حساب التفاضل والتكامل الأمثلة

$y = (4 x^{2} - x + 4) (4 - 5 x - 2 x^{2})$

خطوة 1

أوجِد المشتقة باستخدام قاعدة الضرب التي تنص على أن $\frac{d}{d x} [f (x) g (x)]$ هو $f (x) \frac{d}{d x} [g (x)] + g (x) \frac{d}{d x} [f (x)]$ حيث $f (x) = 4 x^{2} - x + 4$ و $g (x) = 4 - 5 x - 2 x^{2}$ .

$(4 x^{2} - x + 4) \frac{d}{d x} [4 - 5 x - 2 x^{2}] + (4 - 5 x - 2 x^{2}) \frac{d}{d x} [4 x^{2} - x + 4]$

خطوة 2

أوجِد المشتقة.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 2.1

وفقًا لقاعدة الجمع، فإن مشتق $4 - 5 x - 2 x^{2}$ بالنسبة إلى $x$ هو $\frac{d}{d x} [4] + \frac{d}{d x} [- 5 x] + \frac{d}{d x} [- 2 x^{2}]$ .

$(4 x^{2} - x + 4) (\frac{d}{d x} [4] + \frac{d}{d x} [- 5 x] + \frac{d}{d x} [- 2 x^{2}]) + (4 - 5 x - 2 x^{2}) \frac{d}{d x} [4 x^{2} - x + 4]$

خطوة 2.2

بما أن $4$ عدد ثابت بالنسبة إلى $x$ ، فإن مشتق $4$ بالنسبة إلى $x$ هو $0$ .

$(4 x^{2} - x + 4) (0 + \frac{d}{d x} [- 5 x] + \frac{d}{d x} [- 2 x^{2}]) + (4 - 5 x - 2 x^{2}) \frac{d}{d x} [4 x^{2} - x + 4]$

خطوة 2.3

أضف $0$ و $\frac{d}{d x} [- 5 x]$ .

$(4 x^{2} - x + 4) (\frac{d}{d x} [- 5 x] + \frac{d}{d x} [- 2 x^{2}]) + (4 - 5 x - 2 x^{2}) \frac{d}{d x} [4 x^{2} - x + 4]$

خطوة 2.4

بما أن $- 5$ عدد ثابت بالنسبة إلى $x$ ، إذن مشتق $- 5 x$ بالنسبة إلى $x$ يساوي $- 5 \frac{d}{d x} [x]$ .

$(4 x^{2} - x + 4) (- 5 \frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [- 2 x^{2}]) + (4 - 5 x - 2 x^{2}) \frac{d}{d x} [4 x^{2} - x + 4]$

خطوة 2.5

أوجِد المشتقة باستخدام قاعدة القوة التي تنص على أن $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ هو $n x^{n - 1}$ حيث $n = 1$ .

$(4 x^{2} - x + 4) (- 5 \cdot 1 + \frac{d}{d x} [- 2 x^{2}]) + (4 - 5 x - 2 x^{2}) \frac{d}{d x} [4 x^{2} - x + 4]$

خطوة 2.6

اضرب $- 5$ في $1$ .

$(4 x^{2} - x + 4) (- 5 + \frac{d}{d x} [- 2 x^{2}]) + (4 - 5 x - 2 x^{2}) \frac{d}{d x} [4 x^{2} - x + 4]$

خطوة 2.7

بما أن $- 2$ عدد ثابت بالنسبة إلى $x$ ، إذن مشتق $- 2 x^{2}$ بالنسبة إلى $x$ يساوي $- 2 \frac{d}{d x} [x^{2}]$ .

$(4 x^{2} - x + 4) (- 5 - 2 \frac{d}{d x} [x^{2}]) + (4 - 5 x - 2 x^{2}) \frac{d}{d x} [4 x^{2} - x + 4]$

خطوة 2.8

أوجِد المشتقة باستخدام قاعدة القوة التي تنص على أن $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ هو $n x^{n - 1}$ حيث $n = 2$ .

$(4 x^{2} - x + 4) (- 5 - 2 (2 x)) + (4 - 5 x - 2 x^{2}) \frac{d}{d x} [4 x^{2} - x + 4]$

خطوة 2.9

اضرب $2$ في $- 2$ .

$(4 x^{2} - x + 4) (- 5 - 4 x) + (4 - 5 x - 2 x^{2}) \frac{d}{d x} [4 x^{2} - x + 4]$

خطوة 2.10

وفقًا لقاعدة الجمع، فإن مشتق $4 x^{2} - x + 4$ بالنسبة إلى $x$ هو $\frac{d}{d x} [4 x^{2}] + \frac{d}{d x} [- x] + \frac{d}{d x} [4]$ .

