حساب التفاضل والتكامل الأمثلة

$y = \frac{2 x^{4} - 3 x}{4 x - 1}$

خطوة 1

أوجِد المشتقة باستخدام قاعدة القسمة التي تنص على أن $\frac{d}{d x} [\frac{f (x)}{g (x)}]$ هو $\frac{g (x) \frac{d}{d x} [f (x)] - f (x) \frac{d}{d x} [g (x)]}{{g (x)}^{2}}$ حيث $f (x) = 2 x^{4} - 3 x$ و $g (x) = 4 x - 1$ .

$\frac{(4 x - 1) \frac{d}{d x} [2 x^{4} - 3 x] - (2 x^{4} - 3 x) \frac{d}{d x} [4 x - 1]}{{(4 x - 1)}^{2}}$

خطوة 2

أوجِد المشتقة.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 2.1

وفقًا لقاعدة الجمع، فإن مشتق $2 x^{4} - 3 x$ بالنسبة إلى $x$ هو $\frac{d}{d x} [2 x^{4}] + \frac{d}{d x} [- 3 x]$ .

$\frac{(4 x - 1) (\frac{d}{d x} [2 x^{4}] + \frac{d}{d x} [- 3 x]) - (2 x^{4} - 3 x) \frac{d}{d x} [4 x - 1]}{{(4 x - 1)}^{2}}$

خطوة 2.2

بما أن $2$ عدد ثابت بالنسبة إلى $x$ ، إذن مشتق $2 x^{4}$ بالنسبة إلى $x$ يساوي $2 \frac{d}{d x} [x^{4}]$ .

$\frac{(4 x - 1) (2 \frac{d}{d x} [x^{4}] + \frac{d}{d x} [- 3 x]) - (2 x^{4} - 3 x) \frac{d}{d x} [4 x - 1]}{{(4 x - 1)}^{2}}$

خطوة 2.3

أوجِد المشتقة باستخدام قاعدة القوة التي تنص على أن $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ هو $n x^{n - 1}$ حيث $n = 4$ .

$\frac{(4 x - 1) (2 (4 x^{3}) + \frac{d}{d x} [- 3 x]) - (2 x^{4} - 3 x) \frac{d}{d x} [4 x - 1]}{{(4 x - 1)}^{2}}$

خطوة 2.4

اضرب $4$ في $2$ .

$\frac{(4 x - 1) (8 x^{3} + \frac{d}{d x} [- 3 x]) - (2 x^{4} - 3 x) \frac{d}{d x} [4 x - 1]}{{(4 x - 1)}^{2}}$

خطوة 2.5

بما أن $- 3$ عدد ثابت بالنسبة إلى $x$ ، إذن مشتق $- 3 x$ بالنسبة إلى $x$ يساوي $- 3 \frac{d}{d x} [x]$ .

$\frac{(4 x - 1) (8 x^{3} - 3 \frac{d}{d x} [x]) - (2 x^{4} - 3 x) \frac{d}{d x} [4 x - 1]}{{(4 x - 1)}^{2}}$

خطوة 2.6

أوجِد المشتقة باستخدام قاعدة القوة التي تنص على أن $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ هو $n x^{n - 1}$ حيث $n = 1$ .

$\frac{(4 x - 1) (8 x^{3} - 3 \cdot 1) - (2 x^{4} - 3 x) \frac{d}{d x} [4 x - 1]}{{(4 x - 1)}^{2}}$

خطوة 2.7

اضرب $- 3$ في $1$ .

$\frac{(4 x - 1) (8 x^{3} - 3) - (2 x^{4} - 3 x) \frac{d}{d x} [4 x - 1]}{{(4 x - 1)}^{2}}$

خطوة 2.8

وفقًا لقاعدة الجمع، فإن مشتق $4 x - 1$ بالنسبة إلى $x$ هو $\frac{d}{d x} [4 x] + \frac{d}{d x} [- 1]$ .

