حساب التفاضل والتكامل الأمثلة

$y = \frac{1}{x^{4}} \cdot \sqrt{196 x^{8} + 420 x^{3} + \frac{225}{x^{2}}}$

خطوة 1

أعِد كتابة $\frac{d}{d x} [\frac{1}{x^{4}} \cdot \sqrt{196 x^{8} + 420 x^{3} + \frac{225}{x^{2}}}]$ بالصيغة $\frac{d}{d x} [\frac{1}{x^{4}} \cdot (14 x^{4} + \frac{15}{x})]$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 1.1

حلّل إلى عوامل باستخدام قاعدة المربع الكامل.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 1.1.1

أعِد كتابة $196 x^{8}$ بالصيغة ${(14 x^{4})}^{2}$ .

$\frac{d}{d x} [\frac{1}{x^{4}} \cdot \sqrt{{(14 x^{4})}^{2} + 420 x^{3} + \frac{225}{x^{2}}}]$

خطوة 1.1.2

أعِد كتابة $225$ بالصيغة $15^{2}$ .

$\frac{d}{d x} [\frac{1}{x^{4}} \cdot \sqrt{{(14 x^{4})}^{2} + 420 x^{3} + \frac{15^{2}}{x^{2}}}]$

خطوة 1.1.3

أعِد كتابة $\frac{15^{2}}{x^{2}}$ بالصيغة ${(\frac{15}{x})}^{2}$ .

$\frac{d}{d x} [\frac{1}{x^{4}} \cdot \sqrt{{(14 x^{4})}^{2} + 420 x^{3} + {(\frac{15}{x})}^{2}}]$

خطوة 1.1.4

تحقق من أن الحد الأوسط يساوي ضعف حاصل ضرب الأعداد المربعة في الحد الأول والحد الثالث.

$420 x^{3} = 2 \cdot (14 x^{4}) \cdot \frac{15}{x}$

خطوة 1.1.5

أعِد كتابة متعدد الحدود.

$\frac{d}{d x} [\frac{1}{x^{4}} \cdot \sqrt{{(14 x^{4})}^{2} + 2 \cdot (14 x^{4}) \cdot \frac{15}{x} + {(\frac{15}{x})}^{2}}]$

خطوة 1.1.6

حلّل إلى عوامل باستخدام قاعدة ثلاثي حدود المربع الكامل $a^{2} + 2 a b + b^{2} = {(a + b)}^{2}$ ، حيث $a = 14 x^{4}$ و $b = \frac{15}{x}$ .

$\frac{d}{d x} [\frac{1}{x^{4}} \cdot \sqrt{{(14 x^{4} + \frac{15}{x})}^{2}}]$

خطوة 1.2

أخرِج الحدود من تحت الجذر، بافتراض أن الأعداد حقيقية موجبة.

$\frac{d}{d x} [\frac{1}{x^{4}} \cdot (14 x^{4} + \frac{15}{x})]$

خطوة 2

أوجِد المشتقة باستخدام قاعدة الضرب التي تنص على أن $\frac{d}{d x} [f (x) g (x)]$ هو $f (x) \frac{d}{d x} [g (x)] + g (x) \frac{d}{d x} [f (x)]$ حيث $f (x) = \frac{1}{x^{4}}$ و $g (x) = 14 x^{4} + \frac{15}{x}$ .

$\frac{1}{x^{4}} \frac{d}{d x} [14 x^{4} + \frac{15}{x}] + (14 x^{4} + \frac{15}{x}) \frac{d}{d x} [\frac{1}{x^{4}}]$

خطوة 3

أوجِد المشتقة.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 3.1

وفقًا لقاعدة الجمع، فإن مشتق $14 x^{4} + \frac{15}{x}$ بالنسبة إلى $x$ هو $\frac{d}{d x} [14 x^{4}] + \frac{d}{d x} [\frac{15}{x}]$ .

