حساب التفاضل والتكامل الأمثلة

$f (x) = \ln (\frac{x^{2} - 7}{x})$

خطوة 1

أوجِد المشتقة باستخدام قاعدة السلسلة، والتي تنص على أن $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ هو $f' (g (x)) g' (x)$ حيث $f (x) = \ln (x)$ و $g (x) = \frac{x^{2} - 7}{x}$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 1.1

لتطبيق قاعدة السلسلة، عيّن قيمة $u$ لتصبح $\frac{x^{2} - 7}{x}$ .

$\frac{d}{d u} [\ln (u)] \frac{d}{d x} [\frac{x^{2} - 7}{x}]$

خطوة 1.2

مشتق $\ln (u)$ بالنسبة إلى $u$ يساوي $\frac{1}{u}$ .

$\frac{1}{u} \frac{d}{d x} [\frac{x^{2} - 7}{x}]$

خطوة 1.3

استبدِل كافة حالات حدوث $u$ بـ $\frac{x^{2} - 7}{x}$ .

$\frac{1}{\frac{x^{2} - 7}{x}} \frac{d}{d x} [\frac{x^{2} - 7}{x}]$

خطوة 2

اضرب في مقلوب الكسر للقسمة على $\frac{x^{2} - 7}{x}$ .

$1 \frac{x}{x^{2} - 7} \frac{d}{d x} [\frac{x^{2} - 7}{x}]$

خطوة 3

اضرب $\frac{x}{x^{2} - 7}$ في $1$ .

$\frac{x}{x^{2} - 7} \frac{d}{d x} [\frac{x^{2} - 7}{x}]$

خطوة 4

أوجِد المشتقة باستخدام قاعدة القسمة التي تنص على أن $\frac{d}{d x} [\frac{f (x)}{g (x)}]$ هو $\frac{g (x) \frac{d}{d x} [f (x)] - f (x) \frac{d}{d x} [g (x)]}{{g (x)}^{2}}$ حيث $f (x) = x^{2} - 7$ و $g (x) = x$ .

$\frac{x}{x^{2} - 7} \cdot \frac{x \frac{d}{d x} [x^{2} - 7] - (x^{2} - 7) \frac{d}{d x} [x]}{x^{2}}$

خطوة 5

أوجِد المشتقة.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 5.1

وفقًا لقاعدة الجمع، فإن مشتق $x^{2} - 7$ بالنسبة إلى $x$ هو $\frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [- 7]$ .

$\frac{x}{x^{2} - 7} \cdot \frac{x (\frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [- 7]) - (x^{2} - 7) \frac{d}{d x} [x]}{x^{2}}$

خطوة 5.2

أوجِد المشتقة باستخدام قاعدة القوة التي تنص على أن $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ هو $n x^{n - 1}$ حيث $n = 2$ .

$\frac{x}{x^{2} - 7} \cdot \frac{x (2 x + \frac{d}{d x} [- 7]) - (x^{2} - 7) \frac{d}{d x} [x]}{x^{2}}$

خطوة 5.3

بما أن $- 7$ عدد ثابت بالنسبة إلى $x$ ، فإن مشتق $- 7$ بالنسبة إلى $x$ هو $0$ .

$\frac{x}{x^{2} - 7} \cdot \frac{x (2 x + 0) - (x^{2} - 7) \frac{d}{d x} [x]}{x^{2}}$

خطوة 5.4

أضف $2 x$ و $0$ .

$\frac{x}{x^{2} - 7} \cdot \frac{x (2 x) - (x^{2} - 7) \frac{d}{d x} [x]}{x^{2}}$

خطوة 6

ارفع $x$ إلى القوة $1$ .

$\frac{x}{x^{2} - 7} \cdot \frac{2 (x^{1} x) - (x^{2} - 7) \frac{d}{d x} [x]}{x^{2}}$

خطوة 7

ارفع $x$ إلى القوة $1$ .

