حساب التفاضل والتكامل الأمثلة

$y = {(\frac{1}{x} - \arcsin (\frac{1}{x}))}^{4}$

خطوة 1

أوجِد المشتقة باستخدام قاعدة السلسلة، والتي تنص على أن $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ هو $f' (g (x)) g' (x)$ حيث $f (x) = x^{4}$ و $g (x) = \frac{1}{x} - \arcsin (\frac{1}{x})$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 1.1

لتطبيق قاعدة السلسلة، عيّن قيمة $u_{1}$ لتصبح $\frac{1}{x} - \arcsin (\frac{1}{x})$ .

$\frac{d}{d u_{1}} [{u_{1}}^{4}] \frac{d}{d x} [\frac{1}{x} - \arcsin (\frac{1}{x})]$

خطوة 1.2

أوجِد المشتقة باستخدام قاعدة القوة التي تنص على أن $\frac{d}{d u_{1}} [{u_{1}}^{n}]$ هو $n {u_{1}}^{n - 1}$ حيث $n = 4$ .

$4 {u_{1}}^{3} \frac{d}{d x} [\frac{1}{x} - \arcsin (\frac{1}{x})]$

خطوة 1.3

استبدِل كافة حالات حدوث $u_{1}$ بـ $\frac{1}{x} - \arcsin (\frac{1}{x})$ .

$4 {(\frac{1}{x} - \arcsin (\frac{1}{x}))}^{3} \frac{d}{d x} [\frac{1}{x} - \arcsin (\frac{1}{x})]$

خطوة 2

أوجِد المشتقة.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 2.1

وفقًا لقاعدة الجمع، فإن مشتق $\frac{1}{x} - \arcsin (\frac{1}{x})$ بالنسبة إلى $x$ هو $\frac{d}{d x} [\frac{1}{x}] + \frac{d}{d x} [- \arcsin (\frac{1}{x})]$ .

$4 {(\frac{1}{x} - \arcsin (\frac{1}{x}))}^{3} (\frac{d}{d x} [\frac{1}{x}] + \frac{d}{d x} [- \arcsin (\frac{1}{x})])$

خطوة 2.2

أعِد كتابة $\frac{1}{x}$ بالصيغة $x^{- 1}$ .

$4 {(\frac{1}{x} - \arcsin (\frac{1}{x}))}^{3} (\frac{d}{d x} [x^{- 1}] + \frac{d}{d x} [- \arcsin (\frac{1}{x})])$

خطوة 2.3

أوجِد المشتقة باستخدام قاعدة القوة التي تنص على أن $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ هو $n x^{n - 1}$ حيث $n = - 1$ .

$4 {(\frac{1}{x} - \arcsin (\frac{1}{x}))}^{3} (- x^{- 2} + \frac{d}{d x} [- \arcsin (\frac{1}{x})])$

خطوة 2.4

بما أن $- 1$ عدد ثابت بالنسبة إلى $x$ ، إذن مشتق $- \arcsin (\frac{1}{x})$ بالنسبة إلى $x$ يساوي $- \frac{d}{d x} [\arcsin (\frac{1}{x})]$ .

$4 {(\frac{1}{x} - \arcsin (\frac{1}{x}))}^{3} (- x^{- 2} - \frac{d}{d x} [\arcsin (\frac{1}{x})])$

خطوة 3

أوجِد المشتقة باستخدام قاعدة السلسلة، والتي تنص على أن $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ هو $f' (g (x)) g' (x)$ حيث $f (x) = \arcsin (x)$ و $g (x) = \frac{1}{x}$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 3.1

لتطبيق قاعدة السلسلة، عيّن قيمة $u_{2}$ لتصبح $\frac{1}{x}$ .

$4 {(\frac{1}{x} - \arcsin (\frac{1}{x}))}^{3} (- x^{- 2} - (\frac{d}{d u_{2}} [\arcsin (u_{2})] \frac{d}{d x} [\frac{1}{x}]))$

خطوة 3.2

مشتق $\arcsin (u_{2})$ بالنسبة إلى $u_{2}$ يساوي $\frac{1}{\sqrt{1 - {u_{2}}^{2}}}$ .

