حساب التفاضل والتكامل الأمثلة

$y = \frac{2}{3 \sqrt{x}} + \frac{1}{4 x^{2}}$

خطوة 1

وفقًا لقاعدة الجمع، فإن مشتق $\frac{2}{3 \sqrt{x}} + \frac{1}{4 x^{2}}$ بالنسبة إلى $x$ هو $\frac{d}{d x} [\frac{2}{3 \sqrt{x}}] + \frac{d}{d x} [\frac{1}{4 x^{2}}]$ .

$\frac{d}{d x} [\frac{2}{3 \sqrt{x}}] + \frac{d}{d x} [\frac{1}{4 x^{2}}]$

خطوة 2

احسِب قيمة $\frac{d}{d x} [\frac{2}{3 \sqrt{x}}]$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 2.1

استخدِم $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ لكتابة $\sqrt{x}$ في صورة $x^{\frac{1}{2}}$ .

$\frac{d}{d x} [\frac{2}{3 x^{\frac{1}{2}}}] + \frac{d}{d x} [\frac{1}{4 x^{2}}]$

خطوة 2.2

بما أن $\frac{2}{3}$ عدد ثابت بالنسبة إلى $x$ ، إذن مشتق $\frac{2}{3 x^{\frac{1}{2}}}$ بالنسبة إلى $x$ يساوي $\frac{2}{3} \frac{d}{d x} [\frac{1}{x^{\frac{1}{2}}}]$ .

$\frac{2}{3} \frac{d}{d x} [\frac{1}{x^{\frac{1}{2}}}] + \frac{d}{d x} [\frac{1}{4 x^{2}}]$

خطوة 2.3

أعِد كتابة $\frac{1}{x^{\frac{1}{2}}}$ بالصيغة ${(x^{\frac{1}{2}})}^{- 1}$ .

$\frac{2}{3} \frac{d}{d x} [{(x^{\frac{1}{2}})}^{- 1}] + \frac{d}{d x} [\frac{1}{4 x^{2}}]$

خطوة 2.4

أوجِد المشتقة باستخدام قاعدة السلسلة، والتي تنص على أن $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ هو $f' (g (x)) g' (x)$ حيث $f (x) = x^{- 1}$ و $g (x) = x^{\frac{1}{2}}$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 2.4.1

لتطبيق قاعدة السلسلة، عيّن قيمة $u_{1}$ لتصبح $x^{\frac{1}{2}}$ .

$\frac{2}{3} (\frac{d}{d u_{1}} [{u_{1}}^{- 1}] \frac{d}{d x} [x^{\frac{1}{2}}]) + \frac{d}{d x} [\frac{1}{4 x^{2}}]$

خطوة 2.4.2

أوجِد المشتقة باستخدام قاعدة القوة التي تنص على أن $\frac{d}{d u_{1}} [{u_{1}}^{n}]$ هو $n {u_{1}}^{n - 1}$ حيث $n = - 1$ .

$\frac{2}{3} (- {u_{1}}^{- 2} \frac{d}{d x} [x^{\frac{1}{2}}]) + \frac{d}{d x} [\frac{1}{4 x^{2}}]$

خطوة 2.4.3

استبدِل كافة حالات حدوث $u_{1}$ بـ $x^{\frac{1}{2}}$ .

$\frac{2}{3} (- {(x^{\frac{1}{2}})}^{- 2} \frac{d}{d x} [x^{\frac{1}{2}}]) + \frac{d}{d x} [\frac{1}{4 x^{2}}]$

خطوة 2.5

أوجِد المشتقة باستخدام قاعدة القوة التي تنص على أن $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ هو $n x^{n - 1}$ حيث $n = \frac{1}{2}$ .

$\frac{2}{3} (- {(x^{\frac{1}{2}})}^{- 2} (\frac{1}{2} x^{\frac{1}{2} - 1})) + \frac{d}{d x} [\frac{1}{4 x^{2}}]$

خطوة 2.6

اضرب الأُسس في ${(x^{\frac{1}{2}})}^{- 2}$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 2.6.1

طبّق قاعدة القوة واضرب الأُسس، ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$\frac{2}{3} (- x^{\frac{1}{2} \cdot - 2} (\frac{1}{2} x^{\frac{1}{2} - 1})) + \frac{d}{d x} [\frac{1}{4 x^{2}}]$

خطوة 2.6.2

ألغِ العامل المشترك لـ $2$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 2.6.2.1

أخرِج العامل $2$ من $- 2$ .

