حساب التفاضل والتكامل الأمثلة

$x \ln (2 x + 1)$

خطوة 1

أوجِد المشتقة باستخدام قاعدة الضرب التي تنص على أن $\frac{d}{d x} [f (x) g (x)]$ هو $f (x) \frac{d}{d x} [g (x)] + g (x) \frac{d}{d x} [f (x)]$ حيث $f (x) = x$ و $g (x) = \ln (2 x + 1)$ .

$x \frac{d}{d x} [\ln (2 x + 1)] + \ln (2 x + 1) \frac{d}{d x} [x]$

خطوة 2

أوجِد المشتقة باستخدام قاعدة السلسلة، والتي تنص على أن $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ هو $f' (g (x)) g' (x)$ حيث $f (x) = \ln (x)$ و $g (x) = 2 x + 1$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 2.1

لتطبيق قاعدة السلسلة، عيّن قيمة $u$ لتصبح $2 x + 1$ .

$x (\frac{d}{d u} [\ln (u)] \frac{d}{d x} [2 x + 1]) + \ln (2 x + 1) \frac{d}{d x} [x]$

خطوة 2.2

مشتق $\ln (u)$ بالنسبة إلى $u$ يساوي $\frac{1}{u}$ .

$x (\frac{1}{u} \frac{d}{d x} [2 x + 1]) + \ln (2 x + 1) \frac{d}{d x} [x]$

خطوة 2.3

استبدِل كافة حالات حدوث $u$ بـ $2 x + 1$ .

$x (\frac{1}{2 x + 1} \frac{d}{d x} [2 x + 1]) + \ln (2 x + 1) \frac{d}{d x} [x]$

خطوة 3

أوجِد المشتقة.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 3.1

اجمع $\frac{1}{2 x + 1}$ و $x$ .

$\frac{x}{2 x + 1} \frac{d}{d x} [2 x + 1] + \ln (2 x + 1) \frac{d}{d x} [x]$

خطوة 3.2

وفقًا لقاعدة الجمع، فإن مشتق $2 x + 1$ بالنسبة إلى $x$ هو $\frac{d}{d x} [2 x] + \frac{d}{d x} [1]$ .

$\frac{x}{2 x + 1} (\frac{d}{d x} [2 x] + \frac{d}{d x} [1]) + \ln (2 x + 1) \frac{d}{d x} [x]$

خطوة 3.3

بما أن $2$ عدد ثابت بالنسبة إلى $x$ ، إذن مشتق $2 x$ بالنسبة إلى $x$ يساوي $2 \frac{d}{d x} [x]$ .

$\frac{x}{2 x + 1} (2 \frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [1]) + \ln (2 x + 1) \frac{d}{d x} [x]$

خطوة 3.4

أوجِد المشتقة باستخدام قاعدة القوة التي تنص على أن $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ هو $n x^{n - 1}$ حيث $n = 1$ .

$\frac{x}{2 x + 1} (2 \cdot 1 + \frac{d}{d x} [1]) + \ln (2 x + 1) \frac{d}{d x} [x]$

خطوة 3.5

اضرب $2$ في $1$ .

$\frac{x}{2 x + 1} (2 + \frac{d}{d x} [1]) + \ln (2 x + 1) \frac{d}{d x} [x]$

خطوة 3.6

بما أن $1$ عدد ثابت بالنسبة إلى $x$ ، فإن مشتق $1$ بالنسبة إلى $x$ هو $0$ .

$\frac{x}{2 x + 1} (2 + 0) + \ln (2 x + 1) \frac{d}{d x} [x]$

خطوة 3.7

اجمع الكسور.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 3.7.1

أضف $2$ و $0$ .

$\frac{x}{2 x + 1} \cdot 2 + \ln (2 x + 1) \frac{d}{d x} [x]$

خطوة 3.7.2

اجمع $\frac{x}{2 x + 1}$ و $2$ .

$\frac{x \cdot 2}{2 x + 1} + \ln (2 x + 1) \frac{d}{d x} [x]$

خطوة 3.7.3

انقُل $2$ إلى يسار $x$ .

$\frac{2 \cdot x}{2 x + 1} + \ln (2 x + 1) \frac{d}{d x} [x]$

خطوة 3.8

أوجِد المشتقة باستخدام قاعدة القوة التي تنص على أن $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ هو $n x^{n - 1}$ حيث $n = 1$ .

$\frac{2 x}{2 x + 1} + \ln (2 x + 1) \cdot 1$

خطوة 3.9

اضرب $\ln (2 x + 1)$ في $1$ .

$\frac{2 x}{2 x + 1} + \ln (2 x + 1)$

خطوة 4

لكتابة $\ln (2 x + 1)$ على هيئة كسر بقاسم مشترك، اضرب في $\frac{2 x + 1}{2 x + 1}$ .

$\frac{2 x}{2 x + 1} + \frac{\ln (2 x + 1) (2 x + 1)}{2 x + 1}$

خطوة 5

اجمع البسوط على القاسم المشترك.

$\frac{2 x + \ln (2 x + 1) (2 x + 1)}{2 x + 1}$

خطوة 6

بسّط.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 6.1

بسّط بَسْط الكسر.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 6.1.1

بسّط كل حد.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 6.1.1.1

طبّق خاصية التوزيع.

$\frac{2 x + \ln (2 x + 1) (2 x) + \ln (2 x + 1) \cdot 1}{2 x + 1}$

خطوة 6.1.1.2

أعِد الكتابة باستخدام خاصية الإبدال لعملية الضرب.

$\frac{2 x + 2 \ln (2 x + 1) x + \ln (2 x + 1) \cdot 1}{2 x + 1}$

خطوة 6.1.1.3

اضرب $\ln (2 x + 1)$ في $1$ .

$\frac{2 x + 2 \ln (2 x + 1) x + \ln (2 x + 1)}{2 x + 1}$

خطوة 6.1.1.4

بسّط $2 \ln (2 x + 1)$ بنقل $2$ داخل اللوغاريتم.

$\frac{2 x + \ln ({(2 x + 1)}^{2}) x + \ln (2 x + 1)}{2 x + 1}$

خطوة 6.1.2

أعِد ترتيب العوامل في $2 x + \ln ({(2 x + 1)}^{2}) x + \ln (2 x + 1)$ .

$\frac{2 x + x \ln ({(2 x + 1)}^{2}) + \ln (2 x + 1)}{2 x + 1}$

خطوة 6.2

أعِد ترتيب الحدود.

$\frac{x \ln ({(2 x + 1)}^{2}) + 2 x + \ln (2 x + 1)}{2 x + 1}$