حساب التفاضل والتكامل الأمثلة

$y = \frac{3 x - 4}{2 x^{2} - 5 x + 7}$

خطوة 1

أوجِد المشتقة باستخدام قاعدة القسمة التي تنص على أن $\frac{d}{d x} [\frac{f (x)}{g (x)}]$ هو $\frac{g (x) \frac{d}{d x} [f (x)] - f (x) \frac{d}{d x} [g (x)]}{{g (x)}^{2}}$ حيث $f (x) = 3 x - 4$ و $g (x) = 2 x^{2} - 5 x + 7$ .

$\frac{(2 x^{2} - 5 x + 7) \frac{d}{d x} [3 x - 4] - (3 x - 4) \frac{d}{d x} [2 x^{2} - 5 x + 7]}{{(2 x^{2} - 5 x + 7)}^{2}}$

خطوة 2

أوجِد المشتقة.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 2.1

وفقًا لقاعدة الجمع، فإن مشتق $3 x - 4$ بالنسبة إلى $x$ هو $\frac{d}{d x} [3 x] + \frac{d}{d x} [- 4]$ .

$\frac{(2 x^{2} - 5 x + 7) (\frac{d}{d x} [3 x] + \frac{d}{d x} [- 4]) - (3 x - 4) \frac{d}{d x} [2 x^{2} - 5 x + 7]}{{(2 x^{2} - 5 x + 7)}^{2}}$

خطوة 2.2

بما أن $3$ عدد ثابت بالنسبة إلى $x$ ، إذن مشتق $3 x$ بالنسبة إلى $x$ يساوي $3 \frac{d}{d x} [x]$ .

$\frac{(2 x^{2} - 5 x + 7) (3 \frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [- 4]) - (3 x - 4) \frac{d}{d x} [2 x^{2} - 5 x + 7]}{{(2 x^{2} - 5 x + 7)}^{2}}$

خطوة 2.3

أوجِد المشتقة باستخدام قاعدة القوة التي تنص على أن $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ هو $n x^{n - 1}$ حيث $n = 1$ .

$\frac{(2 x^{2} - 5 x + 7) (3 \cdot 1 + \frac{d}{d x} [- 4]) - (3 x - 4) \frac{d}{d x} [2 x^{2} - 5 x + 7]}{{(2 x^{2} - 5 x + 7)}^{2}}$

خطوة 2.4

اضرب $3$ في $1$ .

$\frac{(2 x^{2} - 5 x + 7) (3 + \frac{d}{d x} [- 4]) - (3 x - 4) \frac{d}{d x} [2 x^{2} - 5 x + 7]}{{(2 x^{2} - 5 x + 7)}^{2}}$

خطوة 2.5

بما أن $- 4$ عدد ثابت بالنسبة إلى $x$ ، فإن مشتق $- 4$ بالنسبة إلى $x$ هو $0$ .

$\frac{(2 x^{2} - 5 x + 7) (3 + 0) - (3 x - 4) \frac{d}{d x} [2 x^{2} - 5 x + 7]}{{(2 x^{2} - 5 x + 7)}^{2}}$

خطوة 2.6

بسّط العبارة.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 2.6.1

أضف $3$ و $0$ .

$\frac{(2 x^{2} - 5 x + 7) \cdot 3 - (3 x - 4) \frac{d}{d x} [2 x^{2} - 5 x + 7]}{{(2 x^{2} - 5 x + 7)}^{2}}$

خطوة 2.6.2

انقُل $3$ إلى يسار $2 x^{2} - 5 x + 7$ .

$\frac{3 \cdot (2 x^{2} - 5 x + 7) - (3 x - 4) \frac{d}{d x} [2 x^{2} - 5 x + 7]}{{(2 x^{2} - 5 x + 7)}^{2}}$

خطوة 2.7

وفقًا لقاعدة الجمع، فإن مشتق $2 x^{2} - 5 x + 7$ بالنسبة إلى $x$ هو $\frac{d}{d x} [2 x^{2}] + \frac{d}{d x} [- 5 x] + \frac{d}{d x} [7]$ .

$\frac{3 (2 x^{2} - 5 x + 7) - (3 x - 4) (\frac{d}{d x} [2 x^{2}] + \frac{d}{d x} [- 5 x] + \frac{d}{d x} [7])}{{(2 x^{2} - 5 x + 7)}^{2}}$

خطوة 2.8

بما أن $2$ عدد ثابت بالنسبة إلى $x$ ، إذن مشتق $2 x^{2}$ بالنسبة إلى $x$ يساوي $2 \frac{d}{d x} [x^{2}]$ .

$\frac{3 (2 x^{2} - 5 x + 7) - (3 x - 4) (2 \frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [- 5 x] + \frac{d}{d x} [7])}{{(2 x^{2} - 5 x + 7)}^{2}}$

خطوة 2.9

أوجِد المشتقة باستخدام قاعدة القوة التي تنص على أن $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ هو $n x^{n - 1}$ حيث $n = 2$ .

