حساب التفاضل والتكامل الأمثلة

$y = \frac{e^{2 x}}{1 + e^{- 2 x}}$

خطوة 1

أوجِد المشتقة باستخدام قاعدة القسمة التي تنص على أن $\frac{d}{d x} [\frac{f (x)}{g (x)}]$ هو $\frac{g (x) \frac{d}{d x} [f (x)] - f (x) \frac{d}{d x} [g (x)]}{{g (x)}^{2}}$ حيث $f (x) = e^{2 x}$ و $g (x) = 1 + e^{- 2 x}$ .

$\frac{(1 + e^{- 2 x}) \frac{d}{d x} [e^{2 x}] - e^{2 x} \frac{d}{d x} [1 + e^{- 2 x}]}{{(1 + e^{- 2 x})}^{2}}$

خطوة 2

أوجِد المشتقة باستخدام قاعدة السلسلة، والتي تنص على أن $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ هو $f' (g (x)) g' (x)$ حيث $f (x) = e^{x}$ و $g (x) = 2 x$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 2.1

لتطبيق قاعدة السلسلة، عيّن قيمة $u_{1}$ لتصبح $2 x$ .

$\frac{(1 + e^{- 2 x}) (\frac{d}{d u_{1}} [e^{u_{1}}] \frac{d}{d x} [2 x]) - e^{2 x} \frac{d}{d x} [1 + e^{- 2 x}]}{{(1 + e^{- 2 x})}^{2}}$

خطوة 2.2

أوجِد المشتقة باستخدام القاعدة الأسية التي تنص على أن $\frac{d}{d u_{1}} [a^{u_{1}}]$ هو $a^{u_{1}} \ln (a)$ حيث $a$ = $e$ .

$\frac{(1 + e^{- 2 x}) (e^{u_{1}} \frac{d}{d x} [2 x]) - e^{2 x} \frac{d}{d x} [1 + e^{- 2 x}]}{{(1 + e^{- 2 x})}^{2}}$

خطوة 2.3

استبدِل كافة حالات حدوث $u_{1}$ بـ $2 x$ .

$\frac{(1 + e^{- 2 x}) (e^{2 x} \frac{d}{d x} [2 x]) - e^{2 x} \frac{d}{d x} [1 + e^{- 2 x}]}{{(1 + e^{- 2 x})}^{2}}$

خطوة 3

أوجِد المشتقة.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 3.1

بما أن $2$ عدد ثابت بالنسبة إلى $x$ ، إذن مشتق $2 x$ بالنسبة إلى $x$ يساوي $2 \frac{d}{d x} [x]$ .

$\frac{(1 + e^{- 2 x}) e^{2 x} (2 \frac{d}{d x} [x]) - e^{2 x} \frac{d}{d x} [1 + e^{- 2 x}]}{{(1 + e^{- 2 x})}^{2}}$

خطوة 3.2

أوجِد المشتقة باستخدام قاعدة القوة التي تنص على أن $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ هو $n x^{n - 1}$ حيث $n = 1$ .

$\frac{(1 + e^{- 2 x}) e^{2 x} (2 \cdot 1) - e^{2 x} \frac{d}{d x} [1 + e^{- 2 x}]}{{(1 + e^{- 2 x})}^{2}}$

خطوة 3.3

بسّط العبارة.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 3.3.1

اضرب $2$ في $1$ .

$\frac{(1 + e^{- 2 x}) e^{2 x} \cdot 2 - e^{2 x} \frac{d}{d x} [1 + e^{- 2 x}]}{{(1 + e^{- 2 x})}^{2}}$

خطوة 3.3.2

انقُل $2$ إلى يسار $(1 + e^{- 2 x}) e^{2 x}$ .

$\frac{2 \cdot ((1 + e^{- 2 x}) e^{2 x}) - e^{2 x} \frac{d}{d x} [1 + e^{- 2 x}]}{{(1 + e^{- 2 x})}^{2}}$

خطوة 3.4

وفقًا لقاعدة الجمع، فإن مشتق $1 + e^{- 2 x}$ بالنسبة إلى $x$ هو $\frac{d}{d x} [1] + \frac{d}{d x} [e^{- 2 x}]$ .

$\frac{2 (1 + e^{- 2 x}) e^{2 x} - e^{2 x} (\frac{d}{d x} [1] + \frac{d}{d x} [e^{- 2 x}])}{{(1 + e^{- 2 x})}^{2}}$

خطوة 3.5

بما أن $1$ عدد ثابت بالنسبة إلى $x$ ، فإن مشتق $1$ بالنسبة إلى $x$ هو $0$ .

$\frac{2 (1 + e^{- 2 x}) e^{2 x} - e^{2 x} (0 + \frac{d}{d x} [e^{- 2 x}])}{{(1 + e^{- 2 x})}^{2}}$

خطوة 3.6

أضف $0$ و $\frac{d}{d x} [e^{- 2 x}]$ .

$\frac{2 (1 + e^{- 2 x}) e^{2 x} - e^{2 x} \frac{d}{d x} [e^{- 2 x}]}{{(1 + e^{- 2 x})}^{2}}$

خطوة 4

أوجِد المشتقة باستخدام قاعدة السلسلة، والتي تنص على أن $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ هو $f' (g (x)) g' (x)$ حيث $f (x) = e^{x}$ و $g (x) = - 2 x$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 4.1

لتطبيق قاعدة السلسلة، عيّن قيمة $u_{2}$ لتصبح $- 2 x$ .

$\frac{2 (1 + e^{- 2 x}) e^{2 x} - e^{2 x} (\frac{d}{d u_{2}} [e^{u_{2}}] \frac{d}{d x} [- 2 x])}{{(1 + e^{- 2 x})}^{2}}$

خطوة 4.2

أوجِد المشتقة باستخدام القاعدة الأسية التي تنص على أن $\frac{d}{d u_{2}} [a^{u_{2}}]$ هو $a^{u_{2}} \ln (a)$ حيث $a$ = $e$ .

