حساب التفاضل والتكامل الأمثلة

$y = \frac{1}{\sqrt[3]{x + \sqrt{x}}}$

خطوة 1

طبّق القواعد الأساسية للأُسس.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 1.1

استخدِم $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ لكتابة $\sqrt{x}$ في صورة $x^{\frac{1}{2}}$ .

$\frac{d}{d x} [\frac{1}{\sqrt[3]{x + x^{\frac{1}{2}}}}]$

خطوة 1.2

استخدِم $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ لكتابة $\sqrt[3]{x + x^{\frac{1}{2}}}$ في صورة ${(x + x^{\frac{1}{2}})}^{\frac{1}{3}}$ .

$\frac{d}{d x} [\frac{1}{{(x + x^{\frac{1}{2}})}^{\frac{1}{3}}}]$

خطوة 1.3

أعِد كتابة $\frac{1}{{(x + x^{\frac{1}{2}})}^{\frac{1}{3}}}$ بالصيغة ${({(x + x^{\frac{1}{2}})}^{\frac{1}{3}})}^{- 1}$ .

$\frac{d}{d x} [{({(x + x^{\frac{1}{2}})}^{\frac{1}{3}})}^{- 1}]$

خطوة 1.4

اضرب الأُسس في ${({(x + x^{\frac{1}{2}})}^{\frac{1}{3}})}^{- 1}$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 1.4.1

طبّق قاعدة القوة واضرب الأُسس، ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$\frac{d}{d x} [{(x + x^{\frac{1}{2}})}^{\frac{1}{3} \cdot - 1}]$

خطوة 1.4.2

اجمع $\frac{1}{3}$ و $- 1$ .

$\frac{d}{d x} [{(x + x^{\frac{1}{2}})}^{\frac{- 1}{3}}]$

خطوة 1.4.3

انقُل السالب أمام الكسر.

$\frac{d}{d x} [{(x + x^{\frac{1}{2}})}^{- \frac{1}{3}}]$

خطوة 2

أوجِد المشتقة باستخدام قاعدة السلسلة، والتي تنص على أن $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ هو $f' (g (x)) g' (x)$ حيث $f (x) = x^{- \frac{1}{3}}$ و $g (x) = x + x^{\frac{1}{2}}$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 2.1

لتطبيق قاعدة السلسلة، عيّن قيمة $u$ لتصبح $x + x^{\frac{1}{2}}$ .

$\frac{d}{d u} [u^{- \frac{1}{3}}] \frac{d}{d x} [x + x^{\frac{1}{2}}]$

خطوة 2.2

أوجِد المشتقة باستخدام قاعدة القوة التي تنص على أن $\frac{d}{d u} [u^{n}]$ هو $n u^{n - 1}$ حيث $n = - \frac{1}{3}$ .

$- \frac{1}{3} u^{- \frac{1}{3} - 1} \frac{d}{d x} [x + x^{\frac{1}{2}}]$

خطوة 2.3

استبدِل كافة حالات حدوث $u$ بـ $x + x^{\frac{1}{2}}$ .

$- \frac{1}{3} {(x + x^{\frac{1}{2}})}^{- \frac{1}{3} - 1} \frac{d}{d x} [x + x^{\frac{1}{2}}]$

خطوة 3

لكتابة $- 1$ على هيئة كسر بقاسم مشترك، اضرب في $\frac{3}{3}$ .

$- \frac{1}{3} {(x + x^{\frac{1}{2}})}^{- \frac{1}{3} - 1 \cdot \frac{3}{3}} \frac{d}{d x} [x + x^{\frac{1}{2}}]$

خطوة 4

اجمع $- 1$ و $\frac{3}{3}$ .

$- \frac{1}{3} {(x + x^{\frac{1}{2}})}^{- \frac{1}{3} + \frac{- 1 \cdot 3}{3}} \frac{d}{d x} [x + x^{\frac{1}{2}}]$

خطوة 5

اجمع البسوط على القاسم المشترك.

$- \frac{1}{3} {(x + x^{\frac{1}{2}})}^{\frac{- 1 - 1 \cdot 3}{3}} \frac{d}{d x} [x + x^{\frac{1}{2}}]$

خطوة 6

بسّط بَسْط الكسر.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 6.1

اضرب $- 1$ في $3$ .

$- \frac{1}{3} {(x + x^{\frac{1}{2}})}^{\frac{- 1 - 3}{3}} \frac{d}{d x} [x + x^{\frac{1}{2}}]$

خطوة 6.2

اطرح $3$ من $- 1$ .

