حساب التفاضل والتكامل الأمثلة

$f (x) = \sin (3 x) \cos (3 x)$

خطوة 1

أوجِد المشتقة باستخدام قاعدة الضرب التي تنص على أن $\frac{d}{d x} [f (x) g (x)]$ هو $f (x) \frac{d}{d x} [g (x)] + g (x) \frac{d}{d x} [f (x)]$ حيث $f (x) = \sin (3 x)$ و $g (x) = \cos (3 x)$ .

$\sin (3 x) \frac{d}{d x} [\cos (3 x)] + \cos (3 x) \frac{d}{d x} [\sin (3 x)]$

خطوة 2

أوجِد المشتقة باستخدام قاعدة السلسلة، والتي تنص على أن $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ هو $f' (g (x)) g' (x)$ حيث $f (x) = \cos (x)$ و $g (x) = 3 x$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 2.1

لتطبيق قاعدة السلسلة، عيّن قيمة $u_{1}$ لتصبح $3 x$ .

$\sin (3 x) (\frac{d}{d u_{1}} [\cos (u_{1})] \frac{d}{d x} [3 x]) + \cos (3 x) \frac{d}{d x} [\sin (3 x)]$

خطوة 2.2

مشتق $\cos (u_{1})$ بالنسبة إلى $u_{1}$ يساوي $- \sin (u_{1})$ .

$\sin (3 x) (- \sin (u_{1}) \frac{d}{d x} [3 x]) + \cos (3 x) \frac{d}{d x} [\sin (3 x)]$

خطوة 2.3

استبدِل كافة حالات حدوث $u_{1}$ بـ $3 x$ .

$\sin (3 x) (- \sin (3 x) \frac{d}{d x} [3 x]) + \cos (3 x) \frac{d}{d x} [\sin (3 x)]$

خطوة 3

ارفع $\sin (3 x)$ إلى القوة $1$ .

$- (\sin^{1} (3 x) \sin (3 x)) \frac{d}{d x} [3 x] + \cos (3 x) \frac{d}{d x} [\sin (3 x)]$

خطوة 4

ارفع $\sin (3 x)$ إلى القوة $1$ .

$- (\sin^{1} (3 x) \sin^{1} (3 x)) \frac{d}{d x} [3 x] + \cos (3 x) \frac{d}{d x} [\sin (3 x)]$

خطوة 5

استخدِم قاعدة القوة $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ لتجميع الأُسس.

$- {\sin (3 x)}^{1 + 1} \frac{d}{d x} [3 x] + \cos (3 x) \frac{d}{d x} [\sin (3 x)]$

خطوة 6

أوجِد المشتقة.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 6.1

أضف $1$ و $1$ .

$- \sin^{2} (3 x) \frac{d}{d x} [3 x] + \cos (3 x) \frac{d}{d x} [\sin (3 x)]$

خطوة 6.2

بما أن $3$ عدد ثابت بالنسبة إلى $x$ ، إذن مشتق $3 x$ بالنسبة إلى $x$ يساوي $3 \frac{d}{d x} [x]$ .

$- \sin^{2} (3 x) (3 \frac{d}{d x} [x]) + \cos (3 x) \frac{d}{d x} [\sin (3 x)]$

خطوة 6.3

اضرب $3$ في $- 1$ .

$- 3 \sin^{2} (3 x) \frac{d}{d x} [x] + \cos (3 x) \frac{d}{d x} [\sin (3 x)]$

خطوة 6.4

أوجِد المشتقة باستخدام قاعدة القوة التي تنص على أن $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ هو $n x^{n - 1}$ حيث $n = 1$ .

$- 3 \sin^{2} (3 x) \cdot 1 + \cos (3 x) \frac{d}{d x} [\sin (3 x)]$

خطوة 6.5

اضرب $- 3$ في $1$ .

$- 3 \sin^{2} (3 x) + \cos (3 x) \frac{d}{d x} [\sin (3 x)]$

خطوة 7

أوجِد المشتقة باستخدام قاعدة السلسلة، والتي تنص على أن $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ هو $f' (g (x)) g' (x)$ حيث $f (x) = \sin (x)$ و $g (x) = 3 x$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 7.1

لتطبيق قاعدة السلسلة، عيّن قيمة $u_{2}$ لتصبح $3 x$ .

$- 3 \sin^{2} (3 x) + \cos (3 x) (\frac{d}{d u_{2}} [\sin (u_{2})] \frac{d}{d x} [3 x])$

خطوة 7.2

مشتق $\sin (u_{2})$ بالنسبة إلى $u_{2}$ يساوي $\cos (u_{2})$ .

$- 3 \sin^{2} (3 x) + \cos (3 x) (\cos (u_{2}) \frac{d}{d x} [3 x])$

خطوة 7.3

استبدِل كافة حالات حدوث $u_{2}$ بـ $3 x$ .

$- 3 \sin^{2} (3 x) + \cos (3 x) (\cos (3 x) \frac{d}{d x} [3 x])$

خطوة 8

ارفع $\cos (3 x)$ إلى القوة $1$ .

$- 3 \sin^{2} (3 x) + \cos^{1} (3 x) \cos (3 x) \frac{d}{d x} [3 x]$

خطوة 9

ارفع $\cos (3 x)$ إلى القوة $1$ .

$- 3 \sin^{2} (3 x) + \cos^{1} (3 x) \cos^{1} (3 x) \frac{d}{d x} [3 x]$

خطوة 10

استخدِم قاعدة القوة $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ لتجميع الأُسس.

$- 3 \sin^{2} (3 x) + {\cos (3 x)}^{1 + 1} \frac{d}{d x} [3 x]$

خطوة 11

أضف $1$ و $1$ .

$- 3 \sin^{2} (3 x) + \cos^{2} (3 x) \frac{d}{d x} [3 x]$

خطوة 12

بما أن $3$ عدد ثابت بالنسبة إلى $x$ ، إذن مشتق $3 x$ بالنسبة إلى $x$ يساوي $3 \frac{d}{d x} [x]$ .

$- 3 \sin^{2} (3 x) + \cos^{2} (3 x) (3 \frac{d}{d x} [x])$

خطوة 13

أوجِد المشتقة باستخدام قاعدة القوة التي تنص على أن $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ هو $n x^{n - 1}$ حيث $n = 1$ .

$- 3 \sin^{2} (3 x) + \cos^{2} (3 x) (3 \cdot 1)$

خطوة 14

بسّط العبارة.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 14.1

اضرب $3$ في $1$ .

$- 3 \sin^{2} (3 x) + \cos^{2} (3 x) \cdot 3$

خطوة 14.2

انقُل $3$ إلى يسار $\cos^{2} (3 x)$ .

$- 3 \sin^{2} (3 x) + 3 \cos^{2} (3 x)$