حساب التفاضل والتكامل الأمثلة

$y = (x^{2} - 2 x + 2) e^{\frac{5 x}{2}}$

خطوة 1

أوجِد المشتقة باستخدام قاعدة الضرب التي تنص على أن $\frac{d}{d x} [f (x) g (x)]$ هو $f (x) \frac{d}{d x} [g (x)] + g (x) \frac{d}{d x} [f (x)]$ حيث $f (x) = x^{2} - 2 x + 2$ و $g (x) = e^{\frac{5 x}{2}}$ .

$(x^{2} - 2 x + 2) \frac{d}{d x} [e^{\frac{5 x}{2}}] + e^{\frac{5 x}{2}} \frac{d}{d x} [x^{2} - 2 x + 2]$

خطوة 2

أوجِد المشتقة باستخدام قاعدة السلسلة، والتي تنص على أن $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ هو $f' (g (x)) g' (x)$ حيث $f (x) = e^{x}$ و $g (x) = \frac{5 x}{2}$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 2.1

لتطبيق قاعدة السلسلة، عيّن قيمة $u$ لتصبح $\frac{5 x}{2}$ .

$(x^{2} - 2 x + 2) (\frac{d}{d u} [e^{u}] \frac{d}{d x} [\frac{5 x}{2}]) + e^{\frac{5 x}{2}} \frac{d}{d x} [x^{2} - 2 x + 2]$

خطوة 2.2

أوجِد المشتقة باستخدام القاعدة الأسية التي تنص على أن $\frac{d}{d u} [a^{u}]$ هو $a^{u} \ln (a)$ حيث $a$ = $e$ .

$(x^{2} - 2 x + 2) (e^{u} \frac{d}{d x} [\frac{5 x}{2}]) + e^{\frac{5 x}{2}} \frac{d}{d x} [x^{2} - 2 x + 2]$

خطوة 2.3

استبدِل كافة حالات حدوث $u$ بـ $\frac{5 x}{2}$ .

$(x^{2} - 2 x + 2) (e^{\frac{5 x}{2}} \frac{d}{d x} [\frac{5 x}{2}]) + e^{\frac{5 x}{2}} \frac{d}{d x} [x^{2} - 2 x + 2]$

خطوة 3

أوجِد المشتقة.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 3.1

بما أن $\frac{5}{2}$ عدد ثابت بالنسبة إلى $x$ ، إذن مشتق $\frac{5 x}{2}$ بالنسبة إلى $x$ يساوي $\frac{5}{2} \frac{d}{d x} [x]$ .

$(x^{2} - 2 x + 2) e^{\frac{5 x}{2}} (\frac{5}{2} \frac{d}{d x} [x]) + e^{\frac{5 x}{2}} \frac{d}{d x} [x^{2} - 2 x + 2]$

خطوة 3.2

اجمع $\frac{5}{2}$ و $e^{\frac{5 x}{2}}$ .

$(x^{2} - 2 x + 2) \frac{5 e^{\frac{5 x}{2}}}{2} \frac{d}{d x} [x] + e^{\frac{5 x}{2}} \frac{d}{d x} [x^{2} - 2 x + 2]$

خطوة 3.3

أوجِد المشتقة باستخدام قاعدة القوة التي تنص على أن $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ هو $n x^{n - 1}$ حيث $n = 1$ .

$(x^{2} - 2 x + 2) \frac{5 e^{\frac{5 x}{2}}}{2} \cdot 1 + e^{\frac{5 x}{2}} \frac{d}{d x} [x^{2} - 2 x + 2]$

خطوة 3.4

اضرب $x^{2} - 2 x + 2$ في $1$ .

$(x^{2} - 2 x + 2) \frac{5 e^{\frac{5 x}{2}}}{2} + e^{\frac{5 x}{2}} \frac{d}{d x} [x^{2} - 2 x + 2]$

خطوة 3.5

وفقًا لقاعدة الجمع، فإن مشتق $x^{2} - 2 x + 2$ بالنسبة إلى $x$ هو $\frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [- 2 x] + \frac{d}{d x} [2]$ .

$(x^{2} - 2 x + 2) \frac{5 e^{\frac{5 x}{2}}}{2} + e^{\frac{5 x}{2}} (\frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [- 2 x] + \frac{d}{d x} [2])$

خطوة 3.6

أوجِد المشتقة باستخدام قاعدة القوة التي تنص على أن $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ هو $n x^{n - 1}$ حيث $n = 2$ .

