حساب التفاضل والتكامل الأمثلة

$y = \frac{x^{2} - 2 x + 1}{x^{2} + 5}$

خطوة 1

أوجِد المشتقة باستخدام قاعدة القسمة التي تنص على أن $\frac{d}{d x} [\frac{f (x)}{g (x)}]$ هو $\frac{g (x) \frac{d}{d x} [f (x)] - f (x) \frac{d}{d x} [g (x)]}{{g (x)}^{2}}$ حيث $f (x) = x^{2} - 2 x + 1$ و $g (x) = x^{2} + 5$ .

$\frac{(x^{2} + 5) \frac{d}{d x} [x^{2} - 2 x + 1] - (x^{2} - 2 x + 1) \frac{d}{d x} [x^{2} + 5]}{{(x^{2} + 5)}^{2}}$

خطوة 2

أوجِد المشتقة.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 2.1

وفقًا لقاعدة الجمع، فإن مشتق $x^{2} - 2 x + 1$ بالنسبة إلى $x$ هو $\frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [- 2 x] + \frac{d}{d x} [1]$ .

$\frac{(x^{2} + 5) (\frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [- 2 x] + \frac{d}{d x} [1]) - (x^{2} - 2 x + 1) \frac{d}{d x} [x^{2} + 5]}{{(x^{2} + 5)}^{2}}$

خطوة 2.2

أوجِد المشتقة باستخدام قاعدة القوة التي تنص على أن $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ هو $n x^{n - 1}$ حيث $n = 2$ .

$\frac{(x^{2} + 5) (2 x + \frac{d}{d x} [- 2 x] + \frac{d}{d x} [1]) - (x^{2} - 2 x + 1) \frac{d}{d x} [x^{2} + 5]}{{(x^{2} + 5)}^{2}}$

خطوة 2.3

بما أن $- 2$ عدد ثابت بالنسبة إلى $x$ ، إذن مشتق $- 2 x$ بالنسبة إلى $x$ يساوي $- 2 \frac{d}{d x} [x]$ .

$\frac{(x^{2} + 5) (2 x - 2 \frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [1]) - (x^{2} - 2 x + 1) \frac{d}{d x} [x^{2} + 5]}{{(x^{2} + 5)}^{2}}$

خطوة 2.4

أوجِد المشتقة باستخدام قاعدة القوة التي تنص على أن $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ هو $n x^{n - 1}$ حيث $n = 1$ .

$\frac{(x^{2} + 5) (2 x - 2 \cdot 1 + \frac{d}{d x} [1]) - (x^{2} - 2 x + 1) \frac{d}{d x} [x^{2} + 5]}{{(x^{2} + 5)}^{2}}$

خطوة 2.5

اضرب $- 2$ في $1$ .

$\frac{(x^{2} + 5) (2 x - 2 + \frac{d}{d x} [1]) - (x^{2} - 2 x + 1) \frac{d}{d x} [x^{2} + 5]}{{(x^{2} + 5)}^{2}}$

خطوة 2.6

بما أن $1$ عدد ثابت بالنسبة إلى $x$ ، فإن مشتق $1$ بالنسبة إلى $x$ هو $0$ .

$\frac{(x^{2} + 5) (2 x - 2 + 0) - (x^{2} - 2 x + 1) \frac{d}{d x} [x^{2} + 5]}{{(x^{2} + 5)}^{2}}$

خطوة 2.7

أضف $2 x - 2$ و $0$ .

$\frac{(x^{2} + 5) (2 x - 2) - (x^{2} - 2 x + 1) \frac{d}{d x} [x^{2} + 5]}{{(x^{2} + 5)}^{2}}$

خطوة 2.8

وفقًا لقاعدة الجمع، فإن مشتق $x^{2} + 5$ بالنسبة إلى $x$ هو $\frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [5]$ .

