حساب التفاضل والتكامل الأمثلة

$y = {\sin (x)}^{3 x}$

خطوة 1

استخدِم خصائص اللوغاريتمات لتبسيط الاشتقاق.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 1.1

أعِد كتابة ${\sin (x)}^{3 x}$ بالصيغة $e^{\ln ({\sin (x)}^{3 x})}$ .

$\frac{d}{d x} [e^{\ln ({\sin (x)}^{3 x})}]$

خطوة 1.2

وسّع $\ln ({\sin (x)}^{3 x})$ بنقل $3 x$ خارج اللوغاريتم.

$\frac{d}{d x} [e^{3 x \ln (\sin (x))}]$

خطوة 2

أوجِد المشتقة باستخدام قاعدة السلسلة، والتي تنص على أن $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ هو $f' (g (x)) g' (x)$ حيث $f (x) = e^{x}$ و $g (x) = 3 x \ln (\sin (x))$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 2.1

لتطبيق قاعدة السلسلة، عيّن قيمة $u_{1}$ لتصبح $3 x \ln (\sin (x))$ .

$\frac{d}{d u_{1}} [e^{u_{1}}] \frac{d}{d x} [3 x \ln (\sin (x))]$

خطوة 2.2

أوجِد المشتقة باستخدام القاعدة الأسية التي تنص على أن $\frac{d}{d u_{1}} [a^{u_{1}}]$ هو $a^{u_{1}} \ln (a)$ حيث $a$ = $e$ .

$e^{u_{1}} \frac{d}{d x} [3 x \ln (\sin (x))]$

خطوة 2.3

استبدِل كافة حالات حدوث $u_{1}$ بـ $3 x \ln (\sin (x))$ .

$e^{3 x \ln (\sin (x))} \frac{d}{d x} [3 x \ln (\sin (x))]$

خطوة 3

أوجِد المشتقة باستخدام قاعدة المضاعف الثابت.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 3.1

بما أن $3$ عدد ثابت بالنسبة إلى $x$ ، إذن مشتق $3 x \ln (\sin (x))$ بالنسبة إلى $x$ يساوي $3 \frac{d}{d x} [x \ln (\sin (x))]$ .

$e^{3 x \ln (\sin (x))} (3 \frac{d}{d x} [x \ln (\sin (x))])$

خطوة 3.2

انقُل $3$ إلى يسار $e^{3 x \ln (\sin (x))}$ .

$3 \cdot e^{3 x \ln (\sin (x))} \frac{d}{d x} [x \ln (\sin (x))]$

خطوة 4

أوجِد المشتقة باستخدام قاعدة الضرب التي تنص على أن $\frac{d}{d x} [f (x) g (x)]$ هو $f (x) \frac{d}{d x} [g (x)] + g (x) \frac{d}{d x} [f (x)]$ حيث $f (x) = x$ و $g (x) = \ln (\sin (x))$ .

$3 e^{3 x \ln (\sin (x))} (x \frac{d}{d x} [\ln (\sin (x))] + \ln (\sin (x)) \frac{d}{d x} [x])$

خطوة 5

أوجِد المشتقة باستخدام قاعدة السلسلة، والتي تنص على أن $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ هو $f' (g (x)) g' (x)$ حيث $f (x) = \ln (x)$ و $g (x) = \sin (x)$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 5.1

لتطبيق قاعدة السلسلة، عيّن قيمة $u_{2}$ لتصبح $\sin (x)$ .

$3 e^{3 x \ln (\sin (x))} (x (\frac{d}{d u_{2}} [\ln (u_{2})] \frac{d}{d x} [\sin (x)]) + \ln (\sin (x)) \frac{d}{d x} [x])$

خطوة 5.2

مشتق $\ln (u_{2})$ بالنسبة إلى $u_{2}$ يساوي $\frac{1}{u_{2}}$ .

$3 e^{3 x \ln (\sin (x))} (x (\frac{1}{u_{2}} \frac{d}{d x} [\sin (x)]) + \ln (\sin (x)) \frac{d}{d x} [x])$

خطوة 5.3

استبدِل كافة حالات حدوث $u_{2}$ بـ $\sin (x)$ .

$3 e^{3 x \ln (\sin (x))} (x (\frac{1}{\sin (x)} \frac{d}{d x} [\sin (x)]) + \ln (\sin (x)) \frac{d}{d x} [x])$

خطوة 6

حوّل من $\frac{1}{\sin (x)}$ إلى $\csc (x)$ .

$3 e^{3 x \ln (\sin (x))} (x (\csc (x) \frac{d}{d x} [\sin (x)]) + \ln (\sin (x)) \frac{d}{d x} [x])$

خطوة 7

مشتق $\sin (x)$ بالنسبة إلى $x$ يساوي $\cos (x)$ .

$3 e^{3 x \ln (\sin (x))} (x (\csc (x) \cos (x)) + \ln (\sin (x)) \frac{d}{d x} [x])$

خطوة 8

أوجِد المشتقة باستخدام قاعدة القوة.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 8.1

أوجِد المشتقة باستخدام قاعدة القوة التي تنص على أن $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ هو $n x^{n - 1}$ حيث $n = 1$ .

$3 e^{3 x \ln (\sin (x))} (x (\csc (x) \cos (x)) + \ln (\sin (x)) \cdot 1)$

خطوة 8.2

اضرب $\ln (\sin (x))$ في $1$ .

$3 e^{3 x \ln (\sin (x))} (x (\csc (x) \cos (x)) + \ln (\sin (x)))$

خطوة 9

بسّط.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 9.1

طبّق خاصية التوزيع.

$3 e^{3 x \ln (\sin (x))} (x (\csc (x) \cos (x))) + 3 e^{3 x \ln (\sin (x))} \ln (\sin (x))$

خطوة 9.2

احذِف الأقواس.

$3 e^{3 x \ln (\sin (x))} x \csc (x) \cos (x) + 3 e^{3 x \ln (\sin (x))} \ln (\sin (x))$

خطوة 9.3

أعِد ترتيب الحدود.

$3 e^{3 x \ln (\sin (x))} x \cos (x) \csc (x) + 3 e^{3 x \ln (\sin (x))} \ln (\sin (x))$