حساب التفاضل والتكامل الأمثلة

$y = \frac{e^{x} + e^{- x}}{e^{x} - e^{- x}}$

خطوة 1

أوجِد المشتقة باستخدام قاعدة القسمة التي تنص على أن $\frac{d}{d x} [\frac{f (x)}{g (x)}]$ هو $\frac{g (x) \frac{d}{d x} [f (x)] - f (x) \frac{d}{d x} [g (x)]}{{g (x)}^{2}}$ حيث $f (x) = e^{x} + e^{- x}$ و $g (x) = e^{x} - e^{- x}$ .

$\frac{(e^{x} - e^{- x}) \frac{d}{d x} [e^{x} + e^{- x}] - (e^{x} + e^{- x}) \frac{d}{d x} [e^{x} - e^{- x}]}{{(e^{x} - e^{- x})}^{2}}$

خطوة 2

وفقًا لقاعدة الجمع، فإن مشتق $e^{x} + e^{- x}$ بالنسبة إلى $x$ هو $\frac{d}{d x} [e^{x}] + \frac{d}{d x} [e^{- x}]$ .

$\frac{(e^{x} - e^{- x}) (\frac{d}{d x} [e^{x}] + \frac{d}{d x} [e^{- x}]) - (e^{x} + e^{- x}) \frac{d}{d x} [e^{x} - e^{- x}]}{{(e^{x} - e^{- x})}^{2}}$

خطوة 3

أوجِد المشتقة باستخدام القاعدة الأسية التي تنص على أن $\frac{d}{d x} [a^{x}]$ هو $a^{x} \ln (a)$ حيث $a$ = $e$ .

$\frac{(e^{x} - e^{- x}) (e^{x} + \frac{d}{d x} [e^{- x}]) - (e^{x} + e^{- x}) \frac{d}{d x} [e^{x} - e^{- x}]}{{(e^{x} - e^{- x})}^{2}}$

خطوة 4

أوجِد المشتقة باستخدام قاعدة السلسلة، والتي تنص على أن $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ هو $f' (g (x)) g' (x)$ حيث $f (x) = e^{x}$ و $g (x) = - x$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 4.1

لتطبيق قاعدة السلسلة، عيّن قيمة $u_{1}$ لتصبح $- x$ .

$\frac{(e^{x} - e^{- x}) (e^{x} + \frac{d}{d u_{1}} [e^{u_{1}}] \frac{d}{d x} [- x]) - (e^{x} + e^{- x}) \frac{d}{d x} [e^{x} - e^{- x}]}{{(e^{x} - e^{- x})}^{2}}$

خطوة 4.2

أوجِد المشتقة باستخدام القاعدة الأسية التي تنص على أن $\frac{d}{d u_{1}} [a^{u_{1}}]$ هو $a^{u_{1}} \ln (a)$ حيث $a$ = $e$ .

$\frac{(e^{x} - e^{- x}) (e^{x} + e^{u_{1}} \frac{d}{d x} [- x]) - (e^{x} + e^{- x}) \frac{d}{d x} [e^{x} - e^{- x}]}{{(e^{x} - e^{- x})}^{2}}$

خطوة 4.3

استبدِل كافة حالات حدوث $u_{1}$ بـ $- x$ .

$\frac{(e^{x} - e^{- x}) (e^{x} + e^{- x} \frac{d}{d x} [- x]) - (e^{x} + e^{- x}) \frac{d}{d x} [e^{x} - e^{- x}]}{{(e^{x} - e^{- x})}^{2}}$

خطوة 5

أوجِد المشتقة.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 5.1

بما أن $- 1$ عدد ثابت بالنسبة إلى $x$ ، إذن مشتق $- x$ بالنسبة إلى $x$ يساوي $- \frac{d}{d x} [x]$ .

$\frac{(e^{x} - e^{- x}) (e^{x} + e^{- x} (- \frac{d}{d x} [x])) - (e^{x} + e^{- x}) \frac{d}{d x} [e^{x} - e^{- x}]}{{(e^{x} - e^{- x})}^{2}}$

خطوة 5.2

أوجِد المشتقة باستخدام قاعدة القوة التي تنص على أن $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ هو $n x^{n - 1}$ حيث $n = 1$ .