$(4 x^{2} - x + 4) (- 5 - 4 x) + (4 - 5 x - 2 x^{2}) (\frac{d}{d x} [4 x^{2}] + \frac{d}{d x} [- x] + \frac{d}{d x} [4])$

خطوة 2.11

بما أن $4$ عدد ثابت بالنسبة إلى $x$ ، إذن مشتق $4 x^{2}$ بالنسبة إلى $x$ يساوي $4 \frac{d}{d x} [x^{2}]$ .

$(4 x^{2} - x + 4) (- 5 - 4 x) + (4 - 5 x - 2 x^{2}) (4 \frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [- x] + \frac{d}{d x} [4])$

خطوة 2.12

أوجِد المشتقة باستخدام قاعدة القوة التي تنص على أن $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ هو $n x^{n - 1}$ حيث $n = 2$ .

$(4 x^{2} - x + 4) (- 5 - 4 x) + (4 - 5 x - 2 x^{2}) (4 (2 x) + \frac{d}{d x} [- x] + \frac{d}{d x} [4])$

خطوة 2.13

اضرب $2$ في $4$ .

$(4 x^{2} - x + 4) (- 5 - 4 x) + (4 - 5 x - 2 x^{2}) (8 x + \frac{d}{d x} [- x] + \frac{d}{d x} [4])$

خطوة 2.14

بما أن $- 1$ عدد ثابت بالنسبة إلى $x$ ، إذن مشتق $- x$ بالنسبة إلى $x$ يساوي $- \frac{d}{d x} [x]$ .

$(4 x^{2} - x + 4) (- 5 - 4 x) + (4 - 5 x - 2 x^{2}) (8 x - \frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [4])$

خطوة 2.15

أوجِد المشتقة باستخدام قاعدة القوة التي تنص على أن $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ هو $n x^{n - 1}$ حيث $n = 1$ .

$(4 x^{2} - x + 4) (- 5 - 4 x) + (4 - 5 x - 2 x^{2}) (8 x - 1 \cdot 1 + \frac{d}{d x} [4])$

خطوة 2.16

اضرب $- 1$ في $1$ .

$(4 x^{2} - x + 4) (- 5 - 4 x) + (4 - 5 x - 2 x^{2}) (8 x - 1 + \frac{d}{d x} [4])$

خطوة 2.17

بما أن $4$ عدد ثابت بالنسبة إلى $x$ ، فإن مشتق $4$ بالنسبة إلى $x$ هو $0$ .

$(4 x^{2} - x + 4) (- 5 - 4 x) + (4 - 5 x - 2 x^{2}) (8 x - 1 + 0)$

خطوة 2.18

أضف $8 x - 1$ و $0$ .

$(4 x^{2} - x + 4) (- 5 - 4 x) + (4 - 5 x - 2 x^{2}) (8 x - 1)$

خطوة 3

بسّط.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 3.1

أخرِج العامل $1$ من $(4 x^{2} - x + 4) (- 5 - 4 x) + (4 - 5 x - 2 x^{2}) (8 x - 1)$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 3.1.1

أخرِج العامل $1$ من $(4 x^{2} - x + 4) (- 5 - 4 x)$ .

$1 ((4 x^{2} - x + 4) (- 5 - 4 x)) + (4 - 5 x - 2 x^{2}) (8 x - 1)$

خطوة 3.1.2

أخرِج العامل $1$ من $(4 - 5 x - 2 x^{2}) (8 x - 1)$ .

$1 ((4 x^{2} - x + 4) (- 5 - 4 x)) + 1 ((4 - 5 x - 2 x^{2}) (8 x - 1))$

خطوة 3.1.3

أخرِج العامل $1$ من $1 ((4 x^{2} - x + 4) (- 5 - 4 x)) + 1 ((4 - 5 x - 2 x^{2}) (8 x - 1))$ .

$1 ((4 x^{2} - x + 4) (- 5 - 4 x) + (4 - 5 x - 2 x^{2}) (8 x - 1))$

خطوة 3.2

اضرب $(4 x^{2} - x + 4) (- 5 - 4 x) + (4 - 5 x - 2 x^{2}) (8 x - 1)$ في $1$ .

$(4 x^{2} - x + 4) (- 5 - 4 x) + (4 - 5 x - 2 x^{2}) (8 x - 1)$

خطوة 3.3

أعِد ترتيب الحدود.

$(- 5 - 4 x) (4 x^{2} - x + 4) + (4 - 5 x - 2 x^{2}) (8 x - 1)$

خطوة 3.4

بسّط كل حد.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 3.4.1

وسّع $(- 5 - 4 x) (4 x^{2} - x + 4)$ بضرب كل حد في العبارة الأولى في كل حد في العبارة الثانية.