$\frac{x}{x^{2} - 7} \cdot \frac{2 (x^{1} x^{1}) - (x^{2} - 7) \frac{d}{d x} [x]}{x^{2}}$

خطوة 8

استخدِم قاعدة القوة $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ لتجميع الأُسس.

$\frac{x}{x^{2} - 7} \cdot \frac{2 x^{1 + 1} - (x^{2} - 7) \frac{d}{d x} [x]}{x^{2}}$

خطوة 9

أضف $1$ و $1$ .

$\frac{x}{x^{2} - 7} \cdot \frac{2 x^{2} - (x^{2} - 7) \frac{d}{d x} [x]}{x^{2}}$

خطوة 10

أوجِد المشتقة باستخدام قاعدة القوة التي تنص على أن $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ هو $n x^{n - 1}$ حيث $n = 1$ .

$\frac{x}{x^{2} - 7} \cdot \frac{2 x^{2} - (x^{2} - 7) \cdot 1}{x^{2}}$

خطوة 11

اجمع الكسور.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 11.1

اضرب $- 1$ في $1$ .

$\frac{x}{x^{2} - 7} \cdot \frac{2 x^{2} - (x^{2} - 7)}{x^{2}}$

خطوة 11.2

اضرب $\frac{x}{x^{2} - 7}$ في $\frac{2 x^{2} - (x^{2} - 7)}{x^{2}}$ .

$\frac{x (2 x^{2} - (x^{2} - 7))}{(x^{2} - 7) x^{2}}$

خطوة 12

ألغِ العوامل المشتركة.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 12.1

أخرِج العامل $x$ من $(x^{2} - 7) x^{2}$ .

$\frac{x (2 x^{2} - (x^{2} - 7))}{x ((x^{2} - 7) x)}$

خطوة 12.2

ألغِ العامل المشترك.

$\frac{x (2 x^{2} - (x^{2} - 7))}{x ((x^{2} - 7) x)}$

خطوة 12.3

أعِد كتابة العبارة.

$\frac{2 x^{2} - (x^{2} - 7)}{(x^{2} - 7) x}$

خطوة 13

بسّط.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 13.1

طبّق خاصية التوزيع.

$\frac{2 x^{2} - x^{2} - - 7}{(x^{2} - 7) x}$

خطوة 13.2

طبّق خاصية التوزيع.

$\frac{2 x^{2} - x^{2} - - 7}{x^{2} x - 7 x}$

خطوة 13.3

بسّط بَسْط الكسر.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 13.3.1

اضرب $- 1$ في $- 7$ .

$\frac{2 x^{2} - x^{2} + 7}{x^{2} x - 7 x}$

خطوة 13.3.2

اطرح $x^{2}$ من $2 x^{2}$ .

$\frac{x^{2} + 7}{x^{2} x - 7 x}$

خطوة 13.4

اضرب $x^{2}$ في $x$ بجمع الأُسس.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 13.4.1

اضرب $x^{2}$ في $x$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 13.4.1.1

ارفع $x$ إلى القوة $1$ .

$\frac{x^{2} + 7}{x^{2} x^{1} - 7 x}$

خطوة 13.4.1.2

استخدِم قاعدة القوة $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ لتجميع الأُسس.

$\frac{x^{2} + 7}{x^{2 + 1} - 7 x}$

خطوة 13.4.2

أضف $2$ و $1$ .

$\frac{x^{2} + 7}{x^{3} - 7 x}$

خطوة 13.5

أخرِج العامل $x$ من $x^{3} - 7 x$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 13.5.1

أخرِج العامل $x$ من $x^{3}$ .

$\frac{x^{2} + 7}{x \cdot x^{2} - 7 x}$

خطوة 13.5.2

أخرِج العامل $x$ من $- 7 x$ .

$\frac{x^{2} + 7}{x \cdot x^{2} + x \cdot - 7}$

خطوة 13.5.3

أخرِج العامل $x$ من $x \cdot x^{2} + x \cdot - 7$ .

$\frac{x^{2} + 7}{x (x^{2} - 7)}$