حساب التفاضل والتكامل الأمثلة

$y = (x^{2} + \sin (x)) \sec (x)$

خطوة 1

أوجِد المشتقة باستخدام قاعدة الضرب التي تنص على أن $\frac{d}{d x} [f (x) g (x)]$ هو $f (x) \frac{d}{d x} [g (x)] + g (x) \frac{d}{d x} [f (x)]$ حيث $f (x) = x^{2} + \sin (x)$ و $g (x) = \sec (x)$ .

$(x^{2} + \sin (x)) \frac{d}{d x} [\sec (x)] + \sec (x) \frac{d}{d x} [x^{2} + \sin (x)]$

خطوة 2

مشتق $\sec (x)$ بالنسبة إلى $x$ يساوي $\sec (x) \tan (x)$ .

$(x^{2} + \sin (x)) (\sec (x) \tan (x)) + \sec (x) \frac{d}{d x} [x^{2} + \sin (x)]$

خطوة 3

أوجِد المشتقة.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 3.1

وفقًا لقاعدة الجمع، فإن مشتق $x^{2} + \sin (x)$ بالنسبة إلى $x$ هو $\frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [\sin (x)]$ .

$(x^{2} + \sin (x)) \sec (x) \tan (x) + \sec (x) (\frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [\sin (x)])$

خطوة 3.2

أوجِد المشتقة باستخدام قاعدة القوة التي تنص على أن $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ هو $n x^{n - 1}$ حيث $n = 2$ .

$(x^{2} + \sin (x)) \sec (x) \tan (x) + \sec (x) (2 x + \frac{d}{d x} [\sin (x)])$

خطوة 4

مشتق $\sin (x)$ بالنسبة إلى $x$ يساوي $\cos (x)$ .

$(x^{2} + \sin (x)) \sec (x) \tan (x) + \sec (x) (2 x + \cos (x))$

خطوة 5

بسّط.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 5.1

طبّق خاصية التوزيع.

$(x^{2} \sec (x) + \sin (x) \sec (x)) \tan (x) + \sec (x) (2 x + \cos (x))$

خطوة 5.2

طبّق خاصية التوزيع.

$x^{2} \sec (x) \tan (x) + \sin (x) \sec (x) \tan (x) + \sec (x) (2 x + \cos (x))$

خطوة 5.3

طبّق خاصية التوزيع.

$x^{2} \sec (x) \tan (x) + \sin (x) \sec (x) \tan (x) + \sec (x) (2 x) + \sec (x) \cos (x)$

خطوة 5.4

أعِد ترتيب الحدود.

$x^{2} \sec (x) \tan (x) + \sec (x) \sin (x) \tan (x) + 2 x \sec (x) + \cos (x) \sec (x)$

خطوة 5.5

بسّط كل حد.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 5.5.1

أعِد كتابة $\sec (x)$ من حيث الجيوب وجيوب التمام.

$x^{2} \frac{1}{\cos (x)} \tan (x) + \sec (x) \sin (x) \tan (x) + 2 x \sec (x) + \cos (x) \sec (x)$

خطوة 5.5.2

اجمع $x^{2}$ و $\frac{1}{\cos (x)}$ .

$\frac{x^{2}}{\cos (x)} \tan (x) + \sec (x) \sin (x) \tan (x) + 2 x \sec (x) + \cos (x) \sec (x)$

خطوة 5.5.3

أعِد كتابة $\tan (x)$ من حيث الجيوب وجيوب التمام.

$\frac{x^{2}}{\cos (x)} \cdot \frac{\sin (x)}{\cos (x)} + \sec (x) \sin (x) \tan (x) + 2 x \sec (x) + \cos (x) \sec (x)$

خطوة 5.5.4

اجمع.

$\frac{x^{2} \sin (x)}{\cos (x) \cos (x)} + \sec (x) \sin (x) \tan (x) + 2 x \sec (x) + \cos (x) \sec (x)$

خطوة 5.5.5

بسّط القاسم.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 5.5.5.1

ارفع $\cos (x)$ إلى القوة $1$ .

$\frac{x^{2} \sin (x)}{\cos^{1} (x) \cos (x)} + \sec (x) \sin (x) \tan (x) + 2 x \sec (x) + \cos (x) \sec (x)$

خطوة 5.5.5.2

ارفع $\cos (x)$ إلى القوة $1$ .

$\frac{x^{2} \sin (x)}{\cos^{1} (x) \cos^{1} (x)} + \sec (x) \sin (x) \tan (x) + 2 x \sec (x) + \cos (x) \sec (x)$

خطوة 5.5.5.3

استخدِم قاعدة القوة $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ لتجميع الأُسس.