$- \frac{1}{3} {(x + x^{\frac{1}{2}})}^{\frac{- 4}{3}} \frac{d}{d x} [x + x^{\frac{1}{2}}]$

خطوة 7

اجمع الكسور.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 7.1

انقُل السالب أمام الكسر.

$- \frac{1}{3} {(x + x^{\frac{1}{2}})}^{- \frac{4}{3}} \frac{d}{d x} [x + x^{\frac{1}{2}}]$

خطوة 7.2

اجمع ${(x + x^{\frac{1}{2}})}^{- \frac{4}{3}}$ و $\frac{1}{3}$ .

$- \frac{{(x + x^{\frac{1}{2}})}^{- \frac{4}{3}}}{3} \frac{d}{d x} [x + x^{\frac{1}{2}}]$

خطوة 7.3

انقُل ${(x + x^{\frac{1}{2}})}^{- \frac{4}{3}}$ إلى القاسم باستخدام قاعدة الأُسس السالبة $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$- \frac{1}{3 {(x + x^{\frac{1}{2}})}^{\frac{4}{3}}} \frac{d}{d x} [x + x^{\frac{1}{2}}]$

خطوة 8

وفقًا لقاعدة الجمع، فإن مشتق $x + x^{\frac{1}{2}}$ بالنسبة إلى $x$ هو $\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [x^{\frac{1}{2}}]$ .

$- \frac{1}{3 {(x + x^{\frac{1}{2}})}^{\frac{4}{3}}} (\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [x^{\frac{1}{2}}])$

خطوة 9

أوجِد المشتقة باستخدام قاعدة القوة التي تنص على أن $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ هو $n x^{n - 1}$ حيث $n = 1$ .

$- \frac{1}{3 {(x + x^{\frac{1}{2}})}^{\frac{4}{3}}} (1 + \frac{d}{d x} [x^{\frac{1}{2}}])$

خطوة 10

أوجِد المشتقة باستخدام قاعدة القوة التي تنص على أن $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ هو $n x^{n - 1}$ حيث $n = \frac{1}{2}$ .

$- \frac{1}{3 {(x + x^{\frac{1}{2}})}^{\frac{4}{3}}} (1 + \frac{1}{2} x^{\frac{1}{2} - 1})$

خطوة 11

لكتابة $- 1$ على هيئة كسر بقاسم مشترك، اضرب في $\frac{2}{2}$ .

$- \frac{1}{3 {(x + x^{\frac{1}{2}})}^{\frac{4}{3}}} (1 + \frac{1}{2} x^{\frac{1}{2} - 1 \cdot \frac{2}{2}})$

خطوة 12

اجمع $- 1$ و $\frac{2}{2}$ .

$- \frac{1}{3 {(x + x^{\frac{1}{2}})}^{\frac{4}{3}}} (1 + \frac{1}{2} x^{\frac{1}{2} + \frac{- 1 \cdot 2}{2}})$

خطوة 13

اجمع البسوط على القاسم المشترك.

$- \frac{1}{3 {(x + x^{\frac{1}{2}})}^{\frac{4}{3}}} (1 + \frac{1}{2} x^{\frac{1 - 1 \cdot 2}{2}})$

خطوة 14

بسّط بَسْط الكسر.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 14.1

اضرب $- 1$ في $2$ .

$- \frac{1}{3 {(x + x^{\frac{1}{2}})}^{\frac{4}{3}}} (1 + \frac{1}{2} x^{\frac{1 - 2}{2}})$

خطوة 14.2

اطرح $2$ من $1$ .

$- \frac{1}{3 {(x + x^{\frac{1}{2}})}^{\frac{4}{3}}} (1 + \frac{1}{2} x^{\frac{- 1}{2}})$

خطوة 15

انقُل السالب أمام الكسر.

$- \frac{1}{3 {(x + x^{\frac{1}{2}})}^{\frac{4}{3}}} (1 + \frac{1}{2} x^{- \frac{1}{2}})$

خطوة 16

اجمع $\frac{1}{2}$ و $x^{- \frac{1}{2}}$ .

$- \frac{1}{3 {(x + x^{\frac{1}{2}})}^{\frac{4}{3}}} (1 + \frac{x^{- \frac{1}{2}}}{2})$

خطوة 17

انقُل $x^{- \frac{1}{2}}$ إلى القاسم باستخدام قاعدة الأُسس السالبة $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$- \frac{1}{3 {(x + x^{\frac{1}{2}})}^{\frac{4}{3}}} (1 + \frac{1}{2 x^{\frac{1}{2}}})$

خطوة 18

بسّط.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 18.1

أعِد ترتيب عوامل $- \frac{1}{3 {(x + x^{\frac{1}{2}})}^{\frac{4}{3}}} (1 + \frac{1}{2 x^{\frac{1}{2}}})$ .

