حساب التفاضل والتكامل الأمثلة

$y = \sqrt{3 x + 5} {(8 x - 3)}^{4}$

خطوة 1

استخدِم $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ لكتابة $\sqrt{3 x + 5}$ في صورة ${(3 x + 5)}^{\frac{1}{2}}$ .

$\frac{d}{d x} [{(3 x + 5)}^{\frac{1}{2}} {(8 x - 3)}^{4}]$

خطوة 2

أوجِد المشتقة باستخدام قاعدة الضرب التي تنص على أن $\frac{d}{d x} [f (x) g (x)]$ هو $f (x) \frac{d}{d x} [g (x)] + g (x) \frac{d}{d x} [f (x)]$ حيث $f (x) = {(3 x + 5)}^{\frac{1}{2}}$ و $g (x) = {(8 x - 3)}^{4}$ .

${(3 x + 5)}^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d x} [{(8 x - 3)}^{4}] + {(8 x - 3)}^{4} \frac{d}{d x} [{(3 x + 5)}^{\frac{1}{2}}]$

خطوة 3

أوجِد المشتقة باستخدام قاعدة السلسلة، والتي تنص على أن $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ هو $f' (g (x)) g' (x)$ حيث $f (x) = x^{4}$ و $g (x) = 8 x - 3$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 3.1

لتطبيق قاعدة السلسلة، عيّن قيمة $u_{1}$ لتصبح $8 x - 3$ .

${(3 x + 5)}^{\frac{1}{2}} (\frac{d}{d u_{1}} [{u_{1}}^{4}] \frac{d}{d x} [8 x - 3]) + {(8 x - 3)}^{4} \frac{d}{d x} [{(3 x + 5)}^{\frac{1}{2}}]$

خطوة 3.2

أوجِد المشتقة باستخدام قاعدة القوة التي تنص على أن $\frac{d}{d u_{1}} [{u_{1}}^{n}]$ هو $n {u_{1}}^{n - 1}$ حيث $n = 4$ .

${(3 x + 5)}^{\frac{1}{2}} (4 {u_{1}}^{3} \frac{d}{d x} [8 x - 3]) + {(8 x - 3)}^{4} \frac{d}{d x} [{(3 x + 5)}^{\frac{1}{2}}]$

خطوة 3.3

استبدِل كافة حالات حدوث $u_{1}$ بـ $8 x - 3$ .

${(3 x + 5)}^{\frac{1}{2}} (4 {(8 x - 3)}^{3} \frac{d}{d x} [8 x - 3]) + {(8 x - 3)}^{4} \frac{d}{d x} [{(3 x + 5)}^{\frac{1}{2}}]$

خطوة 4

أوجِد المشتقة.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 4.1

انقُل $4$ إلى يسار ${(3 x + 5)}^{\frac{1}{2}}$ .

$4 \cdot {(3 x + 5)}^{\frac{1}{2}} {(8 x - 3)}^{3} \frac{d}{d x} [8 x - 3] + {(8 x - 3)}^{4} \frac{d}{d x} [{(3 x + 5)}^{\frac{1}{2}}]$

خطوة 4.2

وفقًا لقاعدة الجمع، فإن مشتق $8 x - 3$ بالنسبة إلى $x$ هو $\frac{d}{d x} [8 x] + \frac{d}{d x} [- 3]$ .

$4 {(3 x + 5)}^{\frac{1}{2}} {(8 x - 3)}^{3} (\frac{d}{d x} [8 x] + \frac{d}{d x} [- 3]) + {(8 x - 3)}^{4} \frac{d}{d x} [{(3 x + 5)}^{\frac{1}{2}}]$

خطوة 4.3

بما أن $8$ عدد ثابت بالنسبة إلى $x$ ، إذن مشتق $8 x$ بالنسبة إلى $x$ يساوي $8 \frac{d}{d x} [x]$ .

$4 {(3 x + 5)}^{\frac{1}{2}} {(8 x - 3)}^{3} (8 \frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [- 3]) + {(8 x - 3)}^{4} \frac{d}{d x} [{(3 x + 5)}^{\frac{1}{2}}]$

خطوة 4.4

أوجِد المشتقة باستخدام قاعدة القوة التي تنص على أن $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ هو $n x^{n - 1}$ حيث $n = 1$ .

