x + x^{4} (e^{- 2 \ln (x)} (- 2 \frac{1}{x})) + e^{- 2 \ln (x)} (4 x^{3})$

خطوة 2.6

اجمع $- 2$ و $\frac{1}{x}$ .

$2 x + x^{4} (e^{- 2 \ln (x)} \frac{- 2}{x}) + e^{- 2 \ln (x)} (4 x^{3})$

خطوة 2.7

انقُل السالب أمام الكسر.

$2 x + x^{4} (e^{- 2 \ln (x)} (- \frac{2}{x})) + e^{- 2 \ln (x)} (4 x^{3})$

خطوة 2.8

اجمع $e^{- 2 \ln (x)}$ و $\frac{2}{x}$ .

$2 x + x^{4} (- \frac{e^{- 2 \ln (x)} \cdot 2}{x}) + e^{- 2 \ln (x)} (4 x^{3})$

خطوة 2.9

انقُل $2$ إلى يسار $e^{- 2 \ln (x)}$ .

$2 x + x^{4} (- \frac{2 \cdot e^{- 2 \ln (x)}}{x}) + e^{- 2 \ln (x)} (4 x^{3})$

خطوة 2.10

اجمع $x^{4}$ و $\frac{2 e^{- 2 \ln (x)}}{x}$ .

$2 x - \frac{x^{4} (2 e^{- 2 \ln (x)})}{x} + e^{- 2 \ln (x)} (4 x^{3})$

خطوة 2.11

احذِف العامل المشترك لـ $x^{4}$ و $x$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 2.11.1

أخرِج العامل $x$ من $x^{4} (2 e^{- 2 \ln (x)})$ .

$2 x - \frac{x (x^{3} (2 e^{- 2 \ln (x)}))}{x} + e^{- 2 \ln (x)} (4 x^{3})$

خطوة 2.11.2

ألغِ العوامل المشتركة.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 2.11.2.1

ارفع $x$ إلى القوة $1$ .

$2 x - \frac{x (x^{3} (2 e^{- 2 \ln (x)}))}{x^{1}} + e^{- 2 \ln (x)} (4 x^{3})$

خطوة 2.11.2.2

أخرِج العامل $x$ من $x^{1}$ .

$2 x - \frac{x (x^{3} (2 e^{- 2 \ln (x)}))}{x \cdot 1} + e^{- 2 \ln (x)} (4 x^{3})$

خطوة 2.11.2.3

ألغِ العامل المشترك.

$2 x - \frac{x (x^{3} (2 e^{- 2 \ln (x)}))}{x \cdot 1} + e^{- 2 \ln (x)} (4 x^{3})$

خطوة 2.11.2.4

أعِد كتابة العبارة.

$2 x - \frac{x^{3} (2 e^{- 2 \ln (x)})}{1} + e^{- 2 \ln (x)} (4 x^{3})$

خطوة 2.11.2.5

اقسِم $x^{3} (2 e^{- 2 \ln (x)})$ على $1$ .

$2 x - (x^{3} (2 e^{- 2 \ln (x)})) + e^{- 2 \ln (x)} (4 x^{3})$

خطوة 2.12

اضرب $2$ في $- 1$ .

$2 x - 2 (x^{3} (e^{- 2 \ln (x)})) + e^{- 2 \ln (x)} (4 x^{3})$

خطوة 2.13

أضف $- 2 x^{3} e^{- 2 \ln (x)}$ و $e^{- 2 \ln (x)} (4 x^{3})$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 2.13.1

انقُل $e^{- 2 \ln (x)}$ .

$2 x - 2 x^{3} e^{- 2 \ln (x)} + 4 x^{3} e^{- 2 \ln (x)}$

خطوة 2.13.2

أضف $- 2 x^{3} e^{- 2 \ln (x)}$ و $4 x^{3} e^{- 2 \ln (x)}$ .

$2 x + 2 x^{3} e^{- 2 \ln (x)}$

خطوة 3

بسّط.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 3.1

أعِد ترتيب الحدود.

$2 e^{- 2 \ln (x)} x^{3} + 2 x$

خطوة 3.2

أعِد ترتيب العوامل في $2 e^{- 2 \ln (x)} x^{3} + 2 x$ .

$2 x^{3} e^{- 2 \ln (x)} + 2 x$