حساب التفاضل والتكامل الأمثلة

$y = (2 x^{5} + 3) \cos (x^{2})$

خطوة 1

أوجِد المشتقة باستخدام قاعدة الضرب التي تنص على أن $\frac{d}{d x} [f (x) g (x)]$ هو $f (x) \frac{d}{d x} [g (x)] + g (x) \frac{d}{d x} [f (x)]$ حيث $f (x) = 2 x^{5} + 3$ و $g (x) = \cos (x^{2})$ .

$(2 x^{5} + 3) \frac{d}{d x} [\cos (x^{2})] + \cos (x^{2}) \frac{d}{d x} [2 x^{5} + 3]$

خطوة 2

أوجِد المشتقة باستخدام قاعدة السلسلة، والتي تنص على أن $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ هو $f' (g (x)) g' (x)$ حيث $f (x) = \cos (x)$ و $g (x) = x^{2}$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 2.1

لتطبيق قاعدة السلسلة، عيّن قيمة $u$ لتصبح $x^{2}$ .

$(2 x^{5} + 3) (\frac{d}{d u} [\cos (u)] \frac{d}{d x} [x^{2}]) + \cos (x^{2}) \frac{d}{d x} [2 x^{5} + 3]$

خطوة 2.2

مشتق $\cos (u)$ بالنسبة إلى $u$ يساوي $- \sin (u)$ .

$(2 x^{5} + 3) (- \sin (u) \frac{d}{d x} [x^{2}]) + \cos (x^{2}) \frac{d}{d x} [2 x^{5} + 3]$

خطوة 2.3

استبدِل كافة حالات حدوث $u$ بـ $x^{2}$ .

$(2 x^{5} + 3) (- \sin (x^{2}) \frac{d}{d x} [x^{2}]) + \cos (x^{2}) \frac{d}{d x} [2 x^{5} + 3]$

خطوة 3

أوجِد المشتقة.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 3.1

أوجِد المشتقة باستخدام قاعدة القوة التي تنص على أن $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ هو $n x^{n - 1}$ حيث $n = 2$ .

$(2 x^{5} + 3) (- \sin (x^{2}) (2 x)) + \cos (x^{2}) \frac{d}{d x} [2 x^{5} + 3]$

خطوة 3.2

اضرب $2$ في $- 1$ .

$(2 x^{5} + 3) (- 2 \sin (x^{2}) x) + \cos (x^{2}) \frac{d}{d x} [2 x^{5} + 3]$

خطوة 3.3

وفقًا لقاعدة الجمع، فإن مشتق $2 x^{5} + 3$ بالنسبة إلى $x$ هو $\frac{d}{d x} [2 x^{5}] + \frac{d}{d x} [3]$ .

$(2 x^{5} + 3) (- 2 \sin (x^{2}) x) + \cos (x^{2}) (\frac{d}{d x} [2 x^{5}] + \frac{d}{d x} [3])$

خطوة 3.4

بما أن $2$ عدد ثابت بالنسبة إلى $x$ ، إذن مشتق $2 x^{5}$ بالنسبة إلى $x$ يساوي $2 \frac{d}{d x} [x^{5}]$ .

$(2 x^{5} + 3) (- 2 \sin (x^{2}) x) + \cos (x^{2}) (2 \frac{d}{d x} [x^{5}] + \frac{d}{d x} [3])$

خطوة 3.5

أوجِد المشتقة باستخدام قاعدة القوة التي تنص على أن $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ هو $n x^{n - 1}$ حيث $n = 5$ .

$(2 x^{5} + 3) (- 2 \sin (x^{2}) x) + \cos (x^{2}) (2 (5 x^{4}) + \frac{d}{d x} [3])$

خطوة 3.6

اضرب $5$ في $2$ .

$(2 x^{5} + 3) (- 2 \sin (x^{2}) x) + \cos (x^{2}) (10 x^{4} + \frac{d}{d x} [3])$

خطوة 3.7

بما أن $3$ عدد ثابت بالنسبة إلى $x$ ، فإن مشتق $3$ بالنسبة إلى $x$ هو $0$ .

$(2 x^{5} + 3) (- 2 \sin (x^{2}) x) + \cos (x^{2}) (10 x^{4} + 0)$

خطوة 3.8

أضف $10 x^{4}$ و $0$ .

$(2 x^{5} + 3) (- 2 \sin (x^{2}) x) + \cos (x^{2}) (10 x^{4})$

خطوة 4

بسّط.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 4.1

طبّق خاصية التوزيع.

$2 x^{5} (- 2 \sin (x^{2}) x) + 3 (- 2 \sin (x^{2}) x) + \cos (x^{2}) (10 x^{4})$

خطوة 4.2

جمّع الحدود.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 4.2.1

اضرب $- 2$ في $2$ .

$- 4 x^{5} (\sin (x^{2}) x) + 3 (- 2 \sin (x^{2}) x) + \cos (x^{2}) (10 x^{4})$

خطوة 4.2.2

ارفع $x$ إلى القوة $1$ .

$- 4 (x^{1} x^{5}) \sin (x^{2}) + 3 (- 2 \sin (x^{2}) x) + \cos (x^{2}) (10 x^{4})$

خطوة 4.2.3

استخدِم قاعدة القوة $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ لتجميع الأُسس.

$- 4 x^{1 + 5} \sin (x^{2}) + 3 (- 2 \sin (x^{2}) x) + \cos (x^{2}) (10 x^{4})$

خطوة 4.2.4

أضف $1$ و $5$ .

$- 4 x^{6} \sin (x^{2}) + 3 (- 2 \sin (x^{2}) x) + \cos (x^{2}) (10 x^{4})$

خطوة 4.2.5

اضرب $- 2$ في $3$ .

$- 4 x^{6} \sin (x^{2}) - 6 \sin (x^{2}) x + \cos (x^{2}) (10 x^{4})$

خطوة 4.3

أعِد ترتيب الحدود.

$- 4 x^{6} \sin (x^{2}) - 6 x \sin (x^{2}) + 10 x^{4} \cos (x^{2})$