$4 {(3 x + 5)}^{\frac{1}{2}} {(8 x - 3)}^{3} (8 \cdot 1 + \frac{d}{d x} [- 3]) + {(8 x - 3)}^{4} \frac{d}{d x} [{(3 x + 5)}^{\frac{1}{2}}]$

خطوة 4.5

اضرب $8$ في $1$ .

$4 {(3 x + 5)}^{\frac{1}{2}} {(8 x - 3)}^{3} (8 + \frac{d}{d x} [- 3]) + {(8 x - 3)}^{4} \frac{d}{d x} [{(3 x + 5)}^{\frac{1}{2}}]$

خطوة 4.6

بما أن $- 3$ عدد ثابت بالنسبة إلى $x$ ، فإن مشتق $- 3$ بالنسبة إلى $x$ هو $0$ .

$4 {(3 x + 5)}^{\frac{1}{2}} {(8 x - 3)}^{3} (8 + 0) + {(8 x - 3)}^{4} \frac{d}{d x} [{(3 x + 5)}^{\frac{1}{2}}]$

خطوة 4.7

بسّط العبارة.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 4.7.1

أضف $8$ و $0$ .

$4 {(3 x + 5)}^{\frac{1}{2}} {(8 x - 3)}^{3} \cdot 8 + {(8 x - 3)}^{4} \frac{d}{d x} [{(3 x + 5)}^{\frac{1}{2}}]$

خطوة 4.7.2

اضرب $8$ في $4$ .

$32 {(3 x + 5)}^{\frac{1}{2}} {(8 x - 3)}^{3} + {(8 x - 3)}^{4} \frac{d}{d x} [{(3 x + 5)}^{\frac{1}{2}}]$

خطوة 5

أوجِد المشتقة باستخدام قاعدة السلسلة، والتي تنص على أن $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ هو $f' (g (x)) g' (x)$ حيث $f (x) = x^{\frac{1}{2}}$ و $g (x) = 3 x + 5$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 5.1

لتطبيق قاعدة السلسلة، عيّن قيمة $u_{2}$ لتصبح $3 x + 5$ .

$32 {(3 x + 5)}^{\frac{1}{2}} {(8 x - 3)}^{3} + {(8 x - 3)}^{4} (\frac{d}{d u_{2}} [{u_{2}}^{\frac{1}{2}}] \frac{d}{d x} [3 x + 5])$

خطوة 5.2

أوجِد المشتقة باستخدام قاعدة القوة التي تنص على أن $\frac{d}{d u_{2}} [{u_{2}}^{n}]$ هو $n {u_{2}}^{n - 1}$ حيث $n = \frac{1}{2}$ .

$32 {(3 x + 5)}^{\frac{1}{2}} {(8 x - 3)}^{3} + {(8 x - 3)}^{4} (\frac{1}{2} {u_{2}}^{\frac{1}{2} - 1} \frac{d}{d x} [3 x + 5])$

خطوة 5.3

استبدِل كافة حالات حدوث $u_{2}$ بـ $3 x + 5$ .

$32 {(3 x + 5)}^{\frac{1}{2}} {(8 x - 3)}^{3} + {(8 x - 3)}^{4} (\frac{1}{2} {(3 x + 5)}^{\frac{1}{2} - 1} \frac{d}{d x} [3 x + 5])$

خطوة 6

لكتابة $- 1$ على هيئة كسر بقاسم مشترك، اضرب في $\frac{2}{2}$ .

$32 {(3 x + 5)}^{\frac{1}{2}} {(8 x - 3)}^{3} + {(8 x - 3)}^{4} (\frac{1}{2} {(3 x + 5)}^{\frac{1}{2} - 1 \cdot \frac{2}{2}} \frac{d}{d x} [3 x + 5])$

خطوة 7

اجمع $- 1$ و $\frac{2}{2}$ .

$32 {(3 x + 5)}^{\frac{1}{2}} {(8 x - 3)}^{3} + {(8 x - 3)}^{4} (\frac{1}{2} {(3 x + 5)}^{\frac{1}{2} + \frac{- 1 \cdot 2}{2}} \frac{d}{d x} [3 x + 5])$

خطوة 8

اجمع البسوط على القاسم المشترك.

$32 {(3 x + 5)}^{\frac{1}{2}} {(8 x - 3)}^{3} + {(8 x - 3)}^{4} (\frac{1}{2} {(3 x + 5)}^{\frac{1 - 1 \cdot 2}{2}} \frac{d}{d x} [3 x + 5])$

خطوة 9

بسّط بَسْط الكسر.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 9.1

اضرب $- 1$ في $2$ .