$\frac{(x^{2} + 5) (2 x - 2) - (x^{2} - 2 x + 1) (\frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [5])}{{(x^{2} + 5)}^{2}}$

خطوة 2.9

أوجِد المشتقة باستخدام قاعدة القوة التي تنص على أن $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ هو $n x^{n - 1}$ حيث $n = 2$ .

$\frac{(x^{2} + 5) (2 x - 2) - (x^{2} - 2 x + 1) (2 x + \frac{d}{d x} [5])}{{(x^{2} + 5)}^{2}}$

خطوة 2.10

بما أن $5$ عدد ثابت بالنسبة إلى $x$ ، فإن مشتق $5$ بالنسبة إلى $x$ هو $0$ .

$\frac{(x^{2} + 5) (2 x - 2) - (x^{2} - 2 x + 1) (2 x + 0)}{{(x^{2} + 5)}^{2}}$

خطوة 2.11

بسّط العبارة.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 2.11.1

أضف $2 x$ و $0$ .

$\frac{(x^{2} + 5) (2 x - 2) - (x^{2} - 2 x + 1) (2 x)}{{(x^{2} + 5)}^{2}}$

خطوة 2.11.2

اضرب $2$ في $- 1$ .

$\frac{(x^{2} + 5) (2 x - 2) - 2 (x^{2} - 2 x + 1) x}{{(x^{2} + 5)}^{2}}$

خطوة 3

بسّط.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 3.1

طبّق خاصية التوزيع.

$\frac{(x^{2} + 5) (2 x - 2) + (- 2 x^{2} - 2 (- 2 x) - 2 \cdot 1) x}{{(x^{2} + 5)}^{2}}$

خطوة 3.2

طبّق خاصية التوزيع.

$\frac{(x^{2} + 5) (2 x - 2) - 2 x^{2} x - 2 (- 2 x) x - 2 \cdot 1 x}{{(x^{2} + 5)}^{2}}$

خطوة 3.3

بسّط بَسْط الكسر.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 3.3.1

بسّط كل حد.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 3.3.1.1

وسّع $(x^{2} + 5) (2 x - 2)$ باستخدام طريقة "الأول، الخارجي، الداخلي، الأخير".

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 3.3.1.1.1

طبّق خاصية التوزيع.

$\frac{x^{2} (2 x - 2) + 5 (2 x - 2) - 2 x^{2} x - 2 (- 2 x) x - 2 \cdot 1 x}{{(x^{2} + 5)}^{2}}$

خطوة 3.3.1.1.2

طبّق خاصية التوزيع.

$\frac{x^{2} (2 x) + x^{2} \cdot - 2 + 5 (2 x - 2) - 2 x^{2} x - 2 (- 2 x) x - 2 \cdot 1 x}{{(x^{2} + 5)}^{2}}$

خطوة 3.3.1.1.3

طبّق خاصية التوزيع.

$\frac{x^{2} (2 x) + x^{2} \cdot - 2 + 5 (2 x) + 5 \cdot - 2 - 2 x^{2} x - 2 (- 2 x) x - 2 \cdot 1 x}{{(x^{2} + 5)}^{2}}$

خطوة 3.3.1.2

بسّط كل حد.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 3.3.1.2.1

أعِد الكتابة باستخدام خاصية الإبدال لعملية الضرب.

$\frac{2 x^{2} x + x^{2} \cdot - 2 + 5 (2 x) + 5 \cdot - 2 - 2 x^{2} x - 2 (- 2 x) x - 2 \cdot 1 x}{{(x^{2} + 5)}^{2}}$

خطوة 3.3.1.2.2

اضرب $x^{2}$ في $x$ بجمع الأُسس.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 3.3.1.2.2.1

انقُل $x$ .

$\frac{2 (x \cdot x^{2}) + x^{2} \cdot - 2 + 5 (2 x) + 5 \cdot - 2 - 2 x^{2} x - 2 (- 2 x) x - 2 \cdot 1 x}{{(x^{2} + 5)}^{2}}$

خطوة 3.3.1.2.2.2

اضرب $x$ في $x^{2}$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 3.3.1.2.2.2.1

ارفع $x$ إلى القوة $1$ .