$\frac{2}{3} (- x^{\frac{1}{2} \cdot (2 (- 1))} (\frac{1}{2} x^{\frac{1}{2} - 1})) + \frac{d}{d x} [\frac{1}{4 x^{2}}]$

خطوة 2.6.2.2

ألغِ العامل المشترك.

$\frac{2}{3} (- x^{\frac{1}{2} \cdot (2 \cdot - 1)} (\frac{1}{2} x^{\frac{1}{2} - 1})) + \frac{d}{d x} [\frac{1}{4 x^{2}}]$

خطوة 2.6.2.3

أعِد كتابة العبارة.

$\frac{2}{3} (- x^{- 1} (\frac{1}{2} x^{\frac{1}{2} - 1})) + \frac{d}{d x} [\frac{1}{4 x^{2}}]$

خطوة 2.7

لكتابة $- 1$ على هيئة كسر بقاسم مشترك، اضرب في $\frac{2}{2}$ .

$\frac{2}{3} (- x^{- 1} (\frac{1}{2} x^{\frac{1}{2} - 1 \cdot \frac{2}{2}})) + \frac{d}{d x} [\frac{1}{4 x^{2}}]$

خطوة 2.8

اجمع $- 1$ و $\frac{2}{2}$ .

$\frac{2}{3} (- x^{- 1} (\frac{1}{2} x^{\frac{1}{2} + \frac{- 1 \cdot 2}{2}})) + \frac{d}{d x} [\frac{1}{4 x^{2}}]$

خطوة 2.9

اجمع البسوط على القاسم المشترك.

$\frac{2}{3} (- x^{- 1} (\frac{1}{2} x^{\frac{1 - 1 \cdot 2}{2}})) + \frac{d}{d x} [\frac{1}{4 x^{2}}]$

خطوة 2.10

بسّط بَسْط الكسر.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 2.10.1

اضرب $- 1$ في $2$ .

$\frac{2}{3} (- x^{- 1} (\frac{1}{2} x^{\frac{1 - 2}{2}})) + \frac{d}{d x} [\frac{1}{4 x^{2}}]$

خطوة 2.10.2

اطرح $2$ من $1$ .

$\frac{2}{3} (- x^{- 1} (\frac{1}{2} x^{\frac{- 1}{2}})) + \frac{d}{d x} [\frac{1}{4 x^{2}}]$

خطوة 2.11

انقُل السالب أمام الكسر.

$\frac{2}{3} (- x^{- 1} (\frac{1}{2} x^{- \frac{1}{2}})) + \frac{d}{d x} [\frac{1}{4 x^{2}}]$

خطوة 2.12

اجمع $\frac{1}{2}$ و $x^{- \frac{1}{2}}$ .

$\frac{2}{3} (- x^{- 1} \frac{x^{- \frac{1}{2}}}{2}) + \frac{d}{d x} [\frac{1}{4 x^{2}}]$

خطوة 2.13

اجمع $\frac{x^{- \frac{1}{2}}}{2}$ و $x^{- 1}$ .

$\frac{2}{3} (- \frac{x^{- \frac{1}{2}} x^{- 1}}{2}) + \frac{d}{d x} [\frac{1}{4 x^{2}}]$

خطوة 2.14

اضرب $x^{- \frac{1}{2}}$ في $x^{- 1}$ بجمع الأُسس.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 2.14.1

استخدِم قاعدة القوة $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ لتجميع الأُسس.

$\frac{2}{3} (- \frac{x^{- \frac{1}{2} - 1}}{2}) + \frac{d}{d x} [\frac{1}{4 x^{2}}]$

خطوة 2.14.2

لكتابة $- 1$ على هيئة كسر بقاسم مشترك، اضرب في $\frac{2}{2}$ .

$\frac{2}{3} (- \frac{x^{- \frac{1}{2} - 1 \cdot \frac{2}{2}}}{2}) + \frac{d}{d x} [\frac{1}{4 x^{2}}]$

خطوة 2.14.3

اجمع $- 1$ و $\frac{2}{2}$ .

$\frac{2}{3} (- \frac{x^{- \frac{1}{2} + \frac{- 1 \cdot 2}{2}}}{2}) + \frac{d}{d x} [\frac{1}{4 x^{2}}]$

خطوة 2.14.4

اجمع البسوط على القاسم المشترك.

