حساب التفاضل والتكامل الأمثلة

$y = \frac{\log_{6} (x)}{3 + x^{6}}$

خطوة 1

أوجِد المشتقة باستخدام قاعدة القسمة التي تنص على أن $\frac{d}{d x} [\frac{f (x)}{g (x)}]$ هو $\frac{g (x) \frac{d}{d x} [f (x)] - f (x) \frac{d}{d x} [g (x)]}{{g (x)}^{2}}$ حيث $f (x) = \log_{6} (x)$ و $g (x) = 3 + x^{6}$ .

$\frac{(3 + x^{6}) \frac{d}{d x} [\log_{6} (x)] - \log_{6} (x) \frac{d}{d x} [3 + x^{6}]}{{(3 + x^{6})}^{2}}$

خطوة 2

مشتق $\log_{6} (x)$ بالنسبة إلى $x$ يساوي $\frac{1}{x \ln (6)}$ .

$\frac{(3 + x^{6}) \frac{1}{x \ln (6)} - \log_{6} (x) \frac{d}{d x} [3 + x^{6}]}{{(3 + x^{6})}^{2}}$

خطوة 3

أوجِد المشتقة.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 3.1

وفقًا لقاعدة الجمع، فإن مشتق $3 + x^{6}$ بالنسبة إلى $x$ هو $\frac{d}{d x} [3] + \frac{d}{d x} [x^{6}]$ .

$\frac{(3 + x^{6}) \frac{1}{x \ln (6)} - \log_{6} (x) (\frac{d}{d x} [3] + \frac{d}{d x} [x^{6}])}{{(3 + x^{6})}^{2}}$

خطوة 3.2

بما أن $3$ عدد ثابت بالنسبة إلى $x$ ، فإن مشتق $3$ بالنسبة إلى $x$ هو $0$ .

$\frac{(3 + x^{6}) \frac{1}{x \ln (6)} - \log_{6} (x) (0 + \frac{d}{d x} [x^{6}])}{{(3 + x^{6})}^{2}}$

خطوة 3.3

أضف $0$ و $\frac{d}{d x} [x^{6}]$ .

$\frac{(3 + x^{6}) \frac{1}{x \ln (6)} - \log_{6} (x) \frac{d}{d x} [x^{6}]}{{(3 + x^{6})}^{2}}$

خطوة 3.4

أوجِد المشتقة باستخدام قاعدة القوة التي تنص على أن $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ هو $n x^{n - 1}$ حيث $n = 6$ .

$\frac{(3 + x^{6}) \frac{1}{x \ln (6)} - \log_{6} (x) (6 x^{5})}{{(3 + x^{6})}^{2}}$

خطوة 3.5

اضرب $6$ في $- 1$ .

$\frac{(3 + x^{6}) \frac{1}{x \ln (6)} - 6 \log_{6} (x) x^{5}}{{(3 + x^{6})}^{2}}$

خطوة 4

بسّط.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 4.1

طبّق خاصية التوزيع.

$\frac{3 \frac{1}{x \ln (6)} + x^{6} \frac{1}{x \ln (6)} - 6 \log_{6} (x) x^{5}}{{(3 + x^{6})}^{2}}$

خطوة 4.2

بسّط بَسْط الكسر.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 4.2.1

بسّط كل حد.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 4.2.1.1

اجمع $3$ و $\frac{1}{x \ln (6)}$ .

$\frac{\frac{3}{x \ln (6)} + x^{6} \frac{1}{x \ln (6)} - 6 \log_{6} (x) x^{5}}{{(3 + x^{6})}^{2}}$

خطوة 4.2.1.2

ألغِ العامل المشترك لـ $x$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 4.2.1.2.1

أخرِج العامل $x$ من $x^{6}$ .

$\frac{\frac{3}{x \ln (6)} + x \cdot x^{5} \frac{1}{x \ln (6)} - 6 \log_{6} (x) x^{5}}{{(3 + x^{6})}^{2}}$

خطوة 4.2.1.2.2

أخرِج العامل $x$ من $x \ln (6)$ .

$\frac{\frac{3}{x \ln (6)} + x \cdot x^{5} \frac{1}{x (\ln (6))} - 6 \log_{6} (x) x^{5}}{{(3 + x^{6})}^{2}}$

خطوة 4.2.1.2.3

ألغِ العامل المشترك.

$\frac{\frac{3}{x \ln (6)} + x \cdot x^{5} \frac{1}{x \ln (6)} - 6 \log_{6} (x) x^{5}}{{(3 + x^{6})}^{2}}$

خطوة 4.2.1.2.4

أعِد كتابة العبارة.

$\frac{\frac{3}{x \ln (6)} + x^{5} \frac{1}{\ln (6)} - 6 \log_{6} (x) x^{5}}{{(3 + x^{6})}^{2}}$

خطوة 4.2.1.3

اجمع $x^{5}$ و $\frac{1}{\ln (6)}$ .

$\frac{\frac{3}{x \ln (6)} + \frac{x^{5}}{\ln (6)} - 6 \log_{6} (x) x^{5}}{{(3 + x^{6})}^{2}}$

خطوة 4.2.1.4

بسّط $- 6 \log_{6} (x)$ بنقل $6$ داخل اللوغاريتم.