$\frac{3 (2 x^{2} - 5 x + 7) - (3 x - 4) (2 (2 x) + \frac{d}{d x} [- 5 x] + \frac{d}{d x} [7])}{{(2 x^{2} - 5 x + 7)}^{2}}$

خطوة 2.10

اضرب $2$ في $2$ .

$\frac{3 (2 x^{2} - 5 x + 7) - (3 x - 4) (4 x + \frac{d}{d x} [- 5 x] + \frac{d}{d x} [7])}{{(2 x^{2} - 5 x + 7)}^{2}}$

خطوة 2.11

بما أن $- 5$ عدد ثابت بالنسبة إلى $x$ ، إذن مشتق $- 5 x$ بالنسبة إلى $x$ يساوي $- 5 \frac{d}{d x} [x]$ .

$\frac{3 (2 x^{2} - 5 x + 7) - (3 x - 4) (4 x - 5 \frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [7])}{{(2 x^{2} - 5 x + 7)}^{2}}$

خطوة 2.12

أوجِد المشتقة باستخدام قاعدة القوة التي تنص على أن $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ هو $n x^{n - 1}$ حيث $n = 1$ .

$\frac{3 (2 x^{2} - 5 x + 7) - (3 x - 4) (4 x - 5 \cdot 1 + \frac{d}{d x} [7])}{{(2 x^{2} - 5 x + 7)}^{2}}$

خطوة 2.13

اضرب $- 5$ في $1$ .

$\frac{3 (2 x^{2} - 5 x + 7) - (3 x - 4) (4 x - 5 + \frac{d}{d x} [7])}{{(2 x^{2} - 5 x + 7)}^{2}}$

خطوة 2.14

بما أن $7$ عدد ثابت بالنسبة إلى $x$ ، فإن مشتق $7$ بالنسبة إلى $x$ هو $0$ .

$\frac{3 (2 x^{2} - 5 x + 7) - (3 x - 4) (4 x - 5 + 0)}{{(2 x^{2} - 5 x + 7)}^{2}}$

خطوة 2.15

أضف $4 x - 5$ و $0$ .

$\frac{3 (2 x^{2} - 5 x + 7) - (3 x - 4) (4 x - 5)}{{(2 x^{2} - 5 x + 7)}^{2}}$

خطوة 3

بسّط.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 3.1

طبّق خاصية التوزيع.

$\frac{3 (2 x^{2}) + 3 (- 5 x) + 3 \cdot 7 - (3 x - 4) (4 x - 5)}{{(2 x^{2} - 5 x + 7)}^{2}}$

خطوة 3.2

طبّق خاصية التوزيع.

$\frac{3 (2 x^{2}) + 3 (- 5 x) + 3 \cdot 7 + (- (3 x) - - 4) (4 x - 5)}{{(2 x^{2} - 5 x + 7)}^{2}}$

خطوة 3.3

بسّط بَسْط الكسر.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 3.3.1

بسّط كل حد.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 3.3.1.1

اضرب $2$ في $3$ .

$\frac{6 x^{2} + 3 (- 5 x) + 3 \cdot 7 + (- (3 x) - - 4) (4 x - 5)}{{(2 x^{2} - 5 x + 7)}^{2}}$

خطوة 3.3.1.2

اضرب $- 5$ في $3$ .

$\frac{6 x^{2} - 15 x + 3 \cdot 7 + (- (3 x) - - 4) (4 x - 5)}{{(2 x^{2} - 5 x + 7)}^{2}}$

خطوة 3.3.1.3

اضرب $3$ في $7$ .

$\frac{6 x^{2} - 15 x + 21 + (- (3 x) - - 4) (4 x - 5)}{{(2 x^{2} - 5 x + 7)}^{2}}$

خطوة 3.3.1.4

بسّط كل حد.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 3.3.1.4.1

اضرب $3$ في $- 1$ .

$\frac{6 x^{2} - 15 x + 21 + (- 3 x - - 4) (4 x - 5)}{{(2 x^{2} - 5 x + 7)}^{2}}$

خطوة 3.3.1.4.2

اضرب $- 1$ في $- 4$ .

$\frac{6 x^{2} - 15 x + 21 + (- 3 x + 4) (4 x - 5)}{{(2 x^{2} - 5 x + 7)}^{2}}$

خطوة 3.3.1.5

وسّع $(- 3 x + 4) (4 x - 5)$ باستخدام طريقة "الأول، الخارجي، الداخلي، الأخير".

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 3.3.1.5.1

طبّق خاصية التوزيع.

$\frac{6 x^{2} - 15 x + 21 - 3 x (4 x - 5) + 4 (4 x - 5)}{{(2 x^{2} - 5 x + 7)}^{2}}$

خطوة 3.3.1.5.2

طبّق خاصية التوزيع.

$\frac{6 x^{2} - 15 x + 21 - 3 x (4 x) - 3 x \cdot - 5 + 4 (4 x - 5)}{{(2 x^{2} - 5 x + 7)}^{2}}$

خطوة 3.3.1.5.3

طبّق خاصية التوزيع.

