حساب التفاضل والتكامل الأمثلة

$\ln (\sin (3 x) + e^{x})$

خطوة 1

أوجِد المشتقة باستخدام قاعدة السلسلة، والتي تنص على أن $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ هو $f' (g (x)) g' (x)$ حيث $f (x) = \ln (x)$ و $g (x) = \sin (3 x) + e^{x}$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 1.1

لتطبيق قاعدة السلسلة، عيّن قيمة $u_{1}$ لتصبح $\sin (3 x) + e^{x}$ .

$\frac{d}{d u_{1}} [\ln (u_{1})] \frac{d}{d x} [\sin (3 x) + e^{x}]$

خطوة 1.2

مشتق $\ln (u_{1})$ بالنسبة إلى $u_{1}$ يساوي $\frac{1}{u_{1}}$ .

$\frac{1}{u_{1}} \frac{d}{d x} [\sin (3 x) + e^{x}]$

خطوة 1.3

استبدِل كافة حالات حدوث $u_{1}$ بـ $\sin (3 x) + e^{x}$ .

$\frac{1}{\sin (3 x) + e^{x}} \frac{d}{d x} [\sin (3 x) + e^{x}]$

خطوة 2

وفقًا لقاعدة الجمع، فإن مشتق $\sin (3 x) + e^{x}$ بالنسبة إلى $x$ هو $\frac{d}{d x} [\sin (3 x)] + \frac{d}{d x} [e^{x}]$ .

$\frac{1}{\sin (3 x) + e^{x}} (\frac{d}{d x} [\sin (3 x)] + \frac{d}{d x} [e^{x}])$

خطوة 3

أوجِد المشتقة باستخدام قاعدة السلسلة، والتي تنص على أن $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ هو $f' (g (x)) g' (x)$ حيث $f (x) = \sin (x)$ و $g (x) = 3 x$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 3.1

لتطبيق قاعدة السلسلة، عيّن قيمة $u_{2}$ لتصبح $3 x$ .

$\frac{1}{\sin (3 x) + e^{x}} (\frac{d}{d u_{2}} [\sin (u_{2})] \frac{d}{d x} [3 x] + \frac{d}{d x} [e^{x}])$

خطوة 3.2

مشتق $\sin (u_{2})$ بالنسبة إلى $u_{2}$ يساوي $\cos (u_{2})$ .

$\frac{1}{\sin (3 x) + e^{x}} (\cos (u_{2}) \frac{d}{d x} [3 x] + \frac{d}{d x} [e^{x}])$

خطوة 3.3

استبدِل كافة حالات حدوث $u_{2}$ بـ $3 x$ .

$\frac{1}{\sin (3 x) + e^{x}} (\cos (3 x) \frac{d}{d x} [3 x] + \frac{d}{d x} [e^{x}])$

خطوة 4

أوجِد المشتقة.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 4.1

بما أن $3$ عدد ثابت بالنسبة إلى $x$ ، إذن مشتق $3 x$ بالنسبة إلى $x$ يساوي $3 \frac{d}{d x} [x]$ .

$\frac{1}{\sin (3 x) + e^{x}} (\cos (3 x) (3 \frac{d}{d x} [x]) + \frac{d}{d x} [e^{x}])$

خطوة 4.2

أوجِد المشتقة باستخدام قاعدة القوة التي تنص على أن $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ هو $n x^{n - 1}$ حيث $n = 1$ .

$\frac{1}{\sin (3 x) + e^{x}} (\cos (3 x) (3 \cdot 1) + \frac{d}{d x} [e^{x}])$

خطوة 4.3

بسّط العبارة.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 4.3.1

اضرب $3$ في $1$ .

$\frac{1}{\sin (3 x) + e^{x}} (\cos (3 x) \cdot 3 + \frac{d}{d x} [e^{x}])$

خطوة 4.3.2

انقُل $3$ إلى يسار $\cos (3 x)$ .

$\frac{1}{\sin (3 x) + e^{x}} (3 \cdot \cos (3 x) + \frac{d}{d x} [e^{x}])$

خطوة 5

أوجِد المشتقة باستخدام القاعدة الأسية التي تنص على أن $\frac{d}{d x} [a^{x}]$ هو $a^{x} \ln (a)$ حيث $a$ = $e$ .

$\frac{1}{\sin (3 x) + e^{x}} (3 \cos (3 x) + e^{x})$

خطوة 6

بسّط.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 6.1

أعِد ترتيب عوامل $\frac{1}{\sin (3 x) + e^{x}} (3 \cos (3 x) + e^{x})$ .

$(3 \cos (3 x) + e^{x}) \frac{1}{\sin (3 x) + e^{x}}$

خطوة 6.2

طبّق خاصية التوزيع.

$3 \cos (3 x) \frac{1}{\sin (3 x) + e^{x}} + e^{x} \frac{1}{\sin (3 x) + e^{x}}$

خطوة 6.3

اضرب $3 \cos (3 x) \frac{1}{\sin (3 x) + e^{x}}$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 6.3.1

اجمع $\frac{1}{\sin (3 x) + e^{x}}$ و $3$ .

$\frac{3}{\sin (3 x) + e^{x}} \cos (3 x) + e^{x} \frac{1}{\sin (3 x) + e^{x}}$

خطوة 6.3.2

اجمع $\frac{3}{\sin (3 x) + e^{x}}$ و $\cos (3 x)$ .

$\frac{3 \cos (3 x)}{\sin (3 x) + e^{x}} + e^{x} \frac{1}{\sin (3 x) + e^{x}}$

خطوة 6.4

اجمع $e^{x}$ و $\frac{1}{\sin (3 x) + e^{x}}$ .

$\frac{3 \cos (3 x)}{\sin (3 x) + e^{x}} + \frac{e^{x}}{\sin (3 x) + e^{x}}$

خطوة 6.5

اجمع البسوط على القاسم المشترك.

$\frac{3 \cos (3 x) + e^{x}}{\sin (3 x) + e^{x}}$