$(x^{2} - 2 x + 2) \frac{5 e^{\frac{5 x}{2}}}{2} + e^{\frac{5 x}{2}} (2 x + \frac{d}{d x} [- 2 x] + \frac{d}{d x} [2])$

خطوة 3.7

بما أن $- 2$ عدد ثابت بالنسبة إلى $x$ ، إذن مشتق $- 2 x$ بالنسبة إلى $x$ يساوي $- 2 \frac{d}{d x} [x]$ .

$(x^{2} - 2 x + 2) \frac{5 e^{\frac{5 x}{2}}}{2} + e^{\frac{5 x}{2}} (2 x - 2 \frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [2])$

خطوة 3.8

أوجِد المشتقة باستخدام قاعدة القوة التي تنص على أن $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ هو $n x^{n - 1}$ حيث $n = 1$ .

$(x^{2} - 2 x + 2) \frac{5 e^{\frac{5 x}{2}}}{2} + e^{\frac{5 x}{2}} (2 x - 2 \cdot 1 + \frac{d}{d x} [2])$

خطوة 3.9

اضرب $- 2$ في $1$ .

$(x^{2} - 2 x + 2) \frac{5 e^{\frac{5 x}{2}}}{2} + e^{\frac{5 x}{2}} (2 x - 2 + \frac{d}{d x} [2])$

خطوة 3.10

بما أن $2$ عدد ثابت بالنسبة إلى $x$ ، فإن مشتق $2$ بالنسبة إلى $x$ هو $0$ .

$(x^{2} - 2 x + 2) \frac{5 e^{\frac{5 x}{2}}}{2} + e^{\frac{5 x}{2}} (2 x - 2 + 0)$

خطوة 3.11

أضف $2 x - 2$ و $0$ .

$(x^{2} - 2 x + 2) \frac{5 e^{\frac{5 x}{2}}}{2} + e^{\frac{5 x}{2}} (2 x - 2)$

خطوة 4

بسّط.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 4.1

طبّق خاصية التوزيع.

$x^{2} \frac{5 e^{\frac{5 x}{2}}}{2} - 2 x \frac{5 e^{\frac{5 x}{2}}}{2} + 2 \frac{5 e^{\frac{5 x}{2}}}{2} + e^{\frac{5 x}{2}} (2 x - 2)$

خطوة 4.2

طبّق خاصية التوزيع.

$x^{2} \frac{5 e^{\frac{5 x}{2}}}{2} - 2 x \frac{5 e^{\frac{5 x}{2}}}{2} + 2 \frac{5 e^{\frac{5 x}{2}}}{2} + e^{\frac{5 x}{2}} (2 x) + e^{\frac{5 x}{2}} \cdot - 2$

خطوة 4.3

جمّع الحدود.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 4.3.1

اجمع $x^{2}$ و $\frac{5 e^{\frac{5 x}{2}}}{2}$ .

$\frac{x^{2} (5 e^{\frac{5 x}{2}})}{2} - 2 x \frac{5 e^{\frac{5 x}{2}}}{2} + 2 \frac{5 e^{\frac{5 x}{2}}}{2} + e^{\frac{5 x}{2}} (2 x) + e^{\frac{5 x}{2}} \cdot - 2$

خطوة 4.3.2

اجمع $- 2$ و $\frac{5 e^{\frac{5 x}{2}}}{2}$ .

$\frac{x^{2} (5 e^{\frac{5 x}{2}})}{2} + x \frac{- 2 (5 e^{\frac{5 x}{2}})}{2} + 2 \frac{5 e^{\frac{5 x}{2}}}{2} + e^{\frac{5 x}{2}} (2 x) + e^{\frac{5 x}{2}} \cdot - 2$

خطوة 4.3.3

اضرب $5$ في $- 2$ .

$\frac{x^{2} (5 e^{\frac{5 x}{2}})}{2} + x \frac{- 10 e^{\frac{5 x}{2}}}{2} + 2 \frac{5 e^{\frac{5 x}{2}}}{2} + e^{\frac{5 x}{2}} (2 x) + e^{\frac{5 x}{2}} \cdot - 2$

خطوة 4.3.4

اجمع $x$ و $\frac{- 10 e^{\frac{5 x}{2}}}{2}$ .

