حساب التفاضل والتكامل الأمثلة

$\ln (\frac{e}{e - x})$

خطوة 1

أوجِد المشتقة باستخدام قاعدة السلسلة، والتي تنص على أن $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ هو $f' (g (x)) g' (x)$ حيث $f (x) = \ln (x)$ و $g (x) = \frac{e}{e - x}$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 1.1

لتطبيق قاعدة السلسلة، عيّن قيمة $u_{1}$ لتصبح $\frac{e}{e - x}$ .

$\frac{d}{d u_{1}} [\ln (u_{1})] \frac{d}{d x} [\frac{e}{e - x}]$

خطوة 1.2

مشتق $\ln (u_{1})$ بالنسبة إلى $u_{1}$ يساوي $\frac{1}{u_{1}}$ .

$\frac{1}{u_{1}} \frac{d}{d x} [\frac{e}{e - x}]$

خطوة 1.3

استبدِل كافة حالات حدوث $u_{1}$ بـ $\frac{e}{e - x}$ .

$\frac{1}{\frac{e}{e - x}} \frac{d}{d x} [\frac{e}{e - x}]$

خطوة 2

اضرب في مقلوب الكسر للقسمة على $\frac{e}{e - x}$ .

$1 \frac{e - x}{e} \frac{d}{d x} [\frac{e}{e - x}]$

خطوة 3

أوجِد المشتقة باستخدام قاعدة المضاعف الثابت.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 3.1

اضرب $\frac{e - x}{e}$ في $1$ .

$\frac{e - x}{e} \frac{d}{d x} [\frac{e}{e - x}]$

خطوة 3.2

بما أن $e$ عدد ثابت بالنسبة إلى $x$ ، إذن مشتق $\frac{e}{e - x}$ بالنسبة إلى $x$ يساوي $e \frac{d}{d x} [\frac{1}{e - x}]$ .

$\frac{e - x}{e} (e \frac{d}{d x} [\frac{1}{e - x}])$

خطوة 3.3

بسّط الحدود.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 3.3.1

اجمع $e$ و $\frac{e - x}{e}$ .

$\frac{e (e - x)}{e} \frac{d}{d x} [\frac{1}{e - x}]$

خطوة 3.3.2

ألغِ العامل المشترك لـ $e$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 3.3.2.1

ألغِ العامل المشترك.

$\frac{e (e - x)}{e} \frac{d}{d x} [\frac{1}{e - x}]$

خطوة 3.3.2.2

اقسِم $e - x$ على $1$ .

$(e - x) \frac{d}{d x} [\frac{1}{e - x}]$

خطوة 3.3.3

أعِد كتابة $\frac{1}{e - x}$ بالصيغة ${(e - x)}^{- 1}$ .

$(e - x) \frac{d}{d x} [{(e - x)}^{- 1}]$

خطوة 4

أوجِد المشتقة باستخدام قاعدة السلسلة، والتي تنص على أن $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ هو $f' (g (x)) g' (x)$ حيث $f (x) = x^{- 1}$ و $g (x) = e - x$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 4.1

لتطبيق قاعدة السلسلة، عيّن قيمة $u_{2}$ لتصبح $e - x$ .

$(e - x) (\frac{d}{d u_{2}} [{u_{2}}^{- 1}] \frac{d}{d x} [e - x])$

خطوة 4.2

أوجِد المشتقة باستخدام قاعدة القوة التي تنص على أن $\frac{d}{d u_{2}} [{u_{2}}^{n}]$ هو $n {u_{2}}^{n - 1}$ حيث $n = - 1$ .

$(e - x) (- {u_{2}}^{- 2} \frac{d}{d x} [e - x])$

خطوة 4.3

استبدِل كافة حالات حدوث $u_{2}$ بـ $e - x$ .

$(e - x) (- {(e - x)}^{- 2} \frac{d}{d x} [e - x])$

خطوة 5

ارفع $e - x$ إلى القوة $1$ .

$- ({(e - x)}^{1} {(e - x)}^{- 2}) \frac{d}{d x} [e - x]$

خطوة 6

استخدِم قاعدة القوة $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ لتجميع الأُسس.

$- {(e - x)}^{1 - 2} \frac{d}{d x} [e - x]$

خطوة 7

اطرح $2$ من $1$ .

$- {(e - x)}^{- 1} \frac{d}{d x} [e - x]$

خطوة 8

وفقًا لقاعدة الجمع، فإن مشتق $e - x$ بالنسبة إلى $x$ هو $\frac{d}{d x} [e] + \frac{d}{d x} [- x]$ .

$- {(e - x)}^{- 1} (\frac{d}{d x} [e] + \frac{d}{d x} [- x])$

خطوة 9

بما أن $e$ عدد ثابت بالنسبة إلى $x$ ، فإن مشتق $e$ بالنسبة إلى $x$ هو $0$ .

$- {(e - x)}^{- 1} (0 + \frac{d}{d x} [- x])$

خطوة 10

أضف $0$ و $\frac{d}{d x} [- x]$ .

$- {(e - x)}^{- 1} \frac{d}{d x} [- x]$

خطوة 11

بما أن $- 1$ عدد ثابت بالنسبة إلى $x$ ، إذن مشتق $- x$ بالنسبة إلى $x$ يساوي $- \frac{d}{d x} [x]$ .

$- {(e - x)}^{- 1} (- \frac{d}{d x} [x])$

خطوة 12

اضرب.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 12.1

اضرب $- 1$ في $- 1$ .

$1 {(e - x)}^{- 1} \frac{d}{d x} [x]$

خطوة 12.2

اضرب ${(e - x)}^{- 1}$ في $1$ .

${(e - x)}^{- 1} \frac{d}{d x} [x]$

خطوة 13

أوجِد المشتقة باستخدام قاعدة القوة التي تنص على أن $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ هو $n x^{n - 1}$ حيث $n = 1$ .

${(e - x)}^{- 1} \cdot 1$

خطوة 14

اضرب ${(e - x)}^{- 1}$ في $1$ .

${(e - x)}^{- 1}$

خطوة 15

بسّط.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 15.1

أعِد كتابة العبارة باستخدام قاعدة الأُسس السالبة $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$\frac{1}{e - x}$

خطوة 15.2

أعِد ترتيب الحدود.

$\frac{1}{- x + e}$

خطوة 15.3

أخرِج العامل $- 1$ من $- x$ .

$\frac{1}{- (x) + e}$

خطوة 15.4

أخرِج العامل $- 1$ من $e$ .

$\frac{1}{- (x) - 1 (- e)}$

خطوة 15.5

أخرِج العامل $- 1$ من $- (x) - 1 (- e)$ .

$\frac{1}{- (x - e)}$

خطوة 15.6

أعِد كتابة $- (x - e)$ بالصيغة $- 1 (x - e)$ .

$\frac{1}{- 1 (x - e)}$

خطوة 15.7

انقُل السالب أمام الكسر.

$- \frac{1}{x - e}$