$\frac{1}{x^{4}} (\frac{d}{d x} [14 x^{4}] + \frac{d}{d x} [\frac{15}{x}]) + (14 x^{4} + \frac{15}{x}) \frac{d}{d x} [\frac{1}{x^{4}}]$

خطوة 3.2

بما أن $14$ عدد ثابت بالنسبة إلى $x$ ، إذن مشتق $14 x^{4}$ بالنسبة إلى $x$ يساوي $14 \frac{d}{d x} [x^{4}]$ .

$\frac{1}{x^{4}} (14 \frac{d}{d x} [x^{4}] + \frac{d}{d x} [\frac{15}{x}]) + (14 x^{4} + \frac{15}{x}) \frac{d}{d x} [\frac{1}{x^{4}}]$

خطوة 3.3

أوجِد المشتقة باستخدام قاعدة القوة التي تنص على أن $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ هو $n x^{n - 1}$ حيث $n = 4$ .

$\frac{1}{x^{4}} (14 (4 x^{3}) + \frac{d}{d x} [\frac{15}{x}]) + (14 x^{4} + \frac{15}{x}) \frac{d}{d x} [\frac{1}{x^{4}}]$

خطوة 3.4

اضرب $4$ في $14$ .

$\frac{1}{x^{4}} (56 x^{3} + \frac{d}{d x} [\frac{15}{x}]) + (14 x^{4} + \frac{15}{x}) \frac{d}{d x} [\frac{1}{x^{4}}]$

خطوة 3.5

بما أن $15$ عدد ثابت بالنسبة إلى $x$ ، إذن مشتق $\frac{15}{x}$ بالنسبة إلى $x$ يساوي $15 \frac{d}{d x} [\frac{1}{x}]$ .

$\frac{1}{x^{4}} (56 x^{3} + 15 \frac{d}{d x} [\frac{1}{x}]) + (14 x^{4} + \frac{15}{x}) \frac{d}{d x} [\frac{1}{x^{4}}]$

خطوة 3.6

أعِد كتابة $\frac{1}{x}$ بالصيغة $x^{- 1}$ .

$\frac{1}{x^{4}} (56 x^{3} + 15 \frac{d}{d x} [x^{- 1}]) + (14 x^{4} + \frac{15}{x}) \frac{d}{d x} [\frac{1}{x^{4}}]$

خطوة 3.7

أوجِد المشتقة باستخدام قاعدة القوة التي تنص على أن $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ هو $n x^{n - 1}$ حيث $n = - 1$ .

$\frac{1}{x^{4}} (56 x^{3} + 15 (- x^{- 2})) + (14 x^{4} + \frac{15}{x}) \frac{d}{d x} [\frac{1}{x^{4}}]$

خطوة 3.8

بسّط العبارة.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 3.8.1

اضرب $- 1$ في $15$ .

$\frac{1}{x^{4}} (56 x^{3} - 15 x^{- 2}) + (14 x^{4} + \frac{15}{x}) \frac{d}{d x} [\frac{1}{x^{4}}]$

خطوة 3.8.2

أعِد كتابة $\frac{1}{x^{4}}$ بالصيغة ${(x^{4})}^{- 1}$ .

$\frac{1}{x^{4}} (56 x^{3} - 15 x^{- 2}) + (14 x^{4} + \frac{15}{x}) \frac{d}{d x} [{(x^{4})}^{- 1}]$

خطوة 3.8.3

اضرب الأُسس في ${(x^{4})}^{- 1}$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 3.8.3.1

طبّق قاعدة القوة واضرب الأُسس، ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$\frac{1}{x^{4}} (56 x^{3} - 15 x^{- 2}) + (14 x^{4} + \frac{15}{x}) \frac{d}{d x} [x^{4 \cdot - 1}]$

خطوة 3.8.3.2

اضرب $4$ في $- 1$ .

