حساب التفاضل والتكامل الأمثلة

$f (x) = x \ln (1 + x^{2})$

خطوة 1

أوجِد المشتقة باستخدام قاعدة الضرب التي تنص على أن $\frac{d}{d x} [f (x) g (x)]$ هو $f (x) \frac{d}{d x} [g (x)] + g (x) \frac{d}{d x} [f (x)]$ حيث $f (x) = x$ و $g (x) = \ln (1 + x^{2})$ .

$x \frac{d}{d x} [\ln (1 + x^{2})] + \ln (1 + x^{2}) \frac{d}{d x} [x]$

خطوة 2

أوجِد المشتقة باستخدام قاعدة السلسلة، والتي تنص على أن $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ هو $f' (g (x)) g' (x)$ حيث $f (x) = \ln (x)$ و $g (x) = 1 + x^{2}$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 2.1

لتطبيق قاعدة السلسلة، عيّن قيمة $u$ لتصبح $1 + x^{2}$ .

$x (\frac{d}{d u} [\ln (u)] \frac{d}{d x} [1 + x^{2}]) + \ln (1 + x^{2}) \frac{d}{d x} [x]$

خطوة 2.2

مشتق $\ln (u)$ بالنسبة إلى $u$ يساوي $\frac{1}{u}$ .

$x (\frac{1}{u} \frac{d}{d x} [1 + x^{2}]) + \ln (1 + x^{2}) \frac{d}{d x} [x]$

خطوة 2.3

استبدِل كافة حالات حدوث $u$ بـ $1 + x^{2}$ .

$x (\frac{1}{1 + x^{2}} \frac{d}{d x} [1 + x^{2}]) + \ln (1 + x^{2}) \frac{d}{d x} [x]$

خطوة 3

أوجِد المشتقة.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 3.1

اجمع $\frac{1}{1 + x^{2}}$ و $x$ .

$\frac{x}{1 + x^{2}} \frac{d}{d x} [1 + x^{2}] + \ln (1 + x^{2}) \frac{d}{d x} [x]$

خطوة 3.2

وفقًا لقاعدة الجمع، فإن مشتق $1 + x^{2}$ بالنسبة إلى $x$ هو $\frac{d}{d x} [1] + \frac{d}{d x} [x^{2}]$ .

$\frac{x}{1 + x^{2}} (\frac{d}{d x} [1] + \frac{d}{d x} [x^{2}]) + \ln (1 + x^{2}) \frac{d}{d x} [x]$

خطوة 3.3

بما أن $1$ عدد ثابت بالنسبة إلى $x$ ، فإن مشتق $1$ بالنسبة إلى $x$ هو $0$ .

$\frac{x}{1 + x^{2}} (0 + \frac{d}{d x} [x^{2}]) + \ln (1 + x^{2}) \frac{d}{d x} [x]$

خطوة 3.4

أضف $0$ و $\frac{d}{d x} [x^{2}]$ .

$\frac{x}{1 + x^{2}} \frac{d}{d x} [x^{2}] + \ln (1 + x^{2}) \frac{d}{d x} [x]$

خطوة 3.5

أوجِد المشتقة باستخدام قاعدة القوة التي تنص على أن $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ هو $n x^{n - 1}$ حيث $n = 2$ .

$\frac{x}{1 + x^{2}} (2 x) + \ln (1 + x^{2}) \frac{d}{d x} [x]$

خطوة 3.6

اجمع الكسور.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 3.6.1

اجمع $2$ و $\frac{x}{1 + x^{2}}$ .

$\frac{2 x}{1 + x^{2}} x + \ln (1 + x^{2}) \frac{d}{d x} [x]$

خطوة 3.6.2

اجمع $\frac{2 x}{1 + x^{2}}$ و $x$ .

$\frac{2 x \cdot x}{1 + x^{2}} + \ln (1 + x^{2}) \frac{d}{d x} [x]$

خطوة 4

ارفع $x$ إلى القوة $1$ .

$\frac{2 (x^{1} x)}{1 + x^{2}} + \ln (1 + x^{2}) \frac{d}{d x} [x]$

خطوة 5

ارفع $x$ إلى القوة $1$ .

$\frac{2 (x^{1} x^{1})}{1 + x^{2}} + \ln (1 + x^{2}) \frac{d}{d x} [x]$

خطوة 6

استخدِم قاعدة القوة $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ لتجميع الأُسس.

$\frac{2 x^{1 + 1}}{1 + x^{2}} + \ln (1 + x^{2}) \frac{d}{d x} [x]$

خطوة 7

أضف $1$ و $1$ .

$\frac{2 x^{2}}{1 + x^{2}} + \ln (1 + x^{2}) \frac{d}{d x} [x]$

خطوة 8

أوجِد المشتقة باستخدام قاعدة القوة التي تنص على أن $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ هو $n x^{n - 1}$ حيث $n = 1$ .

$\frac{2 x^{2}}{1 + x^{2}} + \ln (1 + x^{2}) \cdot 1$

خطوة 9

اضرب $\ln (1 + x^{2})$ في $1$ .

$\frac{2 x^{2}}{1 + x^{2}} + \ln (1 + x^{2})$

خطوة 10

لكتابة $\ln (1 + x^{2})$ على هيئة كسر بقاسم مشترك، اضرب في $\frac{1 + x^{2}}{1 + x^{2}}$ .

$\frac{2 x^{2}}{1 + x^{2}} + \frac{\ln (1 + x^{2}) (1 + x^{2})}{1 + x^{2}}$

خطوة 11

اجمع البسوط على القاسم المشترك.

$\frac{2 x^{2} + \ln (1 + x^{2}) (1 + x^{2})}{1 + x^{2}}$

خطوة 12

بسّط.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 12.1

بسّط بَسْط الكسر.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 12.1.1

بسّط كل حد.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 12.1.1.1

طبّق خاصية التوزيع.

$\frac{2 x^{2} + \ln (1 + x^{2}) \cdot 1 + \ln (1 + x^{2}) x^{2}}{1 + x^{2}}$

خطوة 12.1.1.2

اضرب $\ln (1 + x^{2})$ في $1$ .

$\frac{2 x^{2} + \ln (1 + x^{2}) + \ln (1 + x^{2}) x^{2}}{1 + x^{2}}$

خطوة 12.1.2

أعِد ترتيب العوامل في $2 x^{2} + \ln (1 + x^{2}) + \ln (1 + x^{2}) x^{2}$ .

$\frac{2 x^{2} + \ln (1 + x^{2}) + x^{2} \ln (1 + x^{2})}{1 + x^{2}}$

خطوة 12.2

أعِد ترتيب الحدود.

$\frac{2 x^{2} + x^{2} \ln (1 + x^{2}) + \ln (1 + x^{2})}{x^{2} + 1}$