$\frac{2 (x^{1} x^{2}) + x^{2} \cdot - 2 + 5 (2 x) + 5 \cdot - 2 - 2 x^{2} x - 2 (- 2 x) x - 2 \cdot 1 x}{{(x^{2} + 5)}^{2}}$

خطوة 3.3.1.2.2.2.2

استخدِم قاعدة القوة $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ لتجميع الأُسس.

$\frac{2 x^{1 + 2} + x^{2} \cdot - 2 + 5 (2 x) + 5 \cdot - 2 - 2 x^{2} x - 2 (- 2 x) x - 2 \cdot 1 x}{{(x^{2} + 5)}^{2}}$

خطوة 3.3.1.2.2.3

أضف $1$ و $2$ .

$\frac{2 x^{3} + x^{2} \cdot - 2 + 5 (2 x) + 5 \cdot - 2 - 2 x^{2} x - 2 (- 2 x) x - 2 \cdot 1 x}{{(x^{2} + 5)}^{2}}$

خطوة 3.3.1.2.3

انقُل $- 2$ إلى يسار $x^{2}$ .

$\frac{2 x^{3} - 2 \cdot x^{2} + 5 (2 x) + 5 \cdot - 2 - 2 x^{2} x - 2 (- 2 x) x - 2 \cdot 1 x}{{(x^{2} + 5)}^{2}}$

خطوة 3.3.1.2.4

اضرب $2$ في $5$ .

$\frac{2 x^{3} - 2 x^{2} + 10 x + 5 \cdot - 2 - 2 x^{2} x - 2 (- 2 x) x - 2 \cdot 1 x}{{(x^{2} + 5)}^{2}}$

خطوة 3.3.1.2.5

اضرب $5$ في $- 2$ .

$\frac{2 x^{3} - 2 x^{2} + 10 x - 10 - 2 x^{2} x - 2 (- 2 x) x - 2 \cdot 1 x}{{(x^{2} + 5)}^{2}}$

خطوة 3.3.1.3

اضرب $x^{2}$ في $x$ بجمع الأُسس.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 3.3.1.3.1

انقُل $x$ .

$\frac{2 x^{3} - 2 x^{2} + 10 x - 10 - 2 (x \cdot x^{2}) - 2 (- 2 x) x - 2 \cdot 1 x}{{(x^{2} + 5)}^{2}}$

خطوة 3.3.1.3.2

اضرب $x$ في $x^{2}$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 3.3.1.3.2.1

ارفع $x$ إلى القوة $1$ .

$\frac{2 x^{3} - 2 x^{2} + 10 x - 10 - 2 (x^{1} x^{2}) - 2 (- 2 x) x - 2 \cdot 1 x}{{(x^{2} + 5)}^{2}}$

خطوة 3.3.1.3.2.2

استخدِم قاعدة القوة $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ لتجميع الأُسس.

$\frac{2 x^{3} - 2 x^{2} + 10 x - 10 - 2 x^{1 + 2} - 2 (- 2 x) x - 2 \cdot 1 x}{{(x^{2} + 5)}^{2}}$

خطوة 3.3.1.3.3

أضف $1$ و $2$ .

$\frac{2 x^{3} - 2 x^{2} + 10 x - 10 - 2 x^{3} - 2 (- 2 x) x - 2 \cdot 1 x}{{(x^{2} + 5)}^{2}}$

خطوة 3.3.1.4

اضرب $x$ في $x$ بجمع الأُسس.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 3.3.1.4.1

انقُل $x$ .

$\frac{2 x^{3} - 2 x^{2} + 10 x - 10 - 2 x^{3} - 2 (- 2 (x \cdot x)) - 2 \cdot 1 x}{{(x^{2} + 5)}^{2}}$

خطوة 3.3.1.4.2

اضرب $x$ في $x$ .