$- (1 + \frac{1}{2 x^{\frac{1}{2}}}) \frac{1}{3 {(x + x^{\frac{1}{2}})}^{\frac{4}{3}}}$

خطوة 18.2

طبّق خاصية التوزيع.

$(- 1 \cdot 1 - \frac{1}{2 x^{\frac{1}{2}}}) \frac{1}{3 {(x + x^{\frac{1}{2}})}^{\frac{4}{3}}}$

خطوة 18.3

اضرب $- 1$ في $1$ .

$(- 1 - \frac{1}{2 x^{\frac{1}{2}}}) \frac{1}{3 {(x + x^{\frac{1}{2}})}^{\frac{4}{3}}}$

خطوة 18.4

اضرب $- 1 - \frac{1}{2 x^{\frac{1}{2}}}$ في $\frac{1}{3 {(x + x^{\frac{1}{2}})}^{\frac{4}{3}}}$ .

$\frac{- 1 - \frac{1}{2 x^{\frac{1}{2}}}}{3 {(x + x^{\frac{1}{2}})}^{\frac{4}{3}}}$

خطوة 18.5

بسّط بَسْط الكسر.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 18.5.1

أخرِج العامل $- 1$ من $- 1 - \frac{1}{2 x^{\frac{1}{2}}}$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 18.5.1.1

أعِد كتابة $- 1$ بالصيغة $- 1 (1)$ .

$\frac{- 1 (1) - \frac{1}{2 x^{\frac{1}{2}}}}{3 {(x + x^{\frac{1}{2}})}^{\frac{4}{3}}}$

خطوة 18.5.1.2

أخرِج العامل $- 1$ من $- \frac{1}{2 x^{\frac{1}{2}}}$ .

$\frac{- 1 (1) - (\frac{1}{2 x^{\frac{1}{2}}})}{3 {(x + x^{\frac{1}{2}})}^{\frac{4}{3}}}$

خطوة 18.5.1.3

أخرِج العامل $- 1$ من $- 1 (1) - (\frac{1}{2 x^{\frac{1}{2}}})$ .

$\frac{- 1 (1 + \frac{1}{2 x^{\frac{1}{2}}})}{3 {(x + x^{\frac{1}{2}})}^{\frac{4}{3}}}$

خطوة 18.5.1.4

أعِد كتابة $- 1 (1 + \frac{1}{2 x^{\frac{1}{2}}})$ بالصيغة $- (1 + \frac{1}{2 x^{\frac{1}{2}}})$ .

$\frac{- (1 + \frac{1}{2 x^{\frac{1}{2}}})}{3 {(x + x^{\frac{1}{2}})}^{\frac{4}{3}}}$

خطوة 18.5.2

اكتب $1$ في صورة كسر ذي قاسم مشترك.

$\frac{- (\frac{2 x^{\frac{1}{2}}}{2 x^{\frac{1}{2}}} + \frac{1}{2 x^{\frac{1}{2}}})}{3 {(x + x^{\frac{1}{2}})}^{\frac{4}{3}}}$

خطوة 18.5.3

اجمع البسوط على القاسم المشترك.

$\frac{- \frac{2 x^{\frac{1}{2}} + 1}{2 x^{\frac{1}{2}}}}{3 {(x + x^{\frac{1}{2}})}^{\frac{4}{3}}}$

خطوة 18.6

اضرب بسط الكسر في مقلوب القاسم.

$- \frac{2 x^{\frac{1}{2}} + 1}{2 x^{\frac{1}{2}}} \cdot \frac{1}{3 {(x + x^{\frac{1}{2}})}^{\frac{4}{3}}}$

خطوة 18.7

اضرب $- \frac{2 x^{\frac{1}{2}} + 1}{2 x^{\frac{1}{2}}} \cdot \frac{1}{3 {(x + x^{\frac{1}{2}})}^{\frac{4}{3}}}$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 18.7.1

اضرب $\frac{1}{3 {(x + x^{\frac{1}{2}})}^{\frac{4}{3}}}$ في $\frac{2 x^{\frac{1}{2}} + 1}{2 x^{\frac{1}{2}}}$ .

$- \frac{2 x^{\frac{1}{2}} + 1}{3 {(x + x^{\frac{1}{2}})}^{\frac{4}{3}} (2 x^{\frac{1}{2}})}$

خطوة 18.7.2

اضرب $2$ في $3$ .

$- \frac{2 x^{\frac{1}{2}} + 1}{6 {(x + x^{\frac{1}{2}})}^{\frac{4}{3}} x^{\frac{1}{2}}}$