$\frac{1}{x^{4}} (56 x^{3} - 15 x^{- 2}) + (14 x^{4} + \frac{15}{x}) \frac{d}{d x} [x^{- 4}]$

خطوة 3.9

أوجِد المشتقة باستخدام قاعدة القوة التي تنص على أن $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ هو $n x^{n - 1}$ حيث $n = - 4$ .

$\frac{1}{x^{4}} (56 x^{3} - 15 x^{- 2}) + (14 x^{4} + \frac{15}{x}) (- 4 x^{- 5})$

خطوة 4

بسّط.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 4.1

أعِد كتابة العبارة باستخدام قاعدة الأُسس السالبة $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$\frac{1}{x^{4}} (56 x^{3} - 15 \frac{1}{x^{2}}) + (14 x^{4} + \frac{15}{x}) (- 4 x^{- 5})$

خطوة 4.2

أعِد كتابة العبارة باستخدام قاعدة الأُسس السالبة $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$\frac{1}{x^{4}} (56 x^{3} - 15 \frac{1}{x^{2}}) + (14 x^{4} + \frac{15}{x}) (- 4 \frac{1}{x^{5}})$

خطوة 4.3

طبّق خاصية التوزيع.

$\frac{1}{x^{4}} (56 x^{3}) + \frac{1}{x^{4}} (- 15 \frac{1}{x^{2}}) + (14 x^{4} + \frac{15}{x}) (- 4 \frac{1}{x^{5}})$

خطوة 4.4

طبّق خاصية التوزيع.

$\frac{1}{x^{4}} (56 x^{3}) + \frac{1}{x^{4}} (- 15 \frac{1}{x^{2}}) + 14 x^{4} (- 4 \frac{1}{x^{5}}) + \frac{15}{x} (- 4 \frac{1}{x^{5}})$

خطوة 4.5

جمّع الحدود.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 4.5.1

اجمع $56$ و $\frac{1}{x^{4}}$ .

$\frac{56}{x^{4}} x^{3} + \frac{1}{x^{4}} (- 15 \frac{1}{x^{2}}) + 14 x^{4} (- 4 \frac{1}{x^{5}}) + \frac{15}{x} (- 4 \frac{1}{x^{5}})$

خطوة 4.5.2

اجمع $\frac{56}{x^{4}}$ و $x^{3}$ .

$\frac{56 x^{3}}{x^{4}} + \frac{1}{x^{4}} (- 15 \frac{1}{x^{2}}) + 14 x^{4} (- 4 \frac{1}{x^{5}}) + \frac{15}{x} (- 4 \frac{1}{x^{5}})$

خطوة 4.5.3

احذِف العامل المشترك لـ $x^{3}$ و $x^{4}$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 4.5.3.1

أخرِج العامل $x^{3}$ من $56 x^{3}$ .

$\frac{x^{3} \cdot 56}{x^{4}} + \frac{1}{x^{4}} (- 15 \frac{1}{x^{2}}) + 14 x^{4} (- 4 \frac{1}{x^{5}}) + \frac{15}{x} (- 4 \frac{1}{x^{5}})$

خطوة 4.5.3.2

ألغِ العوامل المشتركة.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 4.5.3.2.1

أخرِج العامل $x^{3}$ من $x^{4}$ .

$\frac{x^{3} \cdot 56}{x^{3} x} + \frac{1}{x^{4}} (- 15 \frac{1}{x^{2}}) + 14 x^{4} (- 4 \frac{1}{x^{5}}) + \frac{15}{x} (- 4 \frac{1}{x^{5}})$

خطوة 4.5.3.2.2

ألغِ العامل المشترك.

$\frac{x^{3} \cdot 56}{x^{3} x} + \frac{1}{x^{4}} (- 15 \frac{1}{x^{2}}) + 14 x^{4} (- 4 \frac{1}{x^{5}}) + \frac{15}{x} (- 4 \frac{1}{x^{5}})$

خطوة 4.5.3.2.3

أعِد كتابة العبارة.

