حساب التفاضل والتكامل الأمثلة

$y = x e^{x} - 4 e^{- x}$

خطوة 1

وفقًا لقاعدة الجمع، فإن مشتق $x e^{x} - 4 e^{- x}$ بالنسبة إلى $x$ هو $\frac{d}{d x} [x e^{x}] + \frac{d}{d x} [- 4 e^{- x}]$ .

$\frac{d}{d x} [x e^{x}] + \frac{d}{d x} [- 4 e^{- x}]$

خطوة 2

احسِب قيمة $\frac{d}{d x} [x e^{x}]$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 2.1

أوجِد المشتقة باستخدام قاعدة الضرب التي تنص على أن $\frac{d}{d x} [f (x) g (x)]$ هو $f (x) \frac{d}{d x} [g (x)] + g (x) \frac{d}{d x} [f (x)]$ حيث $f (x) = x$ و $g (x) = e^{x}$ .

$x \frac{d}{d x} [e^{x}] + e^{x} \frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [- 4 e^{- x}]$

خطوة 2.2

أوجِد المشتقة باستخدام القاعدة الأسية التي تنص على أن $\frac{d}{d x} [a^{x}]$ هو $a^{x} \ln (a)$ حيث $a$ = $e$ .

$x e^{x} + e^{x} \frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [- 4 e^{- x}]$

خطوة 2.3

أوجِد المشتقة باستخدام قاعدة القوة التي تنص على أن $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ هو $n x^{n - 1}$ حيث $n = 1$ .

$x e^{x} + e^{x} \cdot 1 + \frac{d}{d x} [- 4 e^{- x}]$

خطوة 2.4

اضرب $e^{x}$ في $1$ .

$x e^{x} + e^{x} + \frac{d}{d x} [- 4 e^{- x}]$

خطوة 3

احسِب قيمة $\frac{d}{d x} [- 4 e^{- x}]$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 3.1

بما أن $- 4$ عدد ثابت بالنسبة إلى $x$ ، إذن مشتق $- 4 e^{- x}$ بالنسبة إلى $x$ يساوي $- 4 \frac{d}{d x} [e^{- x}]$ .

$x e^{x} + e^{x} - 4 \frac{d}{d x} [e^{- x}]$

خطوة 3.2

أوجِد المشتقة باستخدام قاعدة السلسلة، والتي تنص على أن $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ هو $f' (g (x)) g' (x)$ حيث $f (x) = e^{x}$ و $g (x) = - x$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 3.2.1

لتطبيق قاعدة السلسلة، عيّن قيمة $u$ لتصبح $- x$ .

$x e^{x} + e^{x} - 4 (\frac{d}{d u} [e^{u}] \frac{d}{d x} [- x])$

خطوة 3.2.2

أوجِد المشتقة باستخدام القاعدة الأسية التي تنص على أن $\frac{d}{d u} [a^{u}]$ هو $a^{u} \ln (a)$ حيث $a$ = $e$ .

$x e^{x} + e^{x} - 4 (e^{u} \frac{d}{d x} [- x])$

خطوة 3.2.3

استبدِل كافة حالات حدوث $u$ بـ $- x$ .

$x e^{x} + e^{x} - 4 (e^{- x} \frac{d}{d x} [- x])$

خطوة 3.3

بما أن $- 1$ عدد ثابت بالنسبة إلى $x$ ، إذن مشتق $- x$ بالنسبة إلى $x$ يساوي $- \frac{d}{d x} [x]$ .

$x e^{x} + e^{x} - 4 (e^{- x} (- \frac{d}{d x} [x]))$

خطوة 3.4

أوجِد المشتقة باستخدام قاعدة القوة التي تنص على أن $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ هو $n x^{n - 1}$ حيث $n = 1$ .

$x e^{x} + e^{x} - 4 (e^{- x} (- 1 \cdot 1))$

خطوة 3.5

اضرب $- 1$ في $1$ .

$x e^{x} + e^{x} - 4 (e^{- x} \cdot - 1)$

خطوة 3.6

انقُل $- 1$ إلى يسار $e^{- x}$ .

$x e^{x} + e^{x} - 4 (- 1 \cdot e^{- x})$

خطوة 3.7

أعِد كتابة $- 1 e^{- x}$ بالصيغة $- e^{- x}$ .

$x e^{x} + e^{x} - 4 (- e^{- x})$

خطوة 3.8

اضرب $- 1$ في $- 4$ .

$x e^{x} + e^{x} + 4 e^{- x}$

خطوة 4

بسّط.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 4.1

أعِد ترتيب الحدود.

$e^{x} x + 4 e^{- x} + e^{x}$

خطوة 4.2

أعِد ترتيب العوامل في $e^{x} x + 4 e^{- x} + e^{x}$ .

$x e^{x} + 4 e^{- x} + e^{x}$