$4 {(\frac{1}{x} - \arcsin (\frac{1}{x}))}^{3} (- x^{- 2} - (\frac{1}{\sqrt{1 - {u_{2}}^{2}}} \frac{d}{d x} [\frac{1}{x}]))$

خطوة 3.3

استبدِل كافة حالات حدوث $u_{2}$ بـ $\frac{1}{x}$ .

$4 {(\frac{1}{x} - \arcsin (\frac{1}{x}))}^{3} (- x^{- 2} - (\frac{1}{\sqrt{1 - {(\frac{1}{x})}^{2}}} \frac{d}{d x} [\frac{1}{x}]))$

خطوة 4

أوجِد المشتقة باستخدام قاعدة القوة.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 4.1

أعِد كتابة $\frac{1}{x}$ بالصيغة $x^{- 1}$ .

$4 {(\frac{1}{x} - \arcsin (\frac{1}{x}))}^{3} (- x^{- 2} - \frac{1}{\sqrt{1 - {(\frac{1}{x})}^{2}}} \frac{d}{d x} [x^{- 1}])$

خطوة 4.2

أوجِد المشتقة باستخدام قاعدة القوة التي تنص على أن $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ هو $n x^{n - 1}$ حيث $n = - 1$ .

$4 {(\frac{1}{x} - \arcsin (\frac{1}{x}))}^{3} (- x^{- 2} - \frac{1}{\sqrt{1 - {(\frac{1}{x})}^{2}}} (- x^{- 2}))$

خطوة 4.3

اجمع الكسور.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 4.3.1

اضرب $- 1$ في $- 1$ .

$4 {(\frac{1}{x} - \arcsin (\frac{1}{x}))}^{3} (- x^{- 2} + 1 \frac{1}{\sqrt{1 - {(\frac{1}{x})}^{2}}} x^{- 2})$

خطوة 4.3.2

اضرب $\frac{1}{\sqrt{1 - {(\frac{1}{x})}^{2}}}$ في $1$ .

$4 {(\frac{1}{x} - \arcsin (\frac{1}{x}))}^{3} (- x^{- 2} + \frac{1}{\sqrt{1 - {(\frac{1}{x})}^{2}}} x^{- 2})$

خطوة 4.3.3

اجمع $\frac{1}{\sqrt{1 - {(\frac{1}{x})}^{2}}}$ و $x^{- 2}$ .

$4 {(\frac{1}{x} - \arcsin (\frac{1}{x}))}^{3} (- x^{- 2} + \frac{x^{- 2}}{\sqrt{1 - {(\frac{1}{x})}^{2}}})$

خطوة 4.3.4

انقُل $x^{- 2}$ إلى القاسم باستخدام قاعدة الأُسس السالبة $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$4 {(\frac{1}{x} - \arcsin (\frac{1}{x}))}^{3} (- x^{- 2} + \frac{1}{\sqrt{1 - {(\frac{1}{x})}^{2}} x^{2}})$

خطوة 5

أعِد كتابة العبارة باستخدام قاعدة الأُسس السالبة $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$4 {(\frac{1}{x} - \arcsin (\frac{1}{x}))}^{3} (- \frac{1}{x^{2}} + \frac{1}{\sqrt{1 - {(\frac{1}{x})}^{2}} x^{2}})$

خطوة 6

بسّط.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 6.1

طبّق قاعدة الضرب على $\frac{1}{x}$ .

$4 {(\frac{1}{x} - \arcsin (\frac{1}{x}))}^{3} (- \frac{1}{x^{2}} + \frac{1}{\sqrt{1 - \frac{1^{2}}{x^{2}}} x^{2}})$

خطوة 6.2

العدد واحد مرفوع لأي قوة يساوي واحدًا.

$4 {(\frac{1}{x} - \arcsin (\frac{1}{x}))}^{3} (- \frac{1}{x^{2}} + \frac{1}{\sqrt{1 - \frac{1}{x^{2}}} x^{2}})$