حساب التفاضل والتكامل الأمثلة

$\ln (\frac{1}{x + 1})$

خطوة 1

أوجِد المشتقة باستخدام قاعدة السلسلة، والتي تنص على أن $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ هو $f' (g (x)) g' (x)$ حيث $f (x) = \ln (x)$ و $g (x) = \frac{1}{x + 1}$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 1.1

لتطبيق قاعدة السلسلة، عيّن قيمة $u_{1}$ لتصبح $\frac{1}{x + 1}$ .

$\frac{d}{d u_{1}} [\ln (u_{1})] \frac{d}{d x} [\frac{1}{x + 1}]$

خطوة 1.2

مشتق $\ln (u_{1})$ بالنسبة إلى $u_{1}$ يساوي $\frac{1}{u_{1}}$ .

$\frac{1}{u_{1}} \frac{d}{d x} [\frac{1}{x + 1}]$

خطوة 1.3

استبدِل كافة حالات حدوث $u_{1}$ بـ $\frac{1}{x + 1}$ .

$\frac{1}{\frac{1}{x + 1}} \frac{d}{d x} [\frac{1}{x + 1}]$

خطوة 2

اضرب في مقلوب الكسر للقسمة على $\frac{1}{x + 1}$ .

$1 (x + 1) \frac{d}{d x} [\frac{1}{x + 1}]$

خطوة 3

بسّط العبارة.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 3.1

اضرب $x + 1$ في $1$ .

$(x + 1) \frac{d}{d x} [\frac{1}{x + 1}]$

خطوة 3.2

أعِد كتابة $\frac{1}{x + 1}$ بالصيغة ${(x + 1)}^{- 1}$ .

$(x + 1) \frac{d}{d x} [{(x + 1)}^{- 1}]$

خطوة 4

أوجِد المشتقة باستخدام قاعدة السلسلة، والتي تنص على أن $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ هو $f' (g (x)) g' (x)$ حيث $f (x) = x^{- 1}$ و $g (x) = x + 1$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 4.1

لتطبيق قاعدة السلسلة، عيّن قيمة $u_{2}$ لتصبح $x + 1$ .

$(x + 1) (\frac{d}{d u_{2}} [{u_{2}}^{- 1}] \frac{d}{d x} [x + 1])$

خطوة 4.2

أوجِد المشتقة باستخدام قاعدة القوة التي تنص على أن $\frac{d}{d u_{2}} [{u_{2}}^{n}]$ هو $n {u_{2}}^{n - 1}$ حيث $n = - 1$ .

$(x + 1) (- {u_{2}}^{- 2} \frac{d}{d x} [x + 1])$

خطوة 4.3

استبدِل كافة حالات حدوث $u_{2}$ بـ $x + 1$ .

$(x + 1) (- {(x + 1)}^{- 2} \frac{d}{d x} [x + 1])$

خطوة 5

ارفع $x + 1$ إلى القوة $1$ .

$- ({(x + 1)}^{1} {(x + 1)}^{- 2}) \frac{d}{d x} [x + 1]$

خطوة 6

استخدِم قاعدة القوة $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ لتجميع الأُسس.

$- {(x + 1)}^{1 - 2} \frac{d}{d x} [x + 1]$

خطوة 7

اطرح $2$ من $1$ .

$- {(x + 1)}^{- 1} \frac{d}{d x} [x + 1]$

خطوة 8

وفقًا لقاعدة الجمع، فإن مشتق $x + 1$ بالنسبة إلى $x$ هو $\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [1]$ .

$- {(x + 1)}^{- 1} (\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [1])$

خطوة 9

أوجِد المشتقة باستخدام قاعدة القوة التي تنص على أن $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ هو $n x^{n - 1}$ حيث $n = 1$ .

$- {(x + 1)}^{- 1} (1 + \frac{d}{d x} [1])$

خطوة 10

بما أن $1$ عدد ثابت بالنسبة إلى $x$ ، فإن مشتق $1$ بالنسبة إلى $x$ هو $0$ .

$- {(x + 1)}^{- 1} (1 + 0)$

خطوة 11

بسّط العبارة.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 11.1

أضف $1$ و $0$ .

$- {(x + 1)}^{- 1} \cdot 1$

خطوة 11.2

اضرب $- 1$ في $1$ .

$- {(x + 1)}^{- 1}$

خطوة 12

أعِد كتابة العبارة باستخدام قاعدة الأُسس السالبة $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$- \frac{1}{x + 1}$