$\frac{\frac{3}{x \ln (6)} + \frac{x^{5}}{\ln (6)} - \log_{6} (x^{6}) x^{5}}{{(3 + x^{6})}^{2}}$

خطوة 4.2.2

أعِد ترتيب العوامل في $\frac{3}{x \ln (6)} + \frac{x^{5}}{\ln (6)} - \log_{6} (x^{6}) x^{5}$ .

$\frac{\frac{3}{x \ln (6)} + \frac{x^{5}}{\ln (6)} - x^{5} \log_{6} (x^{6})}{{(3 + x^{6})}^{2}}$

خطوة 4.3

جمّع الحدود.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 4.3.1

اضرب $\frac{\frac{3}{x \ln (6)} + \frac{x^{5}}{\ln (6)} - x^{5} \log_{6} (x^{6})}{{(3 + x^{6})}^{2}}$ في $\frac{x \ln (6)}{x \ln (6)}$ .

$\frac{x \ln (6)}{x \ln (6)} \cdot \frac{\frac{3}{x \ln (6)} + \frac{x^{5}}{\ln (6)} - x^{5} \log_{6} (x^{6})}{{(3 + x^{6})}^{2}}$

خطوة 4.3.2

اجمع.

$\frac{x \ln (6) (\frac{3}{x \ln (6)} + \frac{x^{5}}{\ln (6)} - x^{5} \log_{6} (x^{6}))}{x \ln (6) {(3 + x^{6})}^{2}}$

خطوة 4.3.3

طبّق خاصية التوزيع.

$\frac{x \ln (6) \frac{3}{x \ln (6)} + x \ln (6) \frac{x^{5}}{\ln (6)} + x \ln (6) (- x^{5} \log_{6} (x^{6}))}{x \ln (6) {(3 + x^{6})}^{2}}$

خطوة 4.3.4

ألغِ العامل المشترك لـ $x \ln (6)$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 4.3.4.1

ألغِ العامل المشترك.

$\frac{x \ln (6) \frac{3}{x \ln (6)} + x \ln (6) \frac{x^{5}}{\ln (6)} + x \ln (6) (- x^{5} \log_{6} (x^{6}))}{x \ln (6) {(3 + x^{6})}^{2}}$

خطوة 4.3.4.2

أعِد كتابة العبارة.

$\frac{3 + x \ln (6) \frac{x^{5}}{\ln (6)} + x \ln (6) (- x^{5} \log_{6} (x^{6}))}{x \ln (6) {(3 + x^{6})}^{2}}$

خطوة 4.3.5

ألغِ العامل المشترك لـ $\ln (6)$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 4.3.5.1

أخرِج العامل $\ln (6)$ من $x \ln (6)$ .

$\frac{3 + \ln (6) x \frac{x^{5}}{\ln (6)} + x \ln (6) (- x^{5} \log_{6} (x^{6}))}{x \ln (6) {(3 + x^{6})}^{2}}$

خطوة 4.3.5.2

ألغِ العامل المشترك.

$\frac{3 + \ln (6) x \frac{x^{5}}{\ln (6)} + x \ln (6) (- x^{5} \log_{6} (x^{6}))}{x \ln (6) {(3 + x^{6})}^{2}}$

خطوة 4.3.5.3

أعِد كتابة العبارة.

$\frac{3 + x \cdot x^{5} + x \ln (6) (- x^{5} \log_{6} (x^{6}))}{x \ln (6) {(3 + x^{6})}^{2}}$

خطوة 4.3.6

اضرب $x$ في $x^{5}$ بجمع الأُسس.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 4.3.6.1

اضرب $x$ في $x^{5}$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 4.3.6.1.1

ارفع $x$ إلى القوة $1$ .

$\frac{3 + x^{1} x^{5} + x \ln (6) (- x^{5} \log_{6} (x^{6}))}{x \ln (6) {(3 + x^{6})}^{2}}$

خطوة 4.3.6.1.2

استخدِم قاعدة القوة $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ لتجميع الأُسس.

$\frac{3 + x^{1 + 5} + x \ln (6) (- x^{5} \log_{6} (x^{6}))}{x \ln (6) {(3 + x^{6})}^{2}}$

خطوة 4.3.6.2

أضف $1$ و $5$ .

$\frac{3 + x^{6} + x \ln (6) (- x^{5} \log_{6} (x^{6}))}{x \ln (6) {(3 + x^{6})}^{2}}$

خطوة 4.3.7

ارفع $x$ إلى القوة $1$ .

$\frac{3 + x^{6} + x^{5} x^{1} \ln (6) (- \log_{6} (x^{6}))}{x \ln (6) {(3 + x^{6})}^{2}}$

خطوة 4.3.8

استخدِم قاعدة القوة $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ لتجميع الأُسس.

$\frac{3 + x^{6} + x^{5 + 1} \ln (6) (- \log_{6} (x^{6}))}{x \ln (6) {(3 + x^{6})}^{2}}$

خطوة 4.3.9

أضف $5$ و $1$ .

$\frac{3 + x^{6} + x^{6} \ln (6) (- \log_{6} (x^{6}))}{x \ln (6) {(3 + x^{6})}^{2}}$

خطوة 4.4

أعِد ترتيب الحدود.

$\frac{x^{6} - x^{6} \ln (6) \log_{6} (x^{6}) + 3}{x {(3 + x^{6})}^{2} \ln (6)}$