حساب التفاضل والتكامل الأمثلة

$y = \frac{x^{3}}{x^{2} + 1}$

خطوة 1

أوجِد المشتقة باستخدام قاعدة القسمة التي تنص على أن $\frac{d}{d x} [\frac{f (x)}{g (x)}]$ هو $\frac{g (x) \frac{d}{d x} [f (x)] - f (x) \frac{d}{d x} [g (x)]}{{g (x)}^{2}}$ حيث $f (x) = x^{3}$ و $g (x) = x^{2} + 1$ .

$\frac{(x^{2} + 1) \frac{d}{d x} [x^{3}] - x^{3} \frac{d}{d x} [x^{2} + 1]}{{(x^{2} + 1)}^{2}}$

خطوة 2

أوجِد المشتقة.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 2.1

أوجِد المشتقة باستخدام قاعدة القوة التي تنص على أن $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ هو $n x^{n - 1}$ حيث $n = 3$ .

$\frac{(x^{2} + 1) (3 x^{2}) - x^{3} \frac{d}{d x} [x^{2} + 1]}{{(x^{2} + 1)}^{2}}$

خطوة 2.2

انقُل $3$ إلى يسار $x^{2} + 1$ .

$\frac{3 \cdot (x^{2} + 1) x^{2} - x^{3} \frac{d}{d x} [x^{2} + 1]}{{(x^{2} + 1)}^{2}}$

خطوة 2.3

وفقًا لقاعدة الجمع، فإن مشتق $x^{2} + 1$ بالنسبة إلى $x$ هو $\frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [1]$ .

$\frac{3 (x^{2} + 1) x^{2} - x^{3} (\frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [1])}{{(x^{2} + 1)}^{2}}$

خطوة 2.4

أوجِد المشتقة باستخدام قاعدة القوة التي تنص على أن $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ هو $n x^{n - 1}$ حيث $n = 2$ .

$\frac{3 (x^{2} + 1) x^{2} - x^{3} (2 x + \frac{d}{d x} [1])}{{(x^{2} + 1)}^{2}}$

خطوة 2.5

بما أن $1$ عدد ثابت بالنسبة إلى $x$ ، فإن مشتق $1$ بالنسبة إلى $x$ هو $0$ .

$\frac{3 (x^{2} + 1) x^{2} - x^{3} (2 x + 0)}{{(x^{2} + 1)}^{2}}$

خطوة 2.6

بسّط العبارة.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 2.6.1

أضف $2 x$ و $0$ .

$\frac{3 (x^{2} + 1) x^{2} - x^{3} (2 x)}{{(x^{2} + 1)}^{2}}$

خطوة 2.6.2

اضرب $2$ في $- 1$ .

$\frac{3 (x^{2} + 1) x^{2} - 2 x^{3} x}{{(x^{2} + 1)}^{2}}$

خطوة 3

ارفع $x$ إلى القوة $1$ .

$\frac{3 (x^{2} + 1) x^{2} - 2 (x^{1} x^{3})}{{(x^{2} + 1)}^{2}}$

خطوة 4

استخدِم قاعدة القوة $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ لتجميع الأُسس.

$\frac{3 (x^{2} + 1) x^{2} - 2 x^{1 + 3}}{{(x^{2} + 1)}^{2}}$

خطوة 5

أضف $1$ و $3$ .

$\frac{3 (x^{2} + 1) x^{2} - 2 x^{4}}{{(x^{2} + 1)}^{2}}$

خطوة 6

بسّط.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 6.1

طبّق خاصية التوزيع.

$\frac{(3 x^{2} + 3 \cdot 1) x^{2} - 2 x^{4}}{{(x^{2} + 1)}^{2}}$

خطوة 6.2

طبّق خاصية التوزيع.

$\frac{3 x^{2} x^{2} + 3 \cdot 1 x^{2} - 2 x^{4}}{{(x^{2} + 1)}^{2}}$

خطوة 6.3

بسّط بَسْط الكسر.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 6.3.1

بسّط كل حد.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 6.3.1.1

اضرب $x^{2}$ في $x^{2}$ بجمع الأُسس.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 6.3.1.1.1

انقُل $x^{2}$ .

$\frac{3 (x^{2} x^{2}) + 3 \cdot 1 x^{2} - 2 x^{4}}{{(x^{2} + 1)}^{2}}$

خطوة 6.3.1.1.2

استخدِم قاعدة القوة $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ لتجميع الأُسس.

$\frac{3 x^{2 + 2} + 3 \cdot 1 x^{2} - 2 x^{4}}{{(x^{2} + 1)}^{2}}$

خطوة 6.3.1.1.3

أضف $2$ و $2$ .

$\frac{3 x^{4} + 3 \cdot 1 x^{2} - 2 x^{4}}{{(x^{2} + 1)}^{2}}$

خطوة 6.3.1.2

اضرب $3$ في $1$ .

$\frac{3 x^{4} + 3 x^{2} - 2 x^{4}}{{(x^{2} + 1)}^{2}}$

خطوة 6.3.2

اطرح $2 x^{4}$ من $3 x^{4}$ .

$\frac{x^{4} + 3 x^{2}}{{(x^{2} + 1)}^{2}}$

خطوة 6.4

أخرِج العامل $x^{2}$ من $x^{4} + 3 x^{2}$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 6.4.1

أخرِج العامل $x^{2}$ من $x^{4}$ .

$\frac{x^{2} x^{2} + 3 x^{2}}{{(x^{2} + 1)}^{2}}$

خطوة 6.4.2

أخرِج العامل $x^{2}$ من $3 x^{2}$ .

$\frac{x^{2} x^{2} + x^{2} \cdot 3}{{(x^{2} + 1)}^{2}}$

خطوة 6.4.3

أخرِج العامل $x^{2}$ من $x^{2} x^{2} + x^{2} \cdot 3$ .

$\frac{x^{2} (x^{2} + 3)}{{(x^{2} + 1)}^{2}}$