حساب التفاضل والتكامل الأمثلة

$y = \sqrt{20 x - x^{3}}$

خطوة 1

استخدِم $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ لكتابة $\sqrt{20 x - x^{3}}$ في صورة ${(20 x - x^{3})}^{\frac{1}{2}}$ .

$\frac{d}{d x} [{(20 x - x^{3})}^{\frac{1}{2}}]$

خطوة 2

أوجِد المشتقة باستخدام قاعدة السلسلة، والتي تنص على أن $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ هو $f' (g (x)) g' (x)$ حيث $f (x) = x^{\frac{1}{2}}$ و $g (x) = 20 x - x^{3}$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 2.1

لتطبيق قاعدة السلسلة، عيّن قيمة $u$ لتصبح $20 x - x^{3}$ .

$\frac{d}{d u} [u^{\frac{1}{2}}] \frac{d}{d x} [20 x - x^{3}]$

خطوة 2.2

أوجِد المشتقة باستخدام قاعدة القوة التي تنص على أن $\frac{d}{d u} [u^{n}]$ هو $n u^{n - 1}$ حيث $n = \frac{1}{2}$ .

$\frac{1}{2} u^{\frac{1}{2} - 1} \frac{d}{d x} [20 x - x^{3}]$

خطوة 2.3

استبدِل كافة حالات حدوث $u$ بـ $20 x - x^{3}$ .

$\frac{1}{2} {(20 x - x^{3})}^{\frac{1}{2} - 1} \frac{d}{d x} [20 x - x^{3}]$

خطوة 3

لكتابة $- 1$ على هيئة كسر بقاسم مشترك، اضرب في $\frac{2}{2}$ .

$\frac{1}{2} {(20 x - x^{3})}^{\frac{1}{2} - 1 \cdot \frac{2}{2}} \frac{d}{d x} [20 x - x^{3}]$

خطوة 4

اجمع $- 1$ و $\frac{2}{2}$ .

$\frac{1}{2} {(20 x - x^{3})}^{\frac{1}{2} + \frac{- 1 \cdot 2}{2}} \frac{d}{d x} [20 x - x^{3}]$

خطوة 5

اجمع البسوط على القاسم المشترك.

$\frac{1}{2} {(20 x - x^{3})}^{\frac{1 - 1 \cdot 2}{2}} \frac{d}{d x} [20 x - x^{3}]$

خطوة 6

بسّط بَسْط الكسر.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 6.1

اضرب $- 1$ في $2$ .

$\frac{1}{2} {(20 x - x^{3})}^{\frac{1 - 2}{2}} \frac{d}{d x} [20 x - x^{3}]$

خطوة 6.2

اطرح $2$ من $1$ .

$\frac{1}{2} {(20 x - x^{3})}^{\frac{- 1}{2}} \frac{d}{d x} [20 x - x^{3}]$

خطوة 7

اجمع الكسور.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 7.1

انقُل السالب أمام الكسر.

$\frac{1}{2} {(20 x - x^{3})}^{- \frac{1}{2}} \frac{d}{d x} [20 x - x^{3}]$

خطوة 7.2

اجمع $\frac{1}{2}$ و ${(20 x - x^{3})}^{- \frac{1}{2}}$ .

$\frac{{(20 x - x^{3})}^{- \frac{1}{2}}}{2} \frac{d}{d x} [20 x - x^{3}]$

خطوة 7.3

انقُل ${(20 x - x^{3})}^{- \frac{1}{2}}$ إلى القاسم باستخدام قاعدة الأُسس السالبة $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$\frac{1}{2 {(20 x - x^{3})}^{\frac{1}{2}}} \frac{d}{d x} [20 x - x^{3}]$

خطوة 8

وفقًا لقاعدة الجمع، فإن مشتق $20 x - x^{3}$ بالنسبة إلى $x$ هو $\frac{d}{d x} [20 x] + \frac{d}{d x} [- x^{3}]$ .

$\frac{1}{2 {(20 x - x^{3})}^{\frac{1}{2}}} (\frac{d}{d x} [20 x] + \frac{d}{d x} [- x^{3}])$

خطوة 9

بما أن $20$ عدد ثابت بالنسبة إلى $x$ ، إذن مشتق $20 x$ بالنسبة إلى $x$ يساوي $20 \frac{d}{d x} [x]$ .

$\frac{1}{2 {(20 x - x^{3})}^{\frac{1}{2}}} (20 \frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [- x^{3}])$

خطوة 10

أوجِد المشتقة باستخدام قاعدة القوة التي تنص على أن $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ هو $n x^{n - 1}$ حيث $n = 1$ .

$\frac{1}{2 {(20 x - x^{3})}^{\frac{1}{2}}} (20 \cdot 1 + \frac{d}{d x} [- x^{3}])$

خطوة 11

اضرب $20$ في $1$ .

$\frac{1}{2 {(20 x - x^{3})}^{\frac{1}{2}}} (20 + \frac{d}{d x} [- x^{3}])$

خطوة 12

بما أن $- 1$ عدد ثابت بالنسبة إلى $x$ ، إذن مشتق $- x^{3}$ بالنسبة إلى $x$ يساوي $- \frac{d}{d x} [x^{3}]$ .

$\frac{1}{2 {(20 x - x^{3})}^{\frac{1}{2}}} (20 - \frac{d}{d x} [x^{3}])$

خطوة 13

أوجِد المشتقة باستخدام قاعدة القوة التي تنص على أن $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ هو $n x^{n - 1}$ حيث $n = 3$ .

$\frac{1}{2 {(20 x - x^{3})}^{\frac{1}{2}}} (20 - (3 x^{2}))$

خطوة 14

اضرب $3$ في $- 1$ .

$\frac{1}{2 {(20 x - x^{3})}^{\frac{1}{2}}} (20 - 3 x^{2})$

خطوة 15

بسّط.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 15.1

أعِد ترتيب عوامل $\frac{1}{2 {(20 x - x^{3})}^{\frac{1}{2}}} (20 - 3 x^{2})$ .

$(20 - 3 x^{2}) \frac{1}{2 {(20 x - x^{3})}^{\frac{1}{2}}}$

خطوة 15.2

اضرب $20 - 3 x^{2}$ في $\frac{1}{2 {(20 x - x^{3})}^{\frac{1}{2}}}$ .

$\frac{20 - 3 x^{2}}{2 {(20 x - x^{3})}^{\frac{1}{2}}}$