$\frac{x^{2} (5 e^{\frac{5 x}{2}})}{2} + \frac{x (- 10 e^{\frac{5 x}{2}})}{2} + 2 \frac{5 e^{\frac{5 x}{2}}}{2} + e^{\frac{5 x}{2}} (2 x) + e^{\frac{5 x}{2}} \cdot - 2$

خطوة 4.3.5

احذِف العامل المشترك لـ $- 10$ و $2$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 4.3.5.1

أخرِج العامل $2$ من $x (- 10 e^{\frac{5 x}{2}})$ .

$\frac{x^{2} (5 e^{\frac{5 x}{2}})}{2} + \frac{2 (x (- 5 e^{\frac{5 x}{2}}))}{2} + 2 \frac{5 e^{\frac{5 x}{2}}}{2} + e^{\frac{5 x}{2}} (2 x) + e^{\frac{5 x}{2}} \cdot - 2$

خطوة 4.3.5.2

ألغِ العوامل المشتركة.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 4.3.5.2.1

أخرِج العامل $2$ من $2$ .

$\frac{x^{2} (5 e^{\frac{5 x}{2}})}{2} + \frac{2 (x (- 5 e^{\frac{5 x}{2}}))}{2 (1)} + 2 \frac{5 e^{\frac{5 x}{2}}}{2} + e^{\frac{5 x}{2}} (2 x) + e^{\frac{5 x}{2}} \cdot - 2$

خطوة 4.3.5.2.2

ألغِ العامل المشترك.

$\frac{x^{2} (5 e^{\frac{5 x}{2}})}{2} + \frac{2 (x (- 5 e^{\frac{5 x}{2}}))}{2 \cdot 1} + 2 \frac{5 e^{\frac{5 x}{2}}}{2} + e^{\frac{5 x}{2}} (2 x) + e^{\frac{5 x}{2}} \cdot - 2$

خطوة 4.3.5.2.3

أعِد كتابة العبارة.

$\frac{x^{2} (5 e^{\frac{5 x}{2}})}{2} + \frac{x (- 5 e^{\frac{5 x}{2}})}{1} + 2 \frac{5 e^{\frac{5 x}{2}}}{2} + e^{\frac{5 x}{2}} (2 x) + e^{\frac{5 x}{2}} \cdot - 2$

خطوة 4.3.5.2.4

اقسِم $x (- 5 e^{\frac{5 x}{2}})$ على $1$ .

$\frac{x^{2} (5 e^{\frac{5 x}{2}})}{2} + x (- 5 e^{\frac{5 x}{2}}) + 2 \frac{5 e^{\frac{5 x}{2}}}{2} + e^{\frac{5 x}{2}} (2 x) + e^{\frac{5 x}{2}} \cdot - 2$

خطوة 4.3.6

اجمع $2$ و $\frac{5 e^{\frac{5 x}{2}}}{2}$ .

$\frac{x^{2} (5 e^{\frac{5 x}{2}})}{2} + x (- 5 e^{\frac{5 x}{2}}) + \frac{2 (5 e^{\frac{5 x}{2}})}{2} + e^{\frac{5 x}{2}} (2 x) + e^{\frac{5 x}{2}} \cdot - 2$

خطوة 4.3.7

اضرب $5$ في $2$ .

$\frac{x^{2} (5 e^{\frac{5 x}{2}})}{2} + x (- 5 e^{\frac{5 x}{2}}) + \frac{10 e^{\frac{5 x}{2}}}{2} + e^{\frac{5 x}{2}} (2 x) + e^{\frac{5 x}{2}} \cdot - 2$

خطوة 4.3.8

احذِف العامل المشترك لـ $10$ و $2$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 4.3.8.1

أخرِج العامل $2$ من $10 e^{\frac{5 x}{2}}$ .

$\frac{x^{2} (5 e^{\frac{5 x}{2}})}{2} + x (- 5 e^{\frac{5 x}{2}}) + \frac{2 (5 e^{\frac{5 x}{2}})}{2} + e^{\frac{5 x}{2}} (2 x) + e^{\frac{5 x}{2}} \cdot - 2$

خطوة 4.3.8.2

ألغِ العوامل المشتركة.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 4.3.8.2.1

أخرِج العامل $2$ من $2$ .

$\frac{x^{2} (5 e^{\frac{5 x}{2}})}{2} + x (- 5 e^{\frac{5 x}{2}}) + \frac{2 (5 e^{\frac{5 x}{2}})}{2 (1)} + e^{\frac{5 x}{2}} (2 x) + e^{\frac{5 x}{2}} \cdot - 2$

خطوة 4.3.8.2.2

ألغِ العامل المشترك.