$\frac{6 x^{2} - 15 x + 21 - 3 x (4 x) - 3 x \cdot - 5 + 4 (4 x) + 4 \cdot - 5}{{(2 x^{2} - 5 x + 7)}^{2}}$

خطوة 3.3.1.6

بسّط ووحّد الحدود المتشابهة.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 3.3.1.6.1

بسّط كل حد.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 3.3.1.6.1.1

أعِد الكتابة باستخدام خاصية الإبدال لعملية الضرب.

$\frac{6 x^{2} - 15 x + 21 - 3 \cdot 4 x \cdot x - 3 x \cdot - 5 + 4 (4 x) + 4 \cdot - 5}{{(2 x^{2} - 5 x + 7)}^{2}}$

خطوة 3.3.1.6.1.2

اضرب $x$ في $x$ بجمع الأُسس.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 3.3.1.6.1.2.1

انقُل $x$ .

$\frac{6 x^{2} - 15 x + 21 - 3 \cdot 4 (x \cdot x) - 3 x \cdot - 5 + 4 (4 x) + 4 \cdot - 5}{{(2 x^{2} - 5 x + 7)}^{2}}$

خطوة 3.3.1.6.1.2.2

اضرب $x$ في $x$ .

$\frac{6 x^{2} - 15 x + 21 - 3 \cdot 4 x^{2} - 3 x \cdot - 5 + 4 (4 x) + 4 \cdot - 5}{{(2 x^{2} - 5 x + 7)}^{2}}$

خطوة 3.3.1.6.1.3

اضرب $- 3$ في $4$ .

$\frac{6 x^{2} - 15 x + 21 - 12 x^{2} - 3 x \cdot - 5 + 4 (4 x) + 4 \cdot - 5}{{(2 x^{2} - 5 x + 7)}^{2}}$

خطوة 3.3.1.6.1.4

اضرب $- 5$ في $- 3$ .

$\frac{6 x^{2} - 15 x + 21 - 12 x^{2} + 15 x + 4 (4 x) + 4 \cdot - 5}{{(2 x^{2} - 5 x + 7)}^{2}}$

خطوة 3.3.1.6.1.5

اضرب $4$ في $4$ .

$\frac{6 x^{2} - 15 x + 21 - 12 x^{2} + 15 x + 16 x + 4 \cdot - 5}{{(2 x^{2} - 5 x + 7)}^{2}}$

خطوة 3.3.1.6.1.6

اضرب $4$ في $- 5$ .

$\frac{6 x^{2} - 15 x + 21 - 12 x^{2} + 15 x + 16 x - 20}{{(2 x^{2} - 5 x + 7)}^{2}}$

خطوة 3.3.1.6.2

أضف $15 x$ و $16 x$ .

$\frac{6 x^{2} - 15 x + 21 - 12 x^{2} + 31 x - 20}{{(2 x^{2} - 5 x + 7)}^{2}}$

خطوة 3.3.2

اطرح $12 x^{2}$ من $6 x^{2}$ .

$\frac{- 6 x^{2} - 15 x + 21 + 31 x - 20}{{(2 x^{2} - 5 x + 7)}^{2}}$

خطوة 3.3.3

أضف $- 15 x$ و $31 x$ .

$\frac{- 6 x^{2} + 16 x + 21 - 20}{{(2 x^{2} - 5 x + 7)}^{2}}$

خطوة 3.3.4

اطرح $20$ من $21$ .

$\frac{- 6 x^{2} + 16 x + 1}{{(2 x^{2} - 5 x + 7)}^{2}}$

خطوة 3.4

أخرِج العامل $- 1$ من $- 6 x^{2}$ .

$\frac{- (6 x^{2}) + 16 x + 1}{{(2 x^{2} - 5 x + 7)}^{2}}$

خطوة 3.5

أخرِج العامل $- 1$ من $16 x$ .

$\frac{- (6 x^{2}) - (- 16 x) + 1}{{(2 x^{2} - 5 x + 7)}^{2}}$

خطوة 3.6

أخرِج العامل $- 1$ من $- (6 x^{2}) - (- 16 x)$ .

$\frac{- (6 x^{2} - 16 x) + 1}{{(2 x^{2} - 5 x + 7)}^{2}}$

خطوة 3.7

أعِد كتابة $1$ بالصيغة $- 1 (- 1)$ .

$\frac{- (6 x^{2} - 16 x) - 1 (- 1)}{{(2 x^{2} - 5 x + 7)}^{2}}$

خطوة 3.8

أخرِج العامل $- 1$ من $- (6 x^{2} - 16 x) - 1 (- 1)$ .

$\frac{- (6 x^{2} - 16 x - 1)}{{(2 x^{2} - 5 x + 7)}^{2}}$

خطوة 3.9

أعِد كتابة $- (6 x^{2} - 16 x - 1)$ بالصيغة $- 1 (6 x^{2} - 16 x - 1)$ .

$\frac{- 1 (6 x^{2} - 16 x - 1)}{{(2 x^{2} - 5 x + 7)}^{2}}$

خطوة 3.10

انقُل السالب أمام الكسر.

$- \frac{6 x^{2} - 16 x - 1}{{(2 x^{2} - 5 x + 7)}^{2}}$