$\frac{(4 x - 1) (8 x^{3} - 3) - (2 x^{4} - 3 x) (\frac{d}{d x} [4 x] + \frac{d}{d x} [- 1])}{{(4 x - 1)}^{2}}$

خطوة 2.9

بما أن $4$ عدد ثابت بالنسبة إلى $x$ ، إذن مشتق $4 x$ بالنسبة إلى $x$ يساوي $4 \frac{d}{d x} [x]$ .

$\frac{(4 x - 1) (8 x^{3} - 3) - (2 x^{4} - 3 x) (4 \frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [- 1])}{{(4 x - 1)}^{2}}$

خطوة 2.10

أوجِد المشتقة باستخدام قاعدة القوة التي تنص على أن $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ هو $n x^{n - 1}$ حيث $n = 1$ .

$\frac{(4 x - 1) (8 x^{3} - 3) - (2 x^{4} - 3 x) (4 \cdot 1 + \frac{d}{d x} [- 1])}{{(4 x - 1)}^{2}}$

خطوة 2.11

اضرب $4$ في $1$ .

$\frac{(4 x - 1) (8 x^{3} - 3) - (2 x^{4} - 3 x) (4 + \frac{d}{d x} [- 1])}{{(4 x - 1)}^{2}}$

خطوة 2.12

بما أن $- 1$ عدد ثابت بالنسبة إلى $x$ ، فإن مشتق $- 1$ بالنسبة إلى $x$ هو $0$ .

$\frac{(4 x - 1) (8 x^{3} - 3) - (2 x^{4} - 3 x) (4 + 0)}{{(4 x - 1)}^{2}}$

خطوة 2.13

بسّط العبارة.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 2.13.1

أضف $4$ و $0$ .

$\frac{(4 x - 1) (8 x^{3} - 3) - (2 x^{4} - 3 x) \cdot 4}{{(4 x - 1)}^{2}}$

خطوة 2.13.2

اضرب $4$ في $- 1$ .

$\frac{(4 x - 1) (8 x^{3} - 3) - 4 (2 x^{4} - 3 x)}{{(4 x - 1)}^{2}}$

خطوة 3

بسّط.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 3.1

طبّق خاصية التوزيع.

$\frac{(4 x - 1) (8 x^{3} - 3) - 4 (2 x^{4}) - 4 (- 3 x)}{{(4 x - 1)}^{2}}$

خطوة 3.2

بسّط بَسْط الكسر.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 3.2.1

بسّط كل حد.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 3.2.1.1

وسّع $(4 x - 1) (8 x^{3} - 3)$ باستخدام طريقة "الأول، الخارجي، الداخلي، الأخير".

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 3.2.1.1.1

طبّق خاصية التوزيع.

$\frac{4 x (8 x^{3} - 3) - 1 (8 x^{3} - 3) - 4 (2 x^{4}) - 4 (- 3 x)}{{(4 x - 1)}^{2}}$

خطوة 3.2.1.1.2

طبّق خاصية التوزيع.

$\frac{4 x (8 x^{3}) + 4 x \cdot - 3 - 1 (8 x^{3} - 3) - 4 (2 x^{4}) - 4 (- 3 x)}{{(4 x - 1)}^{2}}$

خطوة 3.2.1.1.3

طبّق خاصية التوزيع.

$\frac{4 x (8 x^{3}) + 4 x \cdot - 3 - 1 (8 x^{3}) - 1 \cdot - 3 - 4 (2 x^{4}) - 4 (- 3 x)}{{(4 x - 1)}^{2}}$

خطوة 3.2.1.2

بسّط كل حد.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 3.2.1.2.1

أعِد الكتابة باستخدام خاصية الإبدال لعملية الضرب.

$\frac{4 \cdot 8 x \cdot x^{3} + 4 x \cdot - 3 - 1 (8 x^{3}) - 1 \cdot - 3 - 4 (2 x^{4}) - 4 (- 3 x)}{{(4 x - 1)}^{2}}$

خطوة 3.2.1.2.2

اضرب $x$ في $x^{3}$ بجمع الأُسس.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 3.2.1.2.2.1

انقُل $x^{3}$ .