$\frac{2}{3} (- \frac{x^{\frac{- 1 - 1 \cdot 2}{2}}}{2}) + \frac{d}{d x} [\frac{1}{4 x^{2}}]$

خطوة 2.14.5

بسّط بَسْط الكسر.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 2.14.5.1

اضرب $- 1$ في $2$ .

$\frac{2}{3} (- \frac{x^{\frac{- 1 - 2}{2}}}{2}) + \frac{d}{d x} [\frac{1}{4 x^{2}}]$

خطوة 2.14.5.2

اطرح $2$ من $- 1$ .

$\frac{2}{3} (- \frac{x^{\frac{- 3}{2}}}{2}) + \frac{d}{d x} [\frac{1}{4 x^{2}}]$

خطوة 2.14.6

انقُل السالب أمام الكسر.

$\frac{2}{3} (- \frac{x^{- \frac{3}{2}}}{2}) + \frac{d}{d x} [\frac{1}{4 x^{2}}]$

خطوة 2.15

انقُل $x^{- \frac{3}{2}}$ إلى القاسم باستخدام قاعدة الأُسس السالبة $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$\frac{2}{3} (- \frac{1}{2 x^{\frac{3}{2}}}) + \frac{d}{d x} [\frac{1}{4 x^{2}}]$

خطوة 2.16

اضرب $\frac{2}{3}$ في $\frac{1}{2 x^{\frac{3}{2}}}$ .

$- \frac{2}{3 (2 x^{\frac{3}{2}})} + \frac{d}{d x} [\frac{1}{4 x^{2}}]$

خطوة 2.17

اضرب $2$ في $3$ .

$- \frac{2}{6 x^{\frac{3}{2}}} + \frac{d}{d x} [\frac{1}{4 x^{2}}]$

خطوة 2.18

أخرِج العامل $2$ من $2$ .

$- \frac{2 (1)}{6 x^{\frac{3}{2}}} + \frac{d}{d x} [\frac{1}{4 x^{2}}]$

خطوة 2.19

ألغِ العوامل المشتركة.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 2.19.1

أخرِج العامل $2$ من $6 x^{\frac{3}{2}}$ .

$- \frac{2 (1)}{2 (3 x^{\frac{3}{2}})} + \frac{d}{d x} [\frac{1}{4 x^{2}}]$

خطوة 2.19.2

ألغِ العامل المشترك.

$- \frac{2 \cdot 1}{2 (3 x^{\frac{3}{2}})} + \frac{d}{d x} [\frac{1}{4 x^{2}}]$

خطوة 2.19.3

أعِد كتابة العبارة.

$- \frac{1}{3 x^{\frac{3}{2}}} + \frac{d}{d x} [\frac{1}{4 x^{2}}]$

خطوة 3

احسِب قيمة $\frac{d}{d x} [\frac{1}{4 x^{2}}]$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 3.1

بما أن $\frac{1}{4}$ عدد ثابت بالنسبة إلى $x$ ، إذن مشتق $\frac{1}{4 x^{2}}$ بالنسبة إلى $x$ يساوي $\frac{1}{4} \frac{d}{d x} [\frac{1}{x^{2}}]$ .

$- \frac{1}{3 x^{\frac{3}{2}}} + \frac{1}{4} \frac{d}{d x} [\frac{1}{x^{2}}]$

خطوة 3.2

أعِد كتابة $\frac{1}{x^{2}}$ بالصيغة ${(x^{2})}^{- 1}$ .

$- \frac{1}{3 x^{\frac{3}{2}}} + \frac{1}{4} \frac{d}{d x} [{(x^{2})}^{- 1}]$

خطوة 3.3

أوجِد المشتقة باستخدام قاعدة السلسلة، والتي تنص على أن $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ هو $f' (g (x)) g' (x)$ حيث $f (x) = x^{- 1}$ و $g (x) = x^{2}$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 3.3.1

لتطبيق قاعدة السلسلة، عيّن قيمة $u_{2}$ لتصبح $x^{2}$ .