$\frac{56}{x} + \frac{1}{x^{4}} (- 15 \frac{1}{x^{2}}) + 14 x^{4} (- 4 \frac{1}{x^{5}}) + \frac{15}{x} (- 4 \frac{1}{x^{5}})$

خطوة 4.5.4

اجمع $- 15$ و $\frac{1}{x^{2}}$ .

$\frac{56}{x} + \frac{1}{x^{4}} \cdot \frac{- 15}{x^{2}} + 14 x^{4} (- 4 \frac{1}{x^{5}}) + \frac{15}{x} (- 4 \frac{1}{x^{5}})$

خطوة 4.5.5

انقُل السالب أمام الكسر.

$\frac{56}{x} + \frac{1}{x^{4}} (- \frac{15}{x^{2}}) + 14 x^{4} (- 4 \frac{1}{x^{5}}) + \frac{15}{x} (- 4 \frac{1}{x^{5}})$

خطوة 4.5.6

اضرب $\frac{1}{x^{4}}$ في $\frac{15}{x^{2}}$ .

$\frac{56}{x} - \frac{15}{x^{4} x^{2}} + 14 x^{4} (- 4 \frac{1}{x^{5}}) + \frac{15}{x} (- 4 \frac{1}{x^{5}})$

خطوة 4.5.7

اضرب $x^{4}$ في $x^{2}$ بجمع الأُسس.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 4.5.7.1

استخدِم قاعدة القوة $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ لتجميع الأُسس.

$\frac{56}{x} - \frac{15}{x^{4 + 2}} + 14 x^{4} (- 4 \frac{1}{x^{5}}) + \frac{15}{x} (- 4 \frac{1}{x^{5}})$

خطوة 4.5.7.2

أضف $4$ و $2$ .

$\frac{56}{x} - \frac{15}{x^{6}} + 14 x^{4} (- 4 \frac{1}{x^{5}}) + \frac{15}{x} (- 4 \frac{1}{x^{5}})$

خطوة 4.5.8

اجمع $- 4$ و $\frac{1}{x^{5}}$ .

$\frac{56}{x} - \frac{15}{x^{6}} + 14 x^{4} \frac{- 4}{x^{5}} + \frac{15}{x} (- 4 \frac{1}{x^{5}})$

خطوة 4.5.9

انقُل السالب أمام الكسر.

$\frac{56}{x} - \frac{15}{x^{6}} + 14 x^{4} (- \frac{4}{x^{5}}) + \frac{15}{x} (- 4 \frac{1}{x^{5}})$

خطوة 4.5.10

اضرب $- 1$ في $14$ .

$\frac{56}{x} - \frac{15}{x^{6}} - 14 x^{4} \frac{4}{x^{5}} + \frac{15}{x} (- 4 \frac{1}{x^{5}})$

خطوة 4.5.11

اجمع $- 14$ و $\frac{4}{x^{5}}$ .

$\frac{56}{x} - \frac{15}{x^{6}} + x^{4} \frac{- 14 \cdot 4}{x^{5}} + \frac{15}{x} (- 4 \frac{1}{x^{5}})$

خطوة 4.5.12

اضرب $- 14$ في $4$ .

$\frac{56}{x} - \frac{15}{x^{6}} + x^{4} \frac{- 56}{x^{5}} + \frac{15}{x} (- 4 \frac{1}{x^{5}})$

خطوة 4.5.13

اجمع $x^{4}$ و $\frac{- 56}{x^{5}}$ .

$\frac{56}{x} - \frac{15}{x^{6}} + \frac{x^{4} \cdot - 56}{x^{5}} + \frac{15}{x} (- 4 \frac{1}{x^{5}})$

خطوة 4.5.14

انقُل $- 56$ إلى يسار $x^{4}$ .

$\frac{56}{x} - \frac{15}{x^{6}} + \frac{- 56 \cdot x^{4}}{x^{5}} + \frac{15}{x} (- 4 \frac{1}{x^{5}})$

خطوة 4.5.15

احذِف العامل المشترك لـ $x^{4}$ و $x^{5}$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 4.5.15.1

أخرِج العامل $x^{4}$ من $- 56 x^{4}$ .

