حساب التفاضل والتكامل الأمثلة

$f (x) = \cos (\arctan (\ln (x)))$

خطوة 1

بسّط العبارة.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 1.1

ارسم مثلثًا في المستوى تقع رؤوسه عند النقطتين $(1, \ln (x))$ و $(1, 0)$ ونقطة الأصل. ومن ثمَّ، $\arctan (\ln (x))$ هي الزاوية المحصورة بين الاتجاه الموجب للمحور السيني الموجب والشعاع الذي يبدأ من نقطة الأصل ويمر عبر $(1, \ln (x))$ . إذن، $\cos (\arctan (\ln (x)))$ تساوي $\frac{1}{\sqrt{1 + \ln^{2} (x)}}$ .

$\frac{d}{d x} [\frac{1}{\sqrt{1 + \ln^{2} (x)}}]$

خطوة 1.2

استخدِم $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ لكتابة $\sqrt{1 + \ln^{2} (x)}$ في صورة ${(1 + \ln^{2} (x))}^{\frac{1}{2}}$ .

$\frac{d}{d x} [\frac{1}{{(1 + \ln^{2} (x))}^{\frac{1}{2}}}]$

خطوة 1.3

أعِد كتابة $\frac{1}{{(1 + \ln^{2} (x))}^{\frac{1}{2}}}$ بالصيغة ${({(1 + \ln^{2} (x))}^{\frac{1}{2}})}^{- 1}$ .

$\frac{d}{d x} [{({(1 + \ln^{2} (x))}^{\frac{1}{2}})}^{- 1}]$

خطوة 1.4

اضرب الأُسس في ${({(1 + \ln^{2} (x))}^{\frac{1}{2}})}^{- 1}$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 1.4.1

طبّق قاعدة القوة واضرب الأُسس، ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$\frac{d}{d x} [{(1 + \ln^{2} (x))}^{\frac{1}{2} \cdot - 1}]$

خطوة 1.4.2

اجمع $\frac{1}{2}$ و $- 1$ .

$\frac{d}{d x} [{(1 + \ln^{2} (x))}^{\frac{- 1}{2}}]$

خطوة 1.4.3

انقُل السالب أمام الكسر.

$\frac{d}{d x} [{(1 + \ln^{2} (x))}^{- \frac{1}{2}}]$

خطوة 2

أوجِد المشتقة باستخدام قاعدة السلسلة، والتي تنص على أن $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ هو $f' (g (x)) g' (x)$ حيث $f (x) = x^{- \frac{1}{2}}$ و $g (x) = 1 + \ln^{2} (x)$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 2.1

لتطبيق قاعدة السلسلة، عيّن قيمة $u_{1}$ لتصبح $1 + \ln^{2} (x)$ .

$\frac{d}{d u_{1}} [{u_{1}}^{- \frac{1}{2}}] \frac{d}{d x} [1 + \ln^{2} (x)]$

خطوة 2.2

أوجِد المشتقة باستخدام قاعدة القوة التي تنص على أن $\frac{d}{d u_{1}} [{u_{1}}^{n}]$ هو $n {u_{1}}^{n - 1}$ حيث $n = - \frac{1}{2}$ .

$- \frac{1}{2} {u_{1}}^{- \frac{1}{2} - 1} \frac{d}{d x} [1 + \ln^{2} (x)]$

خطوة 2.3

استبدِل كافة حالات حدوث $u_{1}$ بـ $1 + \ln^{2} (x)$ .

$- \frac{1}{2} {(1 + \ln^{2} (x))}^{- \frac{1}{2} - 1} \frac{d}{d x} [1 + \ln^{2} (x)]$

خطوة 3

لكتابة $- 1$ على هيئة كسر بقاسم مشترك، اضرب في $\frac{2}{2}$ .

$- \frac{1}{2} {(1 + \ln^{2} (x))}^{- \frac{1}{2} - 1 \cdot \frac{2}{2}} \frac{d}{d x} [1 + \ln^{2} (x)]$

خطوة 4

اجمع $- 1$ و $\frac{2}{2}$ .

$- \frac{1}{2} {(1 + \ln^{2} (x))}^{- \frac{1}{2} + \frac{- 1 \cdot 2}{2}} \frac{d}{d x} [1 + \ln^{2} (x)]$

خطوة 5

اجمع البسوط على القاسم المشترك.

$- \frac{1}{2} {(1 + \ln^{2} (x))}^{\frac{- 1 - 1 \cdot 2}{2}} \frac{d}{d x} [1 + \ln^{2} (x)]$

خطوة 6

بسّط بَسْط الكسر.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 6.1

اضرب $- 1$ في $2$ .

$- \frac{1}{2} {(1 + \ln^{2} (x))}^{\frac{- 1 - 2}{2}} \frac{d}{d x} [1 + \ln^{2} (x)]$

خطوة 6.2

اطرح $2$ من $- 1$ .

$- \frac{1}{2} {(1 + \ln^{2} (x))}^{\frac{- 3}{2}} \frac{d}{d x} [1 + \ln^{2} (x)]$

خطوة 7

أوجِد المشتقة.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 7.1

انقُل السالب أمام الكسر.

$- \frac{1}{2} {(1 + \ln^{2} (x))}^{- \frac{3}{2}} \frac{d}{d x} [1 + \ln^{2} (x)]$

خطوة 7.2

اجمع الكسور.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 7.2.1

اجمع ${(1 + \ln^{2} (x))}^{- \frac{3}{2}}$ و $\frac{1}{2}$ .

