حساب التفاضل والتكامل الأمثلة

$y = \sqrt[3]{6 x^{2} + 5}$

خطوة 1

استخدِم $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ لكتابة $\sqrt[3]{6 x^{2} + 5}$ في صورة ${(6 x^{2} + 5)}^{\frac{1}{3}}$ .

$\frac{d}{d x} [{(6 x^{2} + 5)}^{\frac{1}{3}}]$

خطوة 2

أوجِد المشتقة باستخدام قاعدة السلسلة، والتي تنص على أن $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ هو $f' (g (x)) g' (x)$ حيث $f (x) = x^{\frac{1}{3}}$ و $g (x) = 6 x^{2} + 5$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 2.1

لتطبيق قاعدة السلسلة، عيّن قيمة $u$ لتصبح $6 x^{2} + 5$ .

$\frac{d}{d u} [u^{\frac{1}{3}}] \frac{d}{d x} [6 x^{2} + 5]$

خطوة 2.2

أوجِد المشتقة باستخدام قاعدة القوة التي تنص على أن $\frac{d}{d u} [u^{n}]$ هو $n u^{n - 1}$ حيث $n = \frac{1}{3}$ .

$\frac{1}{3} u^{\frac{1}{3} - 1} \frac{d}{d x} [6 x^{2} + 5]$

خطوة 2.3

استبدِل كافة حالات حدوث $u$ بـ $6 x^{2} + 5$ .

$\frac{1}{3} {(6 x^{2} + 5)}^{\frac{1}{3} - 1} \frac{d}{d x} [6 x^{2} + 5]$

خطوة 3

لكتابة $- 1$ على هيئة كسر بقاسم مشترك، اضرب في $\frac{3}{3}$ .

$\frac{1}{3} {(6 x^{2} + 5)}^{\frac{1}{3} - 1 \cdot \frac{3}{3}} \frac{d}{d x} [6 x^{2} + 5]$

خطوة 4

اجمع $- 1$ و $\frac{3}{3}$ .

$\frac{1}{3} {(6 x^{2} + 5)}^{\frac{1}{3} + \frac{- 1 \cdot 3}{3}} \frac{d}{d x} [6 x^{2} + 5]$

خطوة 5

اجمع البسوط على القاسم المشترك.

$\frac{1}{3} {(6 x^{2} + 5)}^{\frac{1 - 1 \cdot 3}{3}} \frac{d}{d x} [6 x^{2} + 5]$

خطوة 6

بسّط بَسْط الكسر.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 6.1

اضرب $- 1$ في $3$ .

$\frac{1}{3} {(6 x^{2} + 5)}^{\frac{1 - 3}{3}} \frac{d}{d x} [6 x^{2} + 5]$

خطوة 6.2

اطرح $3$ من $1$ .

$\frac{1}{3} {(6 x^{2} + 5)}^{\frac{- 2}{3}} \frac{d}{d x} [6 x^{2} + 5]$

خطوة 7

اجمع الكسور.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 7.1

انقُل السالب أمام الكسر.

$\frac{1}{3} {(6 x^{2} + 5)}^{- \frac{2}{3}} \frac{d}{d x} [6 x^{2} + 5]$

خطوة 7.2

اجمع $\frac{1}{3}$ و ${(6 x^{2} + 5)}^{- \frac{2}{3}}$ .

$\frac{{(6 x^{2} + 5)}^{- \frac{2}{3}}}{3} \frac{d}{d x} [6 x^{2} + 5]$

خطوة 7.3

انقُل ${(6 x^{2} + 5)}^{- \frac{2}{3}}$ إلى القاسم باستخدام قاعدة الأُسس السالبة $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$\frac{1}{3 {(6 x^{2} + 5)}^{\frac{2}{3}}} \frac{d}{d x} [6 x^{2} + 5]$

خطوة 8

وفقًا لقاعدة الجمع، فإن مشتق $6 x^{2} + 5$ بالنسبة إلى $x$ هو $\frac{d}{d x} [6 x^{2}] + \frac{d}{d x} [5]$ .

$\frac{1}{3 {(6 x^{2} + 5)}^{\frac{2}{3}}} (\frac{d}{d x} [6 x^{2}] + \frac{d}{d x} [5])$

خطوة 9

بما أن $6$ عدد ثابت بالنسبة إلى $x$ ، إذن مشتق $6 x^{2}$ بالنسبة إلى $x$ يساوي $6 \frac{d}{d x} [x^{2}]$ .

$\frac{1}{3 {(6 x^{2} + 5)}^{\frac{2}{3}}} (6 \frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [5])$

خطوة 10

أوجِد المشتقة باستخدام قاعدة القوة التي تنص على أن $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ هو $n x^{n - 1}$ حيث $n = 2$ .

$\frac{1}{3 {(6 x^{2} + 5)}^{\frac{2}{3}}} (6 (2 x) + \frac{d}{d x} [5])$

خطوة 11

اضرب $2$ في $6$ .

$\frac{1}{3 {(6 x^{2} + 5)}^{\frac{2}{3}}} (12 x + \frac{d}{d x} [5])$

خطوة 12

بما أن $5$ عدد ثابت بالنسبة إلى $x$ ، فإن مشتق $5$ بالنسبة إلى $x$ هو $0$ .

$\frac{1}{3 {(6 x^{2} + 5)}^{\frac{2}{3}}} (12 x + 0)$

خطوة 13

بسّط الحدود.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 13.1

أضف $12 x$ و $0$ .

$\frac{1}{3 {(6 x^{2} + 5)}^{\frac{2}{3}}} (12 x)$

خطوة 13.2

اجمع $12$ و $\frac{1}{3 {(6 x^{2} + 5)}^{\frac{2}{3}}}$ .

$\frac{12}{3 {(6 x^{2} + 5)}^{\frac{2}{3}}} x$

خطوة 13.3

اجمع $\frac{12}{3 {(6 x^{2} + 5)}^{\frac{2}{3}}}$ و $x$ .

$\frac{12 x}{3 {(6 x^{2} + 5)}^{\frac{2}{3}}}$

خطوة 13.4

أخرِج العامل $3$ من $12 x$ .

$\frac{3 (4 x)}{3 {(6 x^{2} + 5)}^{\frac{2}{3}}}$

خطوة 14

ألغِ العوامل المشتركة.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 14.1

أخرِج العامل $3$ من $3 {(6 x^{2} + 5)}^{\frac{2}{3}}$ .

$\frac{3 (4 x)}{3 ({(6 x^{2} + 5)}^{\frac{2}{3}})}$

خطوة 14.2

ألغِ العامل المشترك.

$\frac{3 (4 x)}{3 {(6 x^{2} + 5)}^{\frac{2}{3}}}$

خطوة 14.3

أعِد كتابة العبارة.

$\frac{4 x}{{(6 x^{2} + 5)}^{\frac{2}{3}}}$