$\frac{x^{2} \sin (x)}{{\cos (x)}^{1 + 1}} + \sec (x) \sin (x) \tan (x) + 2 x \sec (x) + \cos (x) \sec (x)$

خطوة 5.5.5.4

أضف $1$ و $1$ .

$\frac{x^{2} \sin (x)}{\cos^{2} (x)} + \sec (x) \sin (x) \tan (x) + 2 x \sec (x) + \cos (x) \sec (x)$

خطوة 5.5.6

أعِد كتابة $\sec (x)$ من حيث الجيوب وجيوب التمام.

$\frac{x^{2} \sin (x)}{\cos^{2} (x)} + \frac{1}{\cos (x)} \sin (x) \tan (x) + 2 x \sec (x) + \cos (x) \sec (x)$

خطوة 5.5.7

اجمع $\frac{1}{\cos (x)}$ و $\sin (x)$ .

$\frac{x^{2} \sin (x)}{\cos^{2} (x)} + \frac{\sin (x)}{\cos (x)} \tan (x) + 2 x \sec (x) + \cos (x) \sec (x)$

خطوة 5.5.8

أعِد كتابة $\tan (x)$ من حيث الجيوب وجيوب التمام.

$\frac{x^{2} \sin (x)}{\cos^{2} (x)} + \frac{\sin (x)}{\cos (x)} \cdot \frac{\sin (x)}{\cos (x)} + 2 x \sec (x) + \cos (x) \sec (x)$

خطوة 5.5.9

اضرب $\frac{\sin (x)}{\cos (x)} \cdot \frac{\sin (x)}{\cos (x)}$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 5.5.9.1

اضرب $\frac{\sin (x)}{\cos (x)}$ في $\frac{\sin (x)}{\cos (x)}$ .

$\frac{x^{2} \sin (x)}{\cos^{2} (x)} + \frac{\sin (x) \sin (x)}{\cos (x) \cos (x)} + 2 x \sec (x) + \cos (x) \sec (x)$

خطوة 5.5.9.2

ارفع $\sin (x)$ إلى القوة $1$ .

$\frac{x^{2} \sin (x)}{\cos^{2} (x)} + \frac{\sin^{1} (x) \sin (x)}{\cos (x) \cos (x)} + 2 x \sec (x) + \cos (x) \sec (x)$

خطوة 5.5.9.3

ارفع $\sin (x)$ إلى القوة $1$ .

$\frac{x^{2} \sin (x)}{\cos^{2} (x)} + \frac{\sin^{1} (x) \sin^{1} (x)}{\cos (x) \cos (x)} + 2 x \sec (x) + \cos (x) \sec (x)$

خطوة 5.5.9.4

استخدِم قاعدة القوة $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ لتجميع الأُسس.

$\frac{x^{2} \sin (x)}{\cos^{2} (x)} + \frac{{\sin (x)}^{1 + 1}}{\cos (x) \cos (x)} + 2 x \sec (x) + \cos (x) \sec (x)$

خطوة 5.5.9.5

أضف $1$ و $1$ .

$\frac{x^{2} \sin (x)}{\cos^{2} (x)} + \frac{\sin^{2} (x)}{\cos (x) \cos (x)} + 2 x \sec (x) + \cos (x) \sec (x)$

خطوة 5.5.9.6

ارفع $\cos (x)$ إلى القوة $1$ .

$\frac{x^{2} \sin (x)}{\cos^{2} (x)} + \frac{\sin^{2} (x)}{\cos^{1} (x) \cos (x)} + 2 x \sec (x) + \cos (x) \sec (x)$

خطوة 5.5.9.7

ارفع $\cos (x)$ إلى القوة $1$ .

$\frac{x^{2} \sin (x)}{\cos^{2} (x)} + \frac{\sin^{2} (x)}{\cos^{1} (x) \cos^{1} (x)} + 2 x \sec (x) + \cos (x) \sec (x)$

خطوة 5.5.9.8

استخدِم قاعدة القوة $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ لتجميع الأُسس.

$\frac{x^{2} \sin (x)}{\cos^{2} (x)} + \frac{\sin^{2} (x)}{{\cos (x)}^{1 + 1}} + 2 x \sec (x) + \cos (x) \sec (x)$

خطوة 5.5.9.9

أضف $1$ و $1$ .

$\frac{x^{2} \sin (x)}{\cos^{2} (x)} + \frac{\sin^{2} (x)}{\cos^{2} (x)} + 2 x \sec (x) + \cos (x) \sec (x)$

خطوة 5.5.10

أعِد كتابة $\sec (x)$ من حيث الجيوب وجيوب التمام.