$32 {(3 x + 5)}^{\frac{1}{2}} {(8 x - 3)}^{3} + {(8 x - 3)}^{4} (\frac{1}{2} {(3 x + 5)}^{\frac{1 - 2}{2}} \frac{d}{d x} [3 x + 5])$

خطوة 9.2

اطرح $2$ من $1$ .

$32 {(3 x + 5)}^{\frac{1}{2}} {(8 x - 3)}^{3} + {(8 x - 3)}^{4} (\frac{1}{2} {(3 x + 5)}^{\frac{- 1}{2}} \frac{d}{d x} [3 x + 5])$

خطوة 10

اجمع الكسور.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 10.1

انقُل السالب أمام الكسر.

$32 {(3 x + 5)}^{\frac{1}{2}} {(8 x - 3)}^{3} + {(8 x - 3)}^{4} (\frac{1}{2} {(3 x + 5)}^{- \frac{1}{2}} \frac{d}{d x} [3 x + 5])$

خطوة 10.2

اجمع $\frac{1}{2}$ و ${(3 x + 5)}^{- \frac{1}{2}}$ .

$32 {(3 x + 5)}^{\frac{1}{2}} {(8 x - 3)}^{3} + {(8 x - 3)}^{4} (\frac{{(3 x + 5)}^{- \frac{1}{2}}}{2} \frac{d}{d x} [3 x + 5])$

خطوة 10.3

انقُل ${(3 x + 5)}^{- \frac{1}{2}}$ إلى القاسم باستخدام قاعدة الأُسس السالبة $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$32 {(3 x + 5)}^{\frac{1}{2}} {(8 x - 3)}^{3} + {(8 x - 3)}^{4} (\frac{1}{2 {(3 x + 5)}^{\frac{1}{2}}} \frac{d}{d x} [3 x + 5])$

خطوة 10.4

اجمع $\frac{1}{2 {(3 x + 5)}^{\frac{1}{2}}}$ و ${(8 x - 3)}^{4}$ .

$32 {(3 x + 5)}^{\frac{1}{2}} {(8 x - 3)}^{3} + \frac{{(8 x - 3)}^{4}}{2 {(3 x + 5)}^{\frac{1}{2}}} \frac{d}{d x} [3 x + 5]$

خطوة 11

وفقًا لقاعدة الجمع، فإن مشتق $3 x + 5$ بالنسبة إلى $x$ هو $\frac{d}{d x} [3 x] + \frac{d}{d x} [5]$ .

$32 {(3 x + 5)}^{\frac{1}{2}} {(8 x - 3)}^{3} + \frac{{(8 x - 3)}^{4}}{2 {(3 x + 5)}^{\frac{1}{2}}} (\frac{d}{d x} [3 x] + \frac{d}{d x} [5])$

خطوة 12

بما أن $3$ عدد ثابت بالنسبة إلى $x$ ، إذن مشتق $3 x$ بالنسبة إلى $x$ يساوي $3 \frac{d}{d x} [x]$ .

$32 {(3 x + 5)}^{\frac{1}{2}} {(8 x - 3)}^{3} + \frac{{(8 x - 3)}^{4}}{2 {(3 x + 5)}^{\frac{1}{2}}} (3 \frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [5])$

خطوة 13

أوجِد المشتقة باستخدام قاعدة القوة التي تنص على أن $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ هو $n x^{n - 1}$ حيث $n = 1$ .

$32 {(3 x + 5)}^{\frac{1}{2}} {(8 x - 3)}^{3} + \frac{{(8 x - 3)}^{4}}{2 {(3 x + 5)}^{\frac{1}{2}}} (3 \cdot 1 + \frac{d}{d x} [5])$

خطوة 14

اضرب $3$ في $1$ .

$32 {(3 x + 5)}^{\frac{1}{2}} {(8 x - 3)}^{3} + \frac{{(8 x - 3)}^{4}}{2 {(3 x + 5)}^{\frac{1}{2}}} (3 + \frac{d}{d x} [5])$

خطوة 15

بما أن $5$ عدد ثابت بالنسبة إلى $x$ ، فإن مشتق $5$ بالنسبة إلى $x$ هو $0$ .