$\frac{(e^{x} - e^{- x}) (e^{x} + e^{- x} (- 1 \cdot 1)) - (e^{x} + e^{- x}) \frac{d}{d x} [e^{x} - e^{- x}]}{{(e^{x} - e^{- x})}^{2}}$

خطوة 5.3

بسّط العبارة.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 5.3.1

اضرب $- 1$ في $1$ .

$\frac{(e^{x} - e^{- x}) (e^{x} + e^{- x} \cdot - 1) - (e^{x} + e^{- x}) \frac{d}{d x} [e^{x} - e^{- x}]}{{(e^{x} - e^{- x})}^{2}}$

خطوة 5.3.2

انقُل $- 1$ إلى يسار $e^{- x}$ .

$\frac{(e^{x} - e^{- x}) (e^{x} - 1 \cdot e^{- x}) - (e^{x} + e^{- x}) \frac{d}{d x} [e^{x} - e^{- x}]}{{(e^{x} - e^{- x})}^{2}}$

خطوة 5.3.3

أعِد كتابة $- 1 e^{- x}$ بالصيغة $- e^{- x}$ .

$\frac{(e^{x} - e^{- x}) (e^{x} - e^{- x}) - (e^{x} + e^{- x}) \frac{d}{d x} [e^{x} - e^{- x}]}{{(e^{x} - e^{- x})}^{2}}$

خطوة 6

ارفع $e^{x} - e^{- x}$ إلى القوة $1$ .

$\frac{{(e^{x} - e^{- x})}^{1} (e^{x} - e^{- x}) - (e^{x} + e^{- x}) \frac{d}{d x} [e^{x} - e^{- x}]}{{(e^{x} - e^{- x})}^{2}}$

خطوة 7

ارفع $e^{x} - e^{- x}$ إلى القوة $1$ .

$\frac{{(e^{x} - e^{- x})}^{1} {(e^{x} - e^{- x})}^{1} - (e^{x} + e^{- x}) \frac{d}{d x} [e^{x} - e^{- x}]}{{(e^{x} - e^{- x})}^{2}}$

خطوة 8

استخدِم قاعدة القوة $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ لتجميع الأُسس.

$\frac{{(e^{x} - e^{- x})}^{1 + 1} - (e^{x} + e^{- x}) \frac{d}{d x} [e^{x} - e^{- x}]}{{(e^{x} - e^{- x})}^{2}}$

خطوة 9

أوجِد المشتقة باستخدام قاعدة الجمع.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 9.1

أضف $1$ و $1$ .

$\frac{{(e^{x} - e^{- x})}^{2} - (e^{x} + e^{- x}) \frac{d}{d x} [e^{x} - e^{- x}]}{{(e^{x} - e^{- x})}^{2}}$

خطوة 9.2

وفقًا لقاعدة الجمع، فإن مشتق $e^{x} - e^{- x}$ بالنسبة إلى $x$ هو $\frac{d}{d x} [e^{x}] + \frac{d}{d x} [- e^{- x}]$ .

$\frac{{(e^{x} - e^{- x})}^{2} - (e^{x} + e^{- x}) (\frac{d}{d x} [e^{x}] + \frac{d}{d x} [- e^{- x}])}{{(e^{x} - e^{- x})}^{2}}$

خطوة 10

أوجِد المشتقة باستخدام القاعدة الأسية التي تنص على أن $\frac{d}{d x} [a^{x}]$ هو $a^{x} \ln (a)$ حيث $a$ = $e$ .

$\frac{{(e^{x} - e^{- x})}^{2} - (e^{x} + e^{- x}) (e^{x} + \frac{d}{d x} [- e^{- x}])}{{(e^{x} - e^{- x})}^{2}}$

خطوة 11

بما أن $- 1$ عدد ثابت بالنسبة إلى $x$ ، إذن مشتق $- e^{- x}$ بالنسبة إلى $x$ يساوي $- \frac{d}{d x} [e^{- x}]$ .