$\frac{x^{2} \sin (x)}{\cos^{2} (x)} + \frac{\sin^{2} (x)}{\cos^{2} (x)} + 2 x \frac{1}{\cos (x)} + \cos (x) \sec (x)$

خطوة 5.5.11

اضرب $2 x \frac{1}{\cos (x)}$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 5.5.11.1

اجمع $2$ و $\frac{1}{\cos (x)}$ .

$\frac{x^{2} \sin (x)}{\cos^{2} (x)} + \frac{\sin^{2} (x)}{\cos^{2} (x)} + x \frac{2}{\cos (x)} + \cos (x) \sec (x)$

خطوة 5.5.11.2

اجمع $x$ و $\frac{2}{\cos (x)}$ .

$\frac{x^{2} \sin (x)}{\cos^{2} (x)} + \frac{\sin^{2} (x)}{\cos^{2} (x)} + \frac{x \cdot 2}{\cos (x)} + \cos (x) \sec (x)$

خطوة 5.5.12

انقُل $2$ إلى يسار $x$ .

$\frac{x^{2} \sin (x)}{\cos^{2} (x)} + \frac{\sin^{2} (x)}{\cos^{2} (x)} + \frac{2 \cdot x}{\cos (x)} + \cos (x) \sec (x)$

خطوة 5.5.13

أعِد الكتابة من حيث الجيوب وجيوب التمام، ثم احذف العوامل المشتركة.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 5.5.13.1

أعِد ترتيب $\cos (x)$ و $\sec (x)$ .

$\frac{x^{2} \sin (x)}{\cos^{2} (x)} + \frac{\sin^{2} (x)}{\cos^{2} (x)} + \frac{2 x}{\cos (x)} + \sec (x) \cos (x)$

خطوة 5.5.13.2

أعِد كتابة $\cos (x) \sec (x)$ من حيث الجيوب وجيوب التمام.

$\frac{x^{2} \sin (x)}{\cos^{2} (x)} + \frac{\sin^{2} (x)}{\cos^{2} (x)} + \frac{2 x}{\cos (x)} + \frac{1}{\cos (x)} \cos (x)$

خطوة 5.5.13.3

ألغِ العوامل المشتركة.

$\frac{x^{2} \sin (x)}{\cos^{2} (x)} + \frac{\sin^{2} (x)}{\cos^{2} (x)} + \frac{2 x}{\cos (x)} + 1$

خطوة 5.6

بسّط كل حد.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 5.6.1

أخرِج العامل $\cos (x)$ من $\cos^{2} (x)$ .

$\frac{x^{2} \sin (x)}{\cos (x) \cos (x)} + \frac{\sin^{2} (x)}{\cos^{2} (x)} + \frac{2 x}{\cos (x)} + 1$

خطوة 5.6.2

افصِل الكسور.

$\frac{x^{2}}{\cos (x)} \cdot \frac{\sin (x)}{\cos (x)} + \frac{\sin^{2} (x)}{\cos^{2} (x)} + \frac{2 x}{\cos (x)} + 1$

خطوة 5.6.3

حوّل من $\frac{\sin (x)}{\cos (x)}$ إلى $\tan (x)$ .

$\frac{x^{2}}{\cos (x)} \tan (x) + \frac{\sin^{2} (x)}{\cos^{2} (x)} + \frac{2 x}{\cos (x)} + 1$

خطوة 5.6.4

افصِل الكسور.

$\frac{x^{2}}{1} \cdot \frac{1}{\cos (x)} \tan (x) + \frac{\sin^{2} (x)}{\cos^{2} (x)} + \frac{2 x}{\cos (x)} + 1$

خطوة 5.6.5

حوّل من $\frac{1}{\cos (x)}$ إلى $\sec (x)$ .

$\frac{x^{2}}{1} \sec (x) \tan (x) + \frac{\sin^{2} (x)}{\cos^{2} (x)} + \frac{2 x}{\cos (x)} + 1$

خطوة 5.6.6

اقسِم $x^{2}$ على $1$ .

$x^{2} \sec (x) \tan (x) + \frac{\sin^{2} (x)}{\cos^{2} (x)} + \frac{2 x}{\cos (x)} + 1$

خطوة 5.6.7

حوّل من $\frac{\sin^{2} (x)}{\cos^{2} (x)}$ إلى $\tan^{2} (x)$ .

$x^{2} \sec (x) \tan (x) + \tan^{2} (x) + \frac{2 x}{\cos (x)} + 1$

خطوة 5.7

انقُل $1$ .

$x^{2} \sec (x) \tan (x) + \tan^{2} (x) + 1 + \frac{2 x}{\cos (x)}$

خطوة 5.8

طبّق متطابقة فيثاغورس.

$x^{2} \sec (x) \tan (x) + \sec^{2} (x) + \frac{2 x}{\cos (x)}$