$32 {(3 x + 5)}^{\frac{1}{2}} {(8 x - 3)}^{3} + \frac{{(8 x - 3)}^{4}}{2 {(3 x + 5)}^{\frac{1}{2}}} (3 + 0)$

خطوة 16

اجمع الكسور.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 16.1

أضف $3$ و $0$ .

$32 {(3 x + 5)}^{\frac{1}{2}} {(8 x - 3)}^{3} + \frac{{(8 x - 3)}^{4}}{2 {(3 x + 5)}^{\frac{1}{2}}} \cdot 3$

خطوة 16.2

اجمع $\frac{{(8 x - 3)}^{4}}{2 {(3 x + 5)}^{\frac{1}{2}}}$ و $3$ .

$32 {(3 x + 5)}^{\frac{1}{2}} {(8 x - 3)}^{3} + \frac{{(8 x - 3)}^{4} \cdot 3}{2 {(3 x + 5)}^{\frac{1}{2}}}$

خطوة 16.3

انقُل $3$ إلى يسار ${(8 x - 3)}^{4}$ .

$32 {(3 x + 5)}^{\frac{1}{2}} {(8 x - 3)}^{3} + \frac{3 \cdot {(8 x - 3)}^{4}}{2 {(3 x + 5)}^{\frac{1}{2}}}$

خطوة 17

لكتابة $32 {(3 x + 5)}^{\frac{1}{2}} {(8 x - 3)}^{3}$ على هيئة كسر بقاسم مشترك، اضرب في $\frac{2 {(3 x + 5)}^{\frac{1}{2}}}{2 {(3 x + 5)}^{\frac{1}{2}}}$ .

$32 {(3 x + 5)}^{\frac{1}{2}} {(8 x - 3)}^{3} \cdot \frac{2 {(3 x + 5)}^{\frac{1}{2}}}{2 {(3 x + 5)}^{\frac{1}{2}}} + \frac{3 {(8 x - 3)}^{4}}{2 {(3 x + 5)}^{\frac{1}{2}}}$

خطوة 18

اجمع $32 {(3 x + 5)}^{\frac{1}{2}} {(8 x - 3)}^{3}$ و $\frac{2 {(3 x + 5)}^{\frac{1}{2}}}{2 {(3 x + 5)}^{\frac{1}{2}}}$ .

$\frac{32 {(3 x + 5)}^{\frac{1}{2}} {(8 x - 3)}^{3} (2 {(3 x + 5)}^{\frac{1}{2}})}{2 {(3 x + 5)}^{\frac{1}{2}}} + \frac{3 {(8 x - 3)}^{4}}{2 {(3 x + 5)}^{\frac{1}{2}}}$

خطوة 19

اجمع البسوط على القاسم المشترك.

$\frac{32 {(3 x + 5)}^{\frac{1}{2}} {(8 x - 3)}^{3} (2 {(3 x + 5)}^{\frac{1}{2}}) + 3 {(8 x - 3)}^{4}}{2 {(3 x + 5)}^{\frac{1}{2}}}$

خطوة 20

اضرب $2$ في $32$ .

$\frac{64 {(3 x + 5)}^{\frac{1}{2}} {(8 x - 3)}^{3} {(3 x + 5)}^{\frac{1}{2}} + 3 {(8 x - 3)}^{4}}{2 {(3 x + 5)}^{\frac{1}{2}}}$

خطوة 21

اضرب ${(3 x + 5)}^{\frac{1}{2}}$ في ${(3 x + 5)}^{\frac{1}{2}}$ بجمع الأُسس.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 21.1

انقُل ${(3 x + 5)}^{\frac{1}{2}}$ .

$\frac{64 ({(3 x + 5)}^{\frac{1}{2}} {(3 x + 5)}^{\frac{1}{2}}) {(8 x - 3)}^{3} + 3 {(8 x - 3)}^{4}}{2 {(3 x + 5)}^{\frac{1}{2}}}$

خطوة 21.2

استخدِم قاعدة القوة $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ لتجميع الأُسس.

$\frac{64 {(3 x + 5)}^{\frac{1}{2} + \frac{1}{2}} {(8 x - 3)}^{3} + 3 {(8 x - 3)}^{4}}{2 {(3 x + 5)}^{\frac{1}{2}}}$

خطوة 21.3

اجمع البسوط على القاسم المشترك.

$\frac{64 {(3 x + 5)}^{\frac{1 + 1}{2}} {(8 x - 3)}^{3} + 3 {(8 x - 3)}^{4}}{2 {(3 x + 5)}^{\frac{1}{2}}}$

خطوة 21.4

أضف $1$ و $1$ .