$\frac{{(e^{x} - e^{- x})}^{2} - (e^{x} + e^{- x}) (e^{x} - \frac{d}{d x} [e^{- x}])}{{(e^{x} - e^{- x})}^{2}}$

خطوة 12

أوجِد المشتقة باستخدام قاعدة السلسلة، والتي تنص على أن $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ هو $f' (g (x)) g' (x)$ حيث $f (x) = e^{x}$ و $g (x) = - x$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 12.1

لتطبيق قاعدة السلسلة، عيّن قيمة $u_{2}$ لتصبح $- x$ .

$\frac{{(e^{x} - e^{- x})}^{2} - (e^{x} + e^{- x}) (e^{x} - (\frac{d}{d u_{2}} [e^{u_{2}}] \frac{d}{d x} [- x]))}{{(e^{x} - e^{- x})}^{2}}$

خطوة 12.2

أوجِد المشتقة باستخدام القاعدة الأسية التي تنص على أن $\frac{d}{d u_{2}} [a^{u_{2}}]$ هو $a^{u_{2}} \ln (a)$ حيث $a$ = $e$ .

$\frac{{(e^{x} - e^{- x})}^{2} - (e^{x} + e^{- x}) (e^{x} - (e^{u_{2}} \frac{d}{d x} [- x]))}{{(e^{x} - e^{- x})}^{2}}$

خطوة 12.3

استبدِل كافة حالات حدوث $u_{2}$ بـ $- x$ .

$\frac{{(e^{x} - e^{- x})}^{2} - (e^{x} + e^{- x}) (e^{x} - (e^{- x} \frac{d}{d x} [- x]))}{{(e^{x} - e^{- x})}^{2}}$

خطوة 13

أوجِد المشتقة.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 13.1

بما أن $- 1$ عدد ثابت بالنسبة إلى $x$ ، إذن مشتق $- x$ بالنسبة إلى $x$ يساوي $- \frac{d}{d x} [x]$ .

$\frac{{(e^{x} - e^{- x})}^{2} - (e^{x} + e^{- x}) (e^{x} - e^{- x} (- \frac{d}{d x} [x]))}{{(e^{x} - e^{- x})}^{2}}$

خطوة 13.2

اضرب.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 13.2.1

اضرب $- 1$ في $- 1$ .

$\frac{{(e^{x} - e^{- x})}^{2} - (e^{x} + e^{- x}) (e^{x} + 1 e^{- x} \frac{d}{d x} [x])}{{(e^{x} - e^{- x})}^{2}}$

خطوة 13.2.2

اضرب $e^{- x}$ في $1$ .

$\frac{{(e^{x} - e^{- x})}^{2} - (e^{x} + e^{- x}) (e^{x} + e^{- x} \frac{d}{d x} [x])}{{(e^{x} - e^{- x})}^{2}}$

خطوة 13.3

أوجِد المشتقة باستخدام قاعدة القوة التي تنص على أن $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ هو $n x^{n - 1}$ حيث $n = 1$ .

$\frac{{(e^{x} - e^{- x})}^{2} - (e^{x} + e^{- x}) (e^{x} + e^{- x} \cdot 1)}{{(e^{x} - e^{- x})}^{2}}$

خطوة 13.4

اضرب $e^{- x}$ في $1$ .

$\frac{{(e^{x} - e^{- x})}^{2} - (e^{x} + e^{- x}) (e^{x} + e^{- x})}{{(e^{x} - e^{- x})}^{2}}$

خطوة 14

ارفع $e^{x} + e^{- x}$ إلى القوة $1$ .

$\frac{{(e^{x} - e^{- x})}^{2} - ({(e^{x} + e^{- x})}^{1} (e^{x} + e^{- x}))}{{(e^{x} - e^{- x})}^{2}}$

خطوة 15

ارفع $e^{x} + e^{- x}$ إلى القوة $1$ .

$\frac{{(e^{x} - e^{- x})}^{2} - ({(e^{x} + e^{- x})}^{1} {(e^{x} + e^{- x})}^{1})}{{(e^{x} - e^{- x})}^{2}}$

خطوة 16

استخدِم قاعدة القوة $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ لتجميع الأُسس.