$- \frac{1}{3 x^{\frac{3}{2}}} + \frac{1}{4} (\frac{d}{d u_{2}} [{u_{2}}^{- 1}] \frac{d}{d x} [x^{2}])$

خطوة 3.3.2

أوجِد المشتقة باستخدام قاعدة القوة التي تنص على أن $\frac{d}{d u_{2}} [{u_{2}}^{n}]$ هو $n {u_{2}}^{n - 1}$ حيث $n = - 1$ .

$- \frac{1}{3 x^{\frac{3}{2}}} + \frac{1}{4} (- {u_{2}}^{- 2} \frac{d}{d x} [x^{2}])$

خطوة 3.3.3

استبدِل كافة حالات حدوث $u_{2}$ بـ $x^{2}$ .

$- \frac{1}{3 x^{\frac{3}{2}}} + \frac{1}{4} (- {(x^{2})}^{- 2} \frac{d}{d x} [x^{2}])$

خطوة 3.4

أوجِد المشتقة باستخدام قاعدة القوة التي تنص على أن $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ هو $n x^{n - 1}$ حيث $n = 2$ .

$- \frac{1}{3 x^{\frac{3}{2}}} + \frac{1}{4} (- {(x^{2})}^{- 2} (2 x))$

خطوة 3.5

اضرب الأُسس في ${(x^{2})}^{- 2}$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 3.5.1

طبّق قاعدة القوة واضرب الأُسس، ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$- \frac{1}{3 x^{\frac{3}{2}}} + \frac{1}{4} (- x^{2 \cdot - 2} (2 x))$

خطوة 3.5.2

اضرب $2$ في $- 2$ .

$- \frac{1}{3 x^{\frac{3}{2}}} + \frac{1}{4} (- x^{- 4} (2 x))$

خطوة 3.6

اضرب $2$ في $- 1$ .

$- \frac{1}{3 x^{\frac{3}{2}}} + \frac{1}{4} (- 2 x^{- 4} x)$

خطوة 3.7

ارفع $x$ إلى القوة $1$ .

$- \frac{1}{3 x^{\frac{3}{2}}} + \frac{1}{4} (- 2 (x^{1} x^{- 4}))$

خطوة 3.8

استخدِم قاعدة القوة $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ لتجميع الأُسس.

$- \frac{1}{3 x^{\frac{3}{2}}} + \frac{1}{4} (- 2 x^{1 - 4})$

خطوة 3.9

اطرح $4$ من $1$ .

$- \frac{1}{3 x^{\frac{3}{2}}} + \frac{1}{4} (- 2 x^{- 3})$

خطوة 3.10

اجمع $- 2$ و $\frac{1}{4}$ .

$- \frac{1}{3 x^{\frac{3}{2}}} + \frac{- 2}{4} x^{- 3}$

خطوة 3.11

اجمع $\frac{- 2}{4}$ و $x^{- 3}$ .

$- \frac{1}{3 x^{\frac{3}{2}}} + \frac{- 2 x^{- 3}}{4}$

خطوة 3.12

انقُل $x^{- 3}$ إلى القاسم باستخدام قاعدة الأُسس السالبة $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$- \frac{1}{3 x^{\frac{3}{2}}} + \frac{- 2}{4 x^{3}}$

خطوة 3.13

احذِف العامل المشترك لـ $- 2$ و $4$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 3.13.1

أخرِج العامل $2$ من $- 2$ .

$- \frac{1}{3 x^{\frac{3}{2}}} + \frac{2 (- 1)}{4 x^{3}}$

خطوة 3.13.2

ألغِ العوامل المشتركة.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 3.13.2.1

أخرِج العامل $2$ من $4 x^{3}$ .

$- \frac{1}{3 x^{\frac{3}{2}}} + \frac{2 (- 1)}{2 (2 x^{3})}$

خطوة 3.13.2.2

ألغِ العامل المشترك.

$- \frac{1}{3 x^{\frac{3}{2}}} + \frac{2 \cdot - 1}{2 (2 x^{3})}$

خطوة 3.13.2.3

أعِد كتابة العبارة.

$- \frac{1}{3 x^{\frac{3}{2}}} + \frac{- 1}{2 x^{3}}$

خطوة 3.14

انقُل السالب أمام الكسر.

$- \frac{1}{3 x^{\frac{3}{2}}} - \frac{1}{2 x^{3}}$

خطوة 4

أعِد ترتيب الحدود.

$- \frac{1}{2 x^{3}} - \frac{1}{3 x^{\frac{3}{2}}}$