$\frac{2 x^{3} - 2 x^{2} + 10 x - 10 - 2 x^{3} - 2 (- 2 x^{2}) - 2 \cdot 1 x}{{(x^{2} + 5)}^{2}}$

خطوة 3.3.1.5

اضرب $- 2$ في $- 2$ .

$\frac{2 x^{3} - 2 x^{2} + 10 x - 10 - 2 x^{3} + 4 x^{2} - 2 \cdot 1 x}{{(x^{2} + 5)}^{2}}$

خطوة 3.3.1.6

اضرب $- 2$ في $1$ .

$\frac{2 x^{3} - 2 x^{2} + 10 x - 10 - 2 x^{3} + 4 x^{2} - 2 x}{{(x^{2} + 5)}^{2}}$

خطوة 3.3.2

جمّع الحدود المتعاكسة في $2 x^{3} - 2 x^{2} + 10 x - 10 - 2 x^{3} + 4 x^{2} - 2 x$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 3.3.2.1

اطرح $2 x^{3}$ من $2 x^{3}$ .

$\frac{- 2 x^{2} + 10 x - 10 + 0 + 4 x^{2} - 2 x}{{(x^{2} + 5)}^{2}}$

خطوة 3.3.2.2

أضف $- 2 x^{2} + 10 x - 10$ و $0$ .

$\frac{- 2 x^{2} + 10 x - 10 + 4 x^{2} - 2 x}{{(x^{2} + 5)}^{2}}$

خطوة 3.3.3

أضف $- 2 x^{2}$ و $4 x^{2}$ .

$\frac{2 x^{2} + 10 x - 10 - 2 x}{{(x^{2} + 5)}^{2}}$

خطوة 3.3.4

اطرح $2 x$ من $10 x$ .

$\frac{2 x^{2} + 8 x - 10}{{(x^{2} + 5)}^{2}}$

خطوة 3.4

بسّط بَسْط الكسر.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 3.4.1

أخرِج العامل $2$ من $2 x^{2} + 8 x - 10$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 3.4.1.1

أخرِج العامل $2$ من $2 x^{2}$ .

$\frac{2 (x^{2}) + 8 x - 10}{{(x^{2} + 5)}^{2}}$

خطوة 3.4.1.2

أخرِج العامل $2$ من $8 x$ .

$\frac{2 (x^{2}) + 2 (4 x) - 10}{{(x^{2} + 5)}^{2}}$

خطوة 3.4.1.3

أخرِج العامل $2$ من $- 10$ .

$\frac{2 x^{2} + 2 (4 x) + 2 \cdot - 5}{{(x^{2} + 5)}^{2}}$

خطوة 3.4.1.4

أخرِج العامل $2$ من $2 x^{2} + 2 (4 x)$ .

$\frac{2 (x^{2} + 4 x) + 2 \cdot - 5}{{(x^{2} + 5)}^{2}}$

خطوة 3.4.1.5

أخرِج العامل $2$ من $2 (x^{2} + 4 x) + 2 \cdot - 5$ .

$\frac{2 (x^{2} + 4 x - 5)}{{(x^{2} + 5)}^{2}}$

خطوة 3.4.2

حلّل $x^{2} + 4 x - 5$ إلى عوامل باستخدام طريقة AC.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 3.4.2.1

ضع في اعتبارك الصيغة $x^{2} + b x + c$ . ابحث عن زوج من الأعداد الصحيحة حاصل ضربهما $c$ ومجموعهما $b$ . في هذه الحالة، حاصل ضربهما $- 5$ ومجموعهما $4$ .

$- 1, 5$

خطوة 3.4.2.2

اكتب الصيغة المحلّلة إلى عوامل مستخدمًا هذه الأعداد الصحيحة.

$\frac{2 ((x - 1) (x + 5))}{{(x^{2} + 5)}^{2}}$

$\frac{2 (x - 1) (x + 5)}{{(x^{2} + 5)}^{2}}$