حساب التفاضل والتكامل الأمثلة

$y = 3 x^{2} \sin (2 x)$

خطوة 1

بما أن $3$ عدد ثابت بالنسبة إلى $x$ ، إذن مشتق $3 x^{2} \sin (2 x)$ بالنسبة إلى $x$ يساوي $3 \frac{d}{d x} [x^{2} \sin (2 x)]$ .

$3 \frac{d}{d x} [x^{2} \sin (2 x)]$

خطوة 2

أوجِد المشتقة باستخدام قاعدة الضرب التي تنص على أن $\frac{d}{d x} [f (x) g (x)]$ هو $f (x) \frac{d}{d x} [g (x)] + g (x) \frac{d}{d x} [f (x)]$ حيث $f (x) = x^{2}$ و $g (x) = \sin (2 x)$ .

$3 (x^{2} \frac{d}{d x} [\sin (2 x)] + \sin (2 x) \frac{d}{d x} [x^{2}])$

خطوة 3

أوجِد المشتقة باستخدام قاعدة السلسلة، والتي تنص على أن $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ هو $f' (g (x)) g' (x)$ حيث $f (x) = \sin (x)$ و $g (x) = 2 x$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 3.1

لتطبيق قاعدة السلسلة، عيّن قيمة $u$ لتصبح $2 x$ .

$3 (x^{2} (\frac{d}{d u} [\sin (u)] \frac{d}{d x} [2 x]) + \sin (2 x) \frac{d}{d x} [x^{2}])$

خطوة 3.2

مشتق $\sin (u)$ بالنسبة إلى $u$ يساوي $\cos (u)$ .

$3 (x^{2} (\cos (u) \frac{d}{d x} [2 x]) + \sin (2 x) \frac{d}{d x} [x^{2}])$

خطوة 3.3

استبدِل كافة حالات حدوث $u$ بـ $2 x$ .

$3 (x^{2} (\cos (2 x) \frac{d}{d x} [2 x]) + \sin (2 x) \frac{d}{d x} [x^{2}])$

خطوة 4

أوجِد المشتقة.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 4.1

بما أن $2$ عدد ثابت بالنسبة إلى $x$ ، إذن مشتق $2 x$ بالنسبة إلى $x$ يساوي $2 \frac{d}{d x} [x]$ .

$3 (x^{2} (\cos (2 x) (2 \frac{d}{d x} [x])) + \sin (2 x) \frac{d}{d x} [x^{2}])$

خطوة 4.2

أوجِد المشتقة باستخدام قاعدة القوة التي تنص على أن $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ هو $n x^{n - 1}$ حيث $n = 1$ .

$3 (x^{2} (\cos (2 x) (2 \cdot 1)) + \sin (2 x) \frac{d}{d x} [x^{2}])$

خطوة 4.3

بسّط العبارة.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 4.3.1

اضرب $2$ في $1$ .

$3 (x^{2} (\cos (2 x) \cdot 2) + \sin (2 x) \frac{d}{d x} [x^{2}])$

خطوة 4.3.2

انقُل $2$ إلى يسار $\cos (2 x)$ .

$3 (x^{2} (2 \cdot \cos (2 x)) + \sin (2 x) \frac{d}{d x} [x^{2}])$

خطوة 4.4

أوجِد المشتقة باستخدام قاعدة القوة التي تنص على أن $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ هو $n x^{n - 1}$ حيث $n = 2$ .

$3 (x^{2} (2 \cos (2 x)) + \sin (2 x) (2 x))$

خطوة 5

بسّط.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 5.1

طبّق خاصية التوزيع.

$3 (x^{2} (2 \cos (2 x))) + 3 (\sin (2 x) (2 x))$

خطوة 5.2

جمّع الحدود.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 5.2.1

اضرب $2$ في $3$ .

$6 (x^{2} (\cos (2 x))) + 3 (\sin (2 x) (2 x))$

خطوة 5.2.2

اضرب $2$ في $3$ .

$6 x^{2} \cos (2 x) + 6 \sin (2 x) x$

خطوة 5.3

أعِد ترتيب الحدود.

$6 x^{2} \cos (2 x) + 6 x \sin (2 x)$