حساب التفاضل والتكامل الأمثلة

$g (x) = e^{c x} (\cos (a x) - 3 \sin (a x))$

خطوة 1

أوجِد المشتقة باستخدام قاعدة الضرب التي تنص على أن $\frac{d}{d x} [f (x) g (x)]$ هو $f (x) \frac{d}{d x} [g (x)] + g (x) \frac{d}{d x} [f (x)]$ حيث $f (x) = e^{c x}$ و $g (x) = \cos (a x) - 3 \sin (a x)$ .

$e^{c x} \frac{d}{d x} [\cos (a x) - 3 \sin (a x)] + (\cos (a x) - 3 \sin (a x)) \frac{d}{d x} [e^{c x}]$

خطوة 2

وفقًا لقاعدة الجمع، فإن مشتق $\cos (a x) - 3 \sin (a x)$ بالنسبة إلى $x$ هو $\frac{d}{d x} [\cos (a x)] + \frac{d}{d x} [- 3 \sin (a x)]$ .

$e^{c x} (\frac{d}{d x} [\cos (a x)] + \frac{d}{d x} [- 3 \sin (a x)]) + (\cos (a x) - 3 \sin (a x)) \frac{d}{d x} [e^{c x}]$

خطوة 3

أوجِد المشتقة باستخدام قاعدة السلسلة، والتي تنص على أن $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ هو $f' (g (x)) g' (x)$ حيث $f (x) = \cos (x)$ و $g (x) = a x$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 3.1

لتطبيق قاعدة السلسلة، عيّن قيمة $u_{1}$ لتصبح $a x$ .

$e^{c x} (\frac{d}{d u_{1}} [\cos (u_{1})] \frac{d}{d x} [a x] + \frac{d}{d x} [- 3 \sin (a x)]) + (\cos (a x) - 3 \sin (a x)) \frac{d}{d x} [e^{c x}]$

خطوة 3.2

مشتق $\cos (u_{1})$ بالنسبة إلى $u_{1}$ يساوي $- \sin (u_{1})$ .

$e^{c x} (- \sin (u_{1}) \frac{d}{d x} [a x] + \frac{d}{d x} [- 3 \sin (a x)]) + (\cos (a x) - 3 \sin (a x)) \frac{d}{d x} [e^{c x}]$

خطوة 3.3

استبدِل كافة حالات حدوث $u_{1}$ بـ $a x$ .

$e^{c x} (- \sin (a x) \frac{d}{d x} [a x] + \frac{d}{d x} [- 3 \sin (a x)]) + (\cos (a x) - 3 \sin (a x)) \frac{d}{d x} [e^{c x}]$

خطوة 4

أوجِد المشتقة.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 4.1

بما أن $a$ عدد ثابت بالنسبة إلى $x$ ، إذن مشتق $a x$ بالنسبة إلى $x$ يساوي $a \frac{d}{d x} [x]$ .

$e^{c x} (- \sin (a x) (a \frac{d}{d x} [x]) + \frac{d}{d x} [- 3 \sin (a x)]) + (\cos (a x) - 3 \sin (a x)) \frac{d}{d x} [e^{c x}]$

خطوة 4.2

أوجِد المشتقة باستخدام قاعدة القوة التي تنص على أن $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ هو $n x^{n - 1}$ حيث $n = 1$ .

$e^{c x} (- \sin (a x) (a \cdot 1) + \frac{d}{d x} [- 3 \sin (a x)]) + (\cos (a x) - 3 \sin (a x)) \frac{d}{d x} [e^{c x}]$

خطوة 4.3

اضرب $a$ في $1$ .

$e^{c x} (- \sin (a x) a + \frac{d}{d x} [- 3 \sin (a x)]) + (\cos (a x) - 3 \sin (a x)) \frac{d}{d x} [e^{c x}]$

خطوة 4.4

بما أن $- 3$ عدد ثابت بالنسبة إلى $x$ ، إذن مشتق $- 3 \sin (a x)$ بالنسبة إلى $x$ يساوي $- 3 \frac{d}{d x} [\sin (a x)]$ .

$e^{c x} (- \sin (a x) a - 3 \frac{d}{d x} [\sin (a x)]) + (\cos (a x) - 3 \sin (a x)) \frac{d}{d x} [e^{c x}]$

خطوة 5

أوجِد المشتقة باستخدام قاعدة السلسلة، والتي تنص على أن $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ هو $f' (g (x)) g' (x)$ حيث $f (x) = \sin (x)$ و $g (x) = a x$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 5.1

لتطبيق قاعدة السلسلة، عيّن قيمة $u_{2}$ لتصبح $a x$ .

$e^{c x} (- \sin (a x) a - 3 (\frac{d}{d u_{2}} [\sin (u_{2})] \frac{d}{d x} [a x])) + (\cos (a x) - 3 \sin (a x)) \frac{d}{d x} [e^{c x}]$

خطوة 5.2

مشتق $\sin (u_{2})$ بالنسبة إلى $u_{2}$ يساوي $\cos (u_{2})$ .