$\frac{56}{x} - \frac{15}{x^{6}} + \frac{x^{4} \cdot - 56}{x^{5}} + \frac{15}{x} (- 4 \frac{1}{x^{5}})$

خطوة 4.5.15.2

ألغِ العوامل المشتركة.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 4.5.15.2.1

أخرِج العامل $x^{4}$ من $x^{5}$ .

$\frac{56}{x} - \frac{15}{x^{6}} + \frac{x^{4} \cdot - 56}{x^{4} x} + \frac{15}{x} (- 4 \frac{1}{x^{5}})$

خطوة 4.5.15.2.2

ألغِ العامل المشترك.

$\frac{56}{x} - \frac{15}{x^{6}} + \frac{x^{4} \cdot - 56}{x^{4} x} + \frac{15}{x} (- 4 \frac{1}{x^{5}})$

خطوة 4.5.15.2.3

أعِد كتابة العبارة.

$\frac{56}{x} - \frac{15}{x^{6}} + \frac{- 56}{x} + \frac{15}{x} (- 4 \frac{1}{x^{5}})$

خطوة 4.5.16

انقُل السالب أمام الكسر.

$\frac{56}{x} - \frac{15}{x^{6}} - \frac{56}{x} + \frac{15}{x} (- 4 \frac{1}{x^{5}})$

خطوة 4.5.17

اجمع $- 4$ و $\frac{1}{x^{5}}$ .

$\frac{56}{x} - \frac{15}{x^{6}} - \frac{56}{x} + \frac{15}{x} \cdot \frac{- 4}{x^{5}}$

خطوة 4.5.18

انقُل السالب أمام الكسر.

$\frac{56}{x} - \frac{15}{x^{6}} - \frac{56}{x} + \frac{15}{x} (- \frac{4}{x^{5}})$

خطوة 4.5.19

اضرب $\frac{15}{x}$ في $\frac{4}{x^{5}}$ .

$\frac{56}{x} - \frac{15}{x^{6}} - \frac{56}{x} - \frac{15 \cdot 4}{x \cdot x^{5}}$

خطوة 4.5.20

اضرب $15$ في $4$ .

$\frac{56}{x} - \frac{15}{x^{6}} - \frac{56}{x} - \frac{60}{x \cdot x^{5}}$

خطوة 4.5.21

اضرب $x$ في $x^{5}$ بجمع الأُسس.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 4.5.21.1

اضرب $x$ في $x^{5}$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 4.5.21.1.1

ارفع $x$ إلى القوة $1$ .

$\frac{56}{x} - \frac{15}{x^{6}} - \frac{56}{x} - \frac{60}{x^{1} x^{5}}$

خطوة 4.5.21.1.2

استخدِم قاعدة القوة $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ لتجميع الأُسس.

$\frac{56}{x} - \frac{15}{x^{6}} - \frac{56}{x} - \frac{60}{x^{1 + 5}}$

خطوة 4.5.21.2

أضف $1$ و $5$ .

$\frac{56}{x} - \frac{15}{x^{6}} - \frac{56}{x} - \frac{60}{x^{6}}$

خطوة 4.5.22

اطرح $\frac{56}{x}$ من $\frac{56}{x}$ .

$- \frac{15}{x^{6}} + 0 - \frac{60}{x^{6}}$

خطوة 4.5.23

أضف $- \frac{15}{x^{6}}$ و $0$ .

$- \frac{15}{x^{6}} - \frac{60}{x^{6}}$

خطوة 4.5.24

اجمع البسوط على القاسم المشترك.

$\frac{- 15 - 60}{x^{6}}$

خطوة 4.5.25

اطرح $60$ من $- 15$ .

$\frac{- 75}{x^{6}}$

خطوة 4.5.26

انقُل السالب أمام الكسر.

$- \frac{75}{x^{6}}$