$\frac{4 \cdot 8 (x^{3} x) + 4 x \cdot - 3 - 1 (8 x^{3}) - 1 \cdot - 3 - 4 (2 x^{4}) - 4 (- 3 x)}{{(4 x - 1)}^{2}}$

خطوة 3.2.1.2.2.2

اضرب $x^{3}$ في $x$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 3.2.1.2.2.2.1

ارفع $x$ إلى القوة $1$ .

$\frac{4 \cdot 8 (x^{3} x^{1}) + 4 x \cdot - 3 - 1 (8 x^{3}) - 1 \cdot - 3 - 4 (2 x^{4}) - 4 (- 3 x)}{{(4 x - 1)}^{2}}$

خطوة 3.2.1.2.2.2.2

استخدِم قاعدة القوة $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ لتجميع الأُسس.

$\frac{4 \cdot 8 x^{3 + 1} + 4 x \cdot - 3 - 1 (8 x^{3}) - 1 \cdot - 3 - 4 (2 x^{4}) - 4 (- 3 x)}{{(4 x - 1)}^{2}}$

خطوة 3.2.1.2.2.3

أضف $3$ و $1$ .

$\frac{4 \cdot 8 x^{4} + 4 x \cdot - 3 - 1 (8 x^{3}) - 1 \cdot - 3 - 4 (2 x^{4}) - 4 (- 3 x)}{{(4 x - 1)}^{2}}$

خطوة 3.2.1.2.3

اضرب $4$ في $8$ .

$\frac{32 x^{4} + 4 x \cdot - 3 - 1 (8 x^{3}) - 1 \cdot - 3 - 4 (2 x^{4}) - 4 (- 3 x)}{{(4 x - 1)}^{2}}$

خطوة 3.2.1.2.4

اضرب $- 3$ في $4$ .

$\frac{32 x^{4} - 12 x - 1 (8 x^{3}) - 1 \cdot - 3 - 4 (2 x^{4}) - 4 (- 3 x)}{{(4 x - 1)}^{2}}$

خطوة 3.2.1.2.5

اضرب $8$ في $- 1$ .

$\frac{32 x^{4} - 12 x - 8 x^{3} - 1 \cdot - 3 - 4 (2 x^{4}) - 4 (- 3 x)}{{(4 x - 1)}^{2}}$

خطوة 3.2.1.2.6

اضرب $- 1$ في $- 3$ .

$\frac{32 x^{4} - 12 x - 8 x^{3} + 3 - 4 (2 x^{4}) - 4 (- 3 x)}{{(4 x - 1)}^{2}}$

خطوة 3.2.1.3

اضرب $2$ في $- 4$ .

$\frac{32 x^{4} - 12 x - 8 x^{3} + 3 - 8 x^{4} - 4 (- 3 x)}{{(4 x - 1)}^{2}}$

خطوة 3.2.1.4

اضرب $- 3$ في $- 4$ .

$\frac{32 x^{4} - 12 x - 8 x^{3} + 3 - 8 x^{4} + 12 x}{{(4 x - 1)}^{2}}$

خطوة 3.2.2

جمّع الحدود المتعاكسة في $32 x^{4} - 12 x - 8 x^{3} + 3 - 8 x^{4} + 12 x$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 3.2.2.1

أضف $- 12 x$ و $12 x$ .

$\frac{32 x^{4} - 8 x^{3} + 3 - 8 x^{4} + 0}{{(4 x - 1)}^{2}}$

خطوة 3.2.2.2

أضف $32 x^{4} - 8 x^{3} + 3 - 8 x^{4}$ و $0$ .

$\frac{32 x^{4} - 8 x^{3} + 3 - 8 x^{4}}{{(4 x - 1)}^{2}}$

خطوة 3.2.3

اطرح $8 x^{4}$ من $32 x^{4}$ .

$\frac{24 x^{4} - 8 x^{3} + 3}{{(4 x - 1)}^{2}}$