$e^{c x} (- \sin (a x) a - 3 (\cos (u_{2}) \frac{d}{d x} [a x])) + (\cos (a x) - 3 \sin (a x)) \frac{d}{d x} [e^{c x}]$

خطوة 5.3

استبدِل كافة حالات حدوث $u_{2}$ بـ $a x$ .

$e^{c x} (- \sin (a x) a - 3 (\cos (a x) \frac{d}{d x} [a x])) + (\cos (a x) - 3 \sin (a x)) \frac{d}{d x} [e^{c x}]$

خطوة 6

أوجِد المشتقة.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 6.1

بما أن $a$ عدد ثابت بالنسبة إلى $x$ ، إذن مشتق $a x$ بالنسبة إلى $x$ يساوي $a \frac{d}{d x} [x]$ .

$e^{c x} (- \sin (a x) a - 3 \cos (a x) (a \frac{d}{d x} [x])) + (\cos (a x) - 3 \sin (a x)) \frac{d}{d x} [e^{c x}]$

خطوة 6.2

أوجِد المشتقة باستخدام قاعدة القوة التي تنص على أن $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ هو $n x^{n - 1}$ حيث $n = 1$ .

$e^{c x} (- \sin (a x) a - 3 \cos (a x) (a \cdot 1)) + (\cos (a x) - 3 \sin (a x)) \frac{d}{d x} [e^{c x}]$

خطوة 6.3

اضرب $a$ في $1$ .

$e^{c x} (- \sin (a x) a - 3 \cos (a x) a) + (\cos (a x) - 3 \sin (a x)) \frac{d}{d x} [e^{c x}]$

خطوة 7

أوجِد المشتقة باستخدام قاعدة السلسلة، والتي تنص على أن $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ هو $f' (g (x)) g' (x)$ حيث $f (x) = e^{x}$ و $g (x) = c x$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 7.1

لتطبيق قاعدة السلسلة، عيّن قيمة $u_{3}$ لتصبح $c x$ .

$e^{c x} (- \sin (a x) a - 3 \cos (a x) a) + (\cos (a x) - 3 \sin (a x)) (\frac{d}{d u_{3}} [e^{u_{3}}] \frac{d}{d x} [c x])$

خطوة 7.2

أوجِد المشتقة باستخدام القاعدة الأسية التي تنص على أن $\frac{d}{d u_{3}} [a^{u_{3}}]$ هو $a^{u_{3}} \ln (a)$ حيث $a$ = $e$ .

$e^{c x} (- \sin (a x) a - 3 \cos (a x) a) + (\cos (a x) - 3 \sin (a x)) (e^{u_{3}} \frac{d}{d x} [c x])$

خطوة 7.3

استبدِل كافة حالات حدوث $u_{3}$ بـ $c x$ .

$e^{c x} (- \sin (a x) a - 3 \cos (a x) a) + (\cos (a x) - 3 \sin (a x)) (e^{c x} \frac{d}{d x} [c x])$

خطوة 8

أوجِد المشتقة.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 8.1

بما أن $c$ عدد ثابت بالنسبة إلى $x$ ، إذن مشتق $c x$ بالنسبة إلى $x$ يساوي $c \frac{d}{d x} [x]$ .

$e^{c x} (- \sin (a x) a - 3 \cos (a x) a) + (\cos (a x) - 3 \sin (a x)) e^{c x} (c \frac{d}{d x} [x])$

خطوة 8.2

أوجِد المشتقة باستخدام قاعدة القوة التي تنص على أن $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ هو $n x^{n - 1}$ حيث $n = 1$ .

$e^{c x} (- \sin (a x) a - 3 \cos (a x) a) + (\cos (a x) - 3 \sin (a x)) e^{c x} (c \cdot 1)$

خطوة 8.3

اضرب $c$ في $1$ .

$e^{c x} (- \sin (a x) a - 3 \cos (a x) a) + (\cos (a x) - 3 \sin (a x)) e^{c x} c$

خطوة 9

بسّط.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 9.1

طبّق خاصية التوزيع.

$e^{c x} (- \sin (a x) a) + e^{c x} (- 3 \cos (a x) a) + (\cos (a x) - 3 \sin (a x)) e^{c x} c$

خطوة 9.2

طبّق خاصية التوزيع.

$e^{c x} (- \sin (a x) a) + e^{c x} (- 3 \cos (a x) a) + (\cos (a x) e^{c x} - 3 \sin (a x) e^{c x}) c$

خطوة 9.3

طبّق خاصية التوزيع.

$e^{c x} (- \sin (a x) a) + e^{c x} (- 3 \cos (a x) a) + \cos (a x) e^{c x} c - 3 \sin (a x) e^{c x} c$

خطوة 9.4

أعِد ترتيب الحدود.

$- e^{c x} a \sin (a x) - 3 e^{c x} a \cos (a x) + e^{c x} c \cos (a x) - 3 e^{c x} c \sin (a x)$