$\frac{64 {(3 x + 5)}^{\frac{2}{2}} {(8 x - 3)}^{3} + 3 {(8 x - 3)}^{4}}{2 {(3 x + 5)}^{\frac{1}{2}}}$

خطوة 21.5

اقسِم $2$ على $2$ .

$\frac{64 {(3 x + 5)}^{1} {(8 x - 3)}^{3} + 3 {(8 x - 3)}^{4}}{2 {(3 x + 5)}^{\frac{1}{2}}}$

خطوة 22

بسّط $64 {(3 x + 5)}^{1} {(8 x - 3)}^{3}$ .

$\frac{64 (3 x + 5) {(8 x - 3)}^{3} + 3 {(8 x - 3)}^{4}}{2 {(3 x + 5)}^{\frac{1}{2}}}$

خطوة 23

بسّط.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 23.1

طبّق خاصية التوزيع.

$\frac{(64 (3 x) + 64 \cdot 5) {(8 x - 3)}^{3} + 3 {(8 x - 3)}^{4}}{2 {(3 x + 5)}^{\frac{1}{2}}}$

خطوة 23.2

بسّط بَسْط الكسر.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 23.2.1

أخرِج العامل ${(8 x - 3)}^{3}$ من $(64 \cdot 3 x + 64 \cdot 5) {(8 x - 3)}^{3} + 3 {(8 x - 3)}^{4}$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 23.2.1.1

أخرِج العامل ${(8 x - 3)}^{3}$ من $(64 \cdot 3 x + 64 \cdot 5) {(8 x - 3)}^{3}$ .

$\frac{{(8 x - 3)}^{3} (64 \cdot 3 x + 64 \cdot 5) + 3 {(8 x - 3)}^{4}}{2 {(3 x + 5)}^{\frac{1}{2}}}$

خطوة 23.2.1.2

أخرِج العامل ${(8 x - 3)}^{3}$ من $3 {(8 x - 3)}^{4}$ .

$\frac{{(8 x - 3)}^{3} (64 \cdot 3 x + 64 \cdot 5) + {(8 x - 3)}^{3} (3 (8 x - 3))}{2 {(3 x + 5)}^{\frac{1}{2}}}$

خطوة 23.2.1.3

أخرِج العامل ${(8 x - 3)}^{3}$ من ${(8 x - 3)}^{3} (64 \cdot 3 x + 64 \cdot 5) + {(8 x - 3)}^{3} (3 (8 x - 3))$ .

$\frac{{(8 x - 3)}^{3} (64 \cdot 3 x + 64 \cdot 5 + 3 (8 x - 3))}{2 {(3 x + 5)}^{\frac{1}{2}}}$

خطوة 23.2.2

اضرب $64$ في $3$ .

$\frac{{(8 x - 3)}^{3} (192 x + 64 \cdot 5 + 3 (8 x - 3))}{2 {(3 x + 5)}^{\frac{1}{2}}}$

خطوة 23.2.3

اضرب $64$ في $5$ .

$\frac{{(8 x - 3)}^{3} (192 x + 320 + 3 (8 x - 3))}{2 {(3 x + 5)}^{\frac{1}{2}}}$

خطوة 23.2.4

طبّق خاصية التوزيع.

$\frac{{(8 x - 3)}^{3} (192 x + 320 + 3 (8 x) + 3 \cdot - 3)}{2 {(3 x + 5)}^{\frac{1}{2}}}$

خطوة 23.2.5

اضرب $8$ في $3$ .

$\frac{{(8 x - 3)}^{3} (192 x + 320 + 24 x + 3 \cdot - 3)}{2 {(3 x + 5)}^{\frac{1}{2}}}$

خطوة 23.2.6

اضرب $3$ في $- 3$ .

$\frac{{(8 x - 3)}^{3} (192 x + 320 + 24 x - 9)}{2 {(3 x + 5)}^{\frac{1}{2}}}$

خطوة 23.2.7

أضف $192 x$ و $24 x$ .

$\frac{{(8 x - 3)}^{3} (216 x + 320 - 9)}{2 {(3 x + 5)}^{\frac{1}{2}}}$

خطوة 23.2.8

اطرح $9$ من $320$ .

$\frac{{(8 x - 3)}^{3} (216 x + 311)}{2 {(3 x + 5)}^{\frac{1}{2}}}$