$- 5 (4 x^{2}) - 5 (- x) - 5 \cdot 4 - 4 x (4 x^{2}) - 4 x (- x) - 4 x \cdot 4 + (4 - 5 x - 2 x^{2}) (8 x - 1)$

خطوة 3.4.2

بسّط كل حد.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 3.4.2.1

اضرب $4$ في $- 5$ .

$- 20 x^{2} - 5 (- x) - 5 \cdot 4 - 4 x (4 x^{2}) - 4 x (- x) - 4 x \cdot 4 + (4 - 5 x - 2 x^{2}) (8 x - 1)$

خطوة 3.4.2.2

اضرب $- 1$ في $- 5$ .

$- 20 x^{2} + 5 x - 5 \cdot 4 - 4 x (4 x^{2}) - 4 x (- x) - 4 x \cdot 4 + (4 - 5 x - 2 x^{2}) (8 x - 1)$

خطوة 3.4.2.3

اضرب $- 5$ في $4$ .

$- 20 x^{2} + 5 x - 20 - 4 x (4 x^{2}) - 4 x (- x) - 4 x \cdot 4 + (4 - 5 x - 2 x^{2}) (8 x - 1)$

خطوة 3.4.2.4

أعِد الكتابة باستخدام خاصية الإبدال لعملية الضرب.

$- 20 x^{2} + 5 x - 20 - 4 \cdot 4 x \cdot x^{2} - 4 x (- x) - 4 x \cdot 4 + (4 - 5 x - 2 x^{2}) (8 x - 1)$

خطوة 3.4.2.5

اضرب $x$ في $x^{2}$ بجمع الأُسس.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 3.4.2.5.1

انقُل $x^{2}$ .

$- 20 x^{2} + 5 x - 20 - 4 \cdot 4 (x^{2} x) - 4 x (- x) - 4 x \cdot 4 + (4 - 5 x - 2 x^{2}) (8 x - 1)$

خطوة 3.4.2.5.2

اضرب $x^{2}$ في $x$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 3.4.2.5.2.1

ارفع $x$ إلى القوة $1$ .

$- 20 x^{2} + 5 x - 20 - 4 \cdot 4 (x^{2} x^{1}) - 4 x (- x) - 4 x \cdot 4 + (4 - 5 x - 2 x^{2}) (8 x - 1)$

خطوة 3.4.2.5.2.2

استخدِم قاعدة القوة $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ لتجميع الأُسس.

$- 20 x^{2} + 5 x - 20 - 4 \cdot 4 x^{2 + 1} - 4 x (- x) - 4 x \cdot 4 + (4 - 5 x - 2 x^{2}) (8 x - 1)$

خطوة 3.4.2.5.3

أضف $2$ و $1$ .

$- 20 x^{2} + 5 x - 20 - 4 \cdot 4 x^{3} - 4 x (- x) - 4 x \cdot 4 + (4 - 5 x - 2 x^{2}) (8 x - 1)$

خطوة 3.4.2.6

اضرب $- 4$ في $4$ .

$- 20 x^{2} + 5 x - 20 - 16 x^{3} - 4 x (- x) - 4 x \cdot 4 + (4 - 5 x - 2 x^{2}) (8 x - 1)$

خطوة 3.4.2.7

أعِد الكتابة باستخدام خاصية الإبدال لعملية الضرب.

$- 20 x^{2} + 5 x - 20 - 16 x^{3} - 4 \cdot - 1 x \cdot x - 4 x \cdot 4 + (4 - 5 x - 2 x^{2}) (8 x - 1)$

خطوة 3.4.2.8

اضرب $x$ في $x$ بجمع الأُسس.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 3.4.2.8.1

انقُل $x$ .

$- 20 x^{2} + 5 x - 20 - 16 x^{3} - 4 \cdot - 1 (x \cdot x) - 4 x \cdot 4 + (4 - 5 x - 2 x^{2}) (8 x - 1)$

خطوة 3.4.2.8.2

اضرب $x$ في $x$ .

$- 20 x^{2} + 5 x - 20 - 16 x^{3} - 4 \cdot - 1 x^{2} - 4 x \cdot 4 + (4 - 5 x - 2 x^{2}) (8 x - 1)$

خطوة 3.4.2.9

اضرب $- 4$ في $- 1$ .

$- 20 x^{2} + 5 x - 20 - 16 x^{3} + 4 x^{2} - 4 x \cdot 4 + (4 - 5 x - 2 x^{2}) (8 x - 1)$

خطوة 3.4.2.10

اضرب $4$ في $- 4$ .