$\frac{2 (1 + e^{- 2 x}) e^{2 x} - e^{2 x} (e^{u_{2}} \frac{d}{d x} [- 2 x])}{{(1 + e^{- 2 x})}^{2}}$

خطوة 4.3

استبدِل كافة حالات حدوث $u_{2}$ بـ $- 2 x$ .

$\frac{2 (1 + e^{- 2 x}) e^{2 x} - e^{2 x} (e^{- 2 x} \frac{d}{d x} [- 2 x])}{{(1 + e^{- 2 x})}^{2}}$

خطوة 5

استخدِم قاعدة القوة $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ لتجميع الأُسس.

$\frac{2 (1 + e^{- 2 x}) e^{2 x} - e^{- 2 x + 2 x} \frac{d}{d x} [- 2 x]}{{(1 + e^{- 2 x})}^{2}}$

خطوة 6

بسّط بجمع الحدود.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 6.1

أضف $- 2 x$ و $2 x$ .

$\frac{2 (1 + e^{- 2 x}) e^{2 x} - e^{0} \frac{d}{d x} [- 2 x]}{{(1 + e^{- 2 x})}^{2}}$

خطوة 6.2

بسّط العبارة.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 6.2.1

أي شيء مرفوع إلى $0$ هو $1$ .

$\frac{2 (1 + e^{- 2 x}) e^{2 x} - 1 \cdot 1 \frac{d}{d x} [- 2 x]}{{(1 + e^{- 2 x})}^{2}}$

خطوة 6.2.2

اضرب $- 1$ في $1$ .

$\frac{2 (1 + e^{- 2 x}) e^{2 x} - \frac{d}{d x} [- 2 x]}{{(1 + e^{- 2 x})}^{2}}$

خطوة 7

بما أن $- 2$ عدد ثابت بالنسبة إلى $x$ ، إذن مشتق $- 2 x$ بالنسبة إلى $x$ يساوي $- 2 \frac{d}{d x} [x]$ .

$\frac{2 (1 + e^{- 2 x}) e^{2 x} - (- 2 \frac{d}{d x} [x])}{{(1 + e^{- 2 x})}^{2}}$

خطوة 8

اضرب $- 2$ في $- 1$ .

$\frac{2 (1 + e^{- 2 x}) e^{2 x} + 2 \frac{d}{d x} [x]}{{(1 + e^{- 2 x})}^{2}}$

خطوة 9

أوجِد المشتقة باستخدام قاعدة القوة التي تنص على أن $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ هو $n x^{n - 1}$ حيث $n = 1$ .

$\frac{2 (1 + e^{- 2 x}) e^{2 x} + 2 \cdot 1}{{(1 + e^{- 2 x})}^{2}}$

خطوة 10

اضرب $2$ في $1$ .

$\frac{2 (1 + e^{- 2 x}) e^{2 x} + 2}{{(1 + e^{- 2 x})}^{2}}$

خطوة 11

بسّط.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 11.1

طبّق خاصية التوزيع.

$\frac{(2 \cdot 1 + 2 e^{- 2 x}) e^{2 x} + 2}{{(1 + e^{- 2 x})}^{2}}$

خطوة 11.2

طبّق خاصية التوزيع.

$\frac{2 \cdot 1 e^{2 x} + 2 e^{- 2 x} e^{2 x} + 2}{{(1 + e^{- 2 x})}^{2}}$

خطوة 11.3

بسّط بَسْط الكسر.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 11.3.1

بسّط كل حد.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 11.3.1.1

اضرب $2$ في $1$ .

$\frac{2 e^{2 x} + 2 e^{- 2 x} e^{2 x} + 2}{{(1 + e^{- 2 x})}^{2}}$

خطوة 11.3.1.2

اضرب $e^{- 2 x}$ في $e^{2 x}$ بجمع الأُسس.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 11.3.1.2.1

انقُل $e^{2 x}$ .

$\frac{2 e^{2 x} + 2 (e^{2 x} e^{- 2 x}) + 2}{{(1 + e^{- 2 x})}^{2}}$

خطوة 11.3.1.2.2

استخدِم قاعدة القوة $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ لتجميع الأُسس.

$\frac{2 e^{2 x} + 2 e^{2 x - 2 x} + 2}{{(1 + e^{- 2 x})}^{2}}$

خطوة 11.3.1.2.3

اطرح $2 x$ من $2 x$ .

$\frac{2 e^{2 x} + 2 e^{0} + 2}{{(1 + e^{- 2 x})}^{2}}$

خطوة 11.3.1.3

بسّط $2 e^{0}$ .

$\frac{2 e^{2 x} + 2 + 2}{{(1 + e^{- 2 x})}^{2}}$

خطوة 11.3.2

أضف $2$ و $2$ .

$\frac{2 e^{2 x} + 4}{{(1 + e^{- 2 x})}^{2}}$

خطوة 11.4

أخرِج العامل $2$ من $2 e^{2 x} + 4$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 11.4.1

أخرِج العامل $2$ من $2 e^{2 x}$ .

$\frac{2 (e^{2 x}) + 4}{{(1 + e^{- 2 x})}^{2}}$

خطوة 11.4.2

أخرِج العامل $2$ من $4$ .

$\frac{2 e^{2 x} + 2 \cdot 2}{{(1 + e^{- 2 x})}^{2}}$

خطوة 11.4.3

أخرِج العامل $2$ من $2 e^{2 x} + 2 \cdot 2$ .

$\frac{2 (e^{2 x} + 2)}{{(1 + e^{- 2 x})}^{2}}$