$\frac{{(e^{x} - e^{- x})}^{2} - {(e^{x} + e^{- x})}^{1 + 1}}{{(e^{x} - e^{- x})}^{2}}$

خطوة 17

أضف $1$ و $1$ .

$\frac{{(e^{x} - e^{- x})}^{2} - {(e^{x} + e^{- x})}^{2}}{{(e^{x} - e^{- x})}^{2}}$

خطوة 18

بسّط.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 18.1

بسّط بَسْط الكسر.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 18.1.1

بما أن كلا الحدّين هما مربعان كاملان، حلّل إلى عوامل باستخدام قاعدة الفرق بين مربعين، $a^{2} - b^{2} = (a + b) (a - b)$ حيث $a = e^{x} - e^{- x}$ و $b = e^{x} + e^{- x}$ .

$\frac{(e^{x} - e^{- x} + e^{x} + e^{- x}) (e^{x} - e^{- x} - (e^{x} + e^{- x}))}{{(e^{x} - e^{- x})}^{2}}$

خطوة 18.1.2

بسّط.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 18.1.2.1

أضف $e^{x}$ و $e^{x}$ .

$\frac{(2 e^{x} - e^{- x} + e^{- x}) (e^{x} - e^{- x} - (e^{x} + e^{- x}))}{{(e^{x} - e^{- x})}^{2}}$

خطوة 18.1.2.2

أضف $- e^{- x}$ و $e^{- x}$ .

$\frac{(2 e^{x} + 0) (e^{x} - e^{- x} - (e^{x} + e^{- x}))}{{(e^{x} - e^{- x})}^{2}}$

خطوة 18.1.2.3

أضف $2 e^{x}$ و $0$ .

$\frac{2 e^{x} (e^{x} - e^{- x} - (e^{x} + e^{- x}))}{{(e^{x} - e^{- x})}^{2}}$

خطوة 18.1.2.4

طبّق خاصية التوزيع.

$\frac{2 e^{x} (e^{x} - e^{- x} - e^{x} - e^{- x})}{{(e^{x} - e^{- x})}^{2}}$

خطوة 18.1.2.5

اطرح $e^{x}$ من $e^{x}$ .

$\frac{2 e^{x} (0 - e^{- x} - e^{- x})}{{(e^{x} - e^{- x})}^{2}}$

خطوة 18.1.2.6

اطرح $e^{- x}$ من $0$ .

$\frac{2 e^{x} (- e^{- x} - e^{- x})}{{(e^{x} - e^{- x})}^{2}}$

خطوة 18.1.2.7

اطرح $e^{- x}$ من $- e^{- x}$ .

$\frac{2 e^{x} \cdot - 2 e^{- x}}{{(e^{x} - e^{- x})}^{2}}$

خطوة 18.1.2.8

اجمع الأُسس.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 18.1.2.8.1

اضرب $- 2$ في $2$ .

$\frac{- 4 e^{x} e^{- x}}{{(e^{x} - e^{- x})}^{2}}$

خطوة 18.1.2.8.2

اضرب $e^{x}$ في $e^{- x}$ بجمع الأُسس.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 18.1.2.8.2.1

انقُل $e^{- x}$ .

$\frac{- 4 (e^{- x} e^{x})}{{(e^{x} - e^{- x})}^{2}}$

خطوة 18.1.2.8.2.2

استخدِم قاعدة القوة $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ لتجميع الأُسس.

$\frac{- 4 e^{- x + x}}{{(e^{x} - e^{- x})}^{2}}$

خطوة 18.1.2.8.2.3

أضف $- x$ و $x$ .

$\frac{- 4 e^{0}}{{(e^{x} - e^{- x})}^{2}}$

خطوة 18.1.2.8.3

بسّط $- 4 e^{0}$ .

$\frac{- 4}{{(e^{x} - e^{- x})}^{2}}$

خطوة 18.2

انقُل السالب أمام الكسر.

$- \frac{4}{{(e^{x} - e^{- x})}^{2}}$