$- 20 x^{2} + 5 x - 20 - 16 x^{3} + 4 x^{2} - 16 x + (4 - 5 x - 2 x^{2}) (8 x - 1)$

خطوة 3.4.3

أضف $- 20 x^{2}$ و $4 x^{2}$ .

$- 16 x^{2} + 5 x - 20 - 16 x^{3} - 16 x + (4 - 5 x - 2 x^{2}) (8 x - 1)$

خطوة 3.4.4

اطرح $16 x$ من $5 x$ .

$- 16 x^{2} - 11 x - 20 - 16 x^{3} + (4 - 5 x - 2 x^{2}) (8 x - 1)$

خطوة 3.4.5

وسّع $(4 - 5 x - 2 x^{2}) (8 x - 1)$ بضرب كل حد في العبارة الأولى في كل حد في العبارة الثانية.

$- 16 x^{2} - 11 x - 20 - 16 x^{3} + 4 (8 x) + 4 \cdot - 1 - 5 x (8 x) - 5 x \cdot - 1 - 2 x^{2} (8 x) - 2 x^{2} \cdot - 1$

خطوة 3.4.6

بسّط كل حد.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 3.4.6.1

اضرب $8$ في $4$ .

$- 16 x^{2} - 11 x - 20 - 16 x^{3} + 32 x + 4 \cdot - 1 - 5 x (8 x) - 5 x \cdot - 1 - 2 x^{2} (8 x) - 2 x^{2} \cdot - 1$

خطوة 3.4.6.2

اضرب $4$ في $- 1$ .

$- 16 x^{2} - 11 x - 20 - 16 x^{3} + 32 x - 4 - 5 x (8 x) - 5 x \cdot - 1 - 2 x^{2} (8 x) - 2 x^{2} \cdot - 1$

خطوة 3.4.6.3

أعِد الكتابة باستخدام خاصية الإبدال لعملية الضرب.

$- 16 x^{2} - 11 x - 20 - 16 x^{3} + 32 x - 4 - 5 \cdot 8 x \cdot x - 5 x \cdot - 1 - 2 x^{2} (8 x) - 2 x^{2} \cdot - 1$

خطوة 3.4.6.4

اضرب $x$ في $x$ بجمع الأُسس.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 3.4.6.4.1

انقُل $x$ .

$- 16 x^{2} - 11 x - 20 - 16 x^{3} + 32 x - 4 - 5 \cdot 8 (x \cdot x) - 5 x \cdot - 1 - 2 x^{2} (8 x) - 2 x^{2} \cdot - 1$

خطوة 3.4.6.4.2

اضرب $x$ في $x$ .

$- 16 x^{2} - 11 x - 20 - 16 x^{3} + 32 x - 4 - 5 \cdot 8 x^{2} - 5 x \cdot - 1 - 2 x^{2} (8 x) - 2 x^{2} \cdot - 1$

خطوة 3.4.6.5

اضرب $- 5$ في $8$ .

$- 16 x^{2} - 11 x - 20 - 16 x^{3} + 32 x - 4 - 40 x^{2} - 5 x \cdot - 1 - 2 x^{2} (8 x) - 2 x^{2} \cdot - 1$

خطوة 3.4.6.6

اضرب $- 1$ في $- 5$ .

$- 16 x^{2} - 11 x - 20 - 16 x^{3} + 32 x - 4 - 40 x^{2} + 5 x - 2 x^{2} (8 x) - 2 x^{2} \cdot - 1$

خطوة 3.4.6.7

أعِد الكتابة باستخدام خاصية الإبدال لعملية الضرب.

$- 16 x^{2} - 11 x - 20 - 16 x^{3} + 32 x - 4 - 40 x^{2} + 5 x - 2 \cdot 8 x^{2} x - 2 x^{2} \cdot - 1$

خطوة 3.4.6.8

اضرب $x^{2}$ في $x$ بجمع الأُسس.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 3.4.6.8.1

انقُل $x$ .

$- 16 x^{2} - 11 x - 20 - 16 x^{3} + 32 x - 4 - 40 x^{2} + 5 x - 2 \cdot 8 (x \cdot x^{2}) - 2 x^{2} \cdot - 1$

خطوة 3.4.6.8.2

اضرب $x$ في $x^{2}$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 3.4.6.8.2.1

ارفع $x$ إلى القوة $1$ .

$- 16 x^{2} - 11 x - 20 - 16 x^{3} + 32 x - 4 - 40 x^{2} + 5 x - 2 \cdot 8 (x^{1} x^{2}) - 2 