$\frac{x^{2} (5 e^{\frac{5 x}{2}})}{2} + x (- 5 e^{\frac{5 x}{2}}) + \frac{2 (5 e^{\frac{5 x}{2}})}{2 \cdot 1} + e^{\frac{5 x}{2}} (2 x) + e^{\frac{5 x}{2}} \cdot - 2$

خطوة 4.3.8.2.3

أعِد كتابة العبارة.

$\frac{x^{2} (5 e^{\frac{5 x}{2}})}{2} + x (- 5 e^{\frac{5 x}{2}}) + \frac{5 e^{\frac{5 x}{2}}}{1} + e^{\frac{5 x}{2}} (2 x) + e^{\frac{5 x}{2}} \cdot - 2$

خطوة 4.3.8.2.4

اقسِم $5 e^{\frac{5 x}{2}}$ على $1$ .

$\frac{x^{2} (5 e^{\frac{5 x}{2}})}{2} + x (- 5 e^{\frac{5 x}{2}}) + 5 e^{\frac{5 x}{2}} + e^{\frac{5 x}{2}} (2 x) + e^{\frac{5 x}{2}} \cdot - 2$

خطوة 4.3.9

انقُل $- 2$ إلى يسار $e^{\frac{5 x}{2}}$ .

$\frac{x^{2} (5 e^{\frac{5 x}{2}})}{2} + x (- 5 e^{\frac{5 x}{2}}) + 5 e^{\frac{5 x}{2}} + e^{\frac{5 x}{2}} (2 x) - 2 \cdot e^{\frac{5 x}{2}}$

خطوة 4.3.10

انقُل $e^{\frac{5 x}{2}}$ .

$\frac{x^{2} (5 e^{\frac{5 x}{2}})}{2} - 5 \cdot x e^{\frac{5 x}{2}} + 2 x e^{\frac{5 x}{2}} + 5 e^{\frac{5 x}{2}} - 2 e^{\frac{5 x}{2}}$

خطوة 4.3.11

أضف $- 5 x e^{\frac{5 x}{2}}$ و $2 x e^{\frac{5 x}{2}}$ .

$\frac{x^{2} (5 e^{\frac{5 x}{2}})}{2} - 3 x e^{\frac{5 x}{2}} + 5 e^{\frac{5 x}{2}} - 2 e^{\frac{5 x}{2}}$

خطوة 4.3.12

اطرح $2 e^{\frac{5 x}{2}}$ من $5 e^{\frac{5 x}{2}}$ .

$\frac{x^{2} (5 e^{\frac{5 x}{2}})}{2} - 3 x e^{\frac{5 x}{2}} + 3 e^{\frac{5 x}{2}}$

خطوة 4.4

أعِد ترتيب الحدود.

$\frac{x^{2} (5 e^{\frac{5 x}{2}})}{2} - 3 e^{\frac{5 x}{2}} x + 3 e^{\frac{5 x}{2}}$

خطوة 4.5

بسّط كل حد.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 4.5.1

بسّط بَسْط الكسر.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 4.5.1.1

أعِد الكتابة.

$\frac{x^{2} (5 e^{\frac{5 x}{2}})}{2} - 3 e^{\frac{5 x}{2}} x + 3 e^{\frac{5 x}{2}}$

خطوة 4.5.1.2

احذِف الأقواس غير الضرورية.

$\frac{x^{2} \cdot 5 e^{\frac{5 x}{2}}}{2} - 3 e^{\frac{5 x}{2}} x + 3 e^{\frac{5 x}{2}}$

خطوة 4.5.2

انقُل $5$ إلى يسار $x^{2}$ .

$\frac{5 x^{2} e^{\frac{5 x}{2}}}{2} - 3 e^{\frac{5 x}{2}} x + 3 e^{\frac{5 x}{2}}$

خطوة 4.6

أعِد ترتيب العوامل في $\frac{5 x^{2} e^{\frac{5 x}{2}}}{2} - 3 e^{\frac{5 x}{2}} x + 3 e^{\frac{5 x}{2}}$ .

$\frac{5 x^{2} e^{\frac{5 x}{2}}}{2} - 3 x e^{\frac{5 x}{2}} + 3 e^{\frac{5 x}{2}}$