$- \frac{{(1 + \ln^{2} (x))}^{- \frac{3}{2}}}{2} \frac{d}{d x} [1 + \ln^{2} (x)]$

خطوة 7.2.2

انقُل ${(1 + \ln^{2} (x))}^{- \frac{3}{2}}$ إلى القاسم باستخدام قاعدة الأُسس السالبة $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$- \frac{1}{2 {(1 + \ln^{2} (x))}^{\frac{3}{2}}} \frac{d}{d x} [1 + \ln^{2} (x)]$

خطوة 7.3

وفقًا لقاعدة الجمع، فإن مشتق $1 + \ln^{2} (x)$ بالنسبة إلى $x$ هو $\frac{d}{d x} [1] + \frac{d}{d x} [\ln^{2} (x)]$ .

$- \frac{1}{2 {(1 + \ln^{2} (x))}^{\frac{3}{2}}} (\frac{d}{d x} [1] + \frac{d}{d x} [\ln^{2} (x)])$

خطوة 7.4

بما أن $1$ عدد ثابت بالنسبة إلى $x$ ، فإن مشتق $1$ بالنسبة إلى $x$ هو $0$ .

$- \frac{1}{2 {(1 + \ln^{2} (x))}^{\frac{3}{2}}} (0 + \frac{d}{d x} [\ln^{2} (x)])$

خطوة 7.5

أضف $0$ و $\frac{d}{d x} [\ln^{2} (x)]$ .

$- \frac{1}{2 {(1 + \ln^{2} (x))}^{\frac{3}{2}}} \frac{d}{d x} [\ln^{2} (x)]$

خطوة 8

أوجِد المشتقة باستخدام قاعدة السلسلة، والتي تنص على أن $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ هو $f' (g (x)) g' (x)$ حيث $f (x) = x^{2}$ و $g (x) = \ln (x)$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 8.1

لتطبيق قاعدة السلسلة، عيّن قيمة $u_{2}$ لتصبح $\ln (x)$ .

$- \frac{1}{2 {(1 + \ln^{2} (x))}^{\frac{3}{2}}} (\frac{d}{d u_{2}} [{u_{2}}^{2}] \frac{d}{d x} [\ln (x)])$

خطوة 8.2

أوجِد المشتقة باستخدام قاعدة القوة التي تنص على أن $\frac{d}{d u_{2}} [{u_{2}}^{n}]$ هو $n {u_{2}}^{n - 1}$ حيث $n = 2$ .

$- \frac{1}{2 {(1 + \ln^{2} (x))}^{\frac{3}{2}}} (2 u_{2} \frac{d}{d x} [\ln (x)])$

خطوة 8.3

استبدِل كافة حالات حدوث $u_{2}$ بـ $\ln (x)$ .

$- \frac{1}{2 {(1 + \ln^{2} (x))}^{\frac{3}{2}}} (2 \ln (x) \frac{d}{d x} [\ln (x)])$

خطوة 9

بسّط الحدود.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 9.1

اضرب $2$ في $- 1$ .

$- 2 \frac{1}{2 {(1 + \ln^{2} (x))}^{\frac{3}{2}}} (\ln (x) \frac{d}{d x} [\ln (x)])$

خطوة 9.2

اجمع $- 2$ و $\frac{1}{2 {(1 + \ln^{2} (x))}^{\frac{3}{2}}}$ .

$\frac{- 2}{2 {(1 + \ln^{2} (x))}^{\frac{3}{2}}} (\ln (x) \frac{d}{d x} [\ln (x)])$

خطوة 9.3

اجمع $\ln (x)$ و $\frac{- 2}{2 {(1 + \ln^{2} (x))}^{\frac{3}{2}}}$ .

$\frac{\ln (x) \cdot - 2}{2 {(1 + \ln^{2} (x))}^{\frac{3}{2}}} \frac{d}{d x} [\ln (x)]$

خطوة 9.4

انقُل $- 2$ إلى يسار $\ln (x)$ .

$\frac{- 2 \cdot \ln (x)}{2 {(1 + \ln^{2} (x))}^{\frac{3}{2}}} \frac{d}{d x} [\ln (x)]$

خطوة 9.5

أخرِج العامل $2$ من $- 2 \ln (x)$ .

$\frac{2 (- \ln (x))}{2 {(1 + \ln^{2} (x))}^{\frac{3}{2}}} \frac{d}{d x} [\ln (x)]$

خطوة 10

ألغِ العوامل المشتركة.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 10.1

أخرِج العامل $2$ من $2 {(1 + \ln^{2} (x))}^{\frac{3}{2}}$ .

$\frac{2 (- \ln (x))}{2 ({(1 + \ln^{2} (x))}^{\frac{3}{2}})} \frac{d}{d x} [\ln (x)]$

خطوة 10.2

ألغِ العامل المشترك.

$\frac{2 (- \ln (x))}{2 {(1 + \ln^{2} (x))}^{\frac{3}{2}}} \frac{d}{d x} [\ln (x)]$

خطوة 10.3

أعِد كتابة العبارة.

$\frac{- \ln (x)}{{(1 + \ln^{2} (x))}^{\frac{3}{2}}} \frac{d}{d x} [\ln (x)]$

خطوة 11

انقُل السالب أمام الكسر.

$- \frac{\ln (x)}{{(1 + \ln^{2} (x))}^{\frac{3}{2}}} \frac{d}{d x} [\ln (x)]$

خطوة 12

مشتق $\ln (x)$ بالنسبة إلى $x$ يساوي $\frac{1}{x}$ .

$- \frac{\ln (x)}{{(1 + \ln^{2} (x))}^{\frac{3}{2}}} \cdot \frac{1}{x}$

خطوة 13

اضرب $\frac{1}{x}$ في $\frac{\ln (x)}{{(1 + \ln^{2} (x))}^{\frac{3}{2}}}$ .

$- \frac{\ln (x)}{x {(1 + \ln^{2} (x))}^{\frac{3}{2}}}$