حساب التفاضل والتكامل الأمثلة

$\ln (x^{\frac{5}{2}})$

خطوة 1

أوجِد المشتقة باستخدام قاعدة السلسلة، والتي تنص على أن $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ هو $f' (g (x)) g' (x)$ حيث $f (x) = \ln (x)$ و $g (x) = x^{\frac{5}{2}}$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 1.1

لتطبيق قاعدة السلسلة، عيّن قيمة $u$ لتصبح $x^{\frac{5}{2}}$ .

$\frac{d}{d u} [\ln (u)] \frac{d}{d x} [x^{\frac{5}{2}}]$

خطوة 1.2

مشتق $\ln (u)$ بالنسبة إلى $u$ يساوي $\frac{1}{u}$ .

$\frac{1}{u} \frac{d}{d x} [x^{\frac{5}{2}}]$

خطوة 1.3

استبدِل كافة حالات حدوث $u$ بـ $x^{\frac{5}{2}}$ .

$\frac{1}{x^{\frac{5}{2}}} \frac{d}{d x} [x^{\frac{5}{2}}]$

خطوة 2

أوجِد المشتقة باستخدام قاعدة القوة التي تنص على أن $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ هو $n x^{n - 1}$ حيث $n = \frac{5}{2}$ .

$\frac{1}{x^{\frac{5}{2}}} (\frac{5}{2} x^{\frac{5}{2} - 1})$

خطوة 3

لكتابة $- 1$ على هيئة كسر بقاسم مشترك، اضرب في $\frac{2}{2}$ .

$\frac{1}{x^{\frac{5}{2}}} (\frac{5}{2} x^{\frac{5}{2} - 1 \cdot \frac{2}{2}})$

خطوة 4

اجمع $- 1$ و $\frac{2}{2}$ .

$\frac{1}{x^{\frac{5}{2}}} (\frac{5}{2} x^{\frac{5}{2} + \frac{- 1 \cdot 2}{2}})$

خطوة 5

اجمع البسوط على القاسم المشترك.

$\frac{1}{x^{\frac{5}{2}}} (\frac{5}{2} x^{\frac{5 - 1 \cdot 2}{2}})$

خطوة 6

بسّط بَسْط الكسر.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 6.1

اضرب $- 1$ في $2$ .

$\frac{1}{x^{\frac{5}{2}}} (\frac{5}{2} x^{\frac{5 - 2}{2}})$

خطوة 6.2

اطرح $2$ من $5$ .

$\frac{1}{x^{\frac{5}{2}}} (\frac{5}{2} x^{\frac{3}{2}})$

خطوة 7

اجمع $\frac{5}{2}$ و $x^{\frac{3}{2}}$ .

$\frac{1}{x^{\frac{5}{2}}} \cdot \frac{5 x^{\frac{3}{2}}}{2}$

خطوة 8

اضرب $\frac{1}{x^{\frac{5}{2}}}$ في $\frac{5 x^{\frac{3}{2}}}{2}$ .

$\frac{5 x^{\frac{3}{2}}}{x^{\frac{5}{2}} \cdot 2}$

خطوة 9

بسّط العبارة.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 9.1

انقُل $2$ إلى يسار $x^{\frac{5}{2}}$ .

$\frac{5 x^{\frac{3}{2}}}{2 \cdot x^{\frac{5}{2}}}$

خطوة 9.2

انقُل $x^{\frac{3}{2}}$ إلى القاسم باستخدام قاعدة الأُسس السالبة $b^{n} = \frac{1}{b^{- n}}$ .

$\frac{5}{2 x^{\frac{5}{2}} x^{- \frac{3}{2}}}$

خطوة 10

بسّط القاسم.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 10.1

اضرب $x^{\frac{5}{2}}$ في $x^{- \frac{3}{2}}$ بجمع الأُسس.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 10.1.1

انقُل $x^{- \frac{3}{2}}$ .

$\frac{5}{2 (x^{- \frac{3}{2}} x^{\frac{5}{2}})}$

خطوة 10.1.2

استخدِم قاعدة القوة $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ لتجميع الأُسس.

$\frac{5}{2 x^{- \frac{3}{2} + \frac{5}{2}}}$

خطوة 10.1.3

اجمع البسوط على القاسم المشترك.

$\frac{5}{2 x^{\frac{- 3 + 5}{2}}}$

خطوة 10.1.4

أضف $- 3$ و $5$ .

$\frac{5}{2 x^{\frac{2}{2}}}$

خطوة 10.1.5

اقسِم $2$ على $2$ .

$\frac{5}{2 x^{1}}$

خطوة 10.2

بسّط $2 x^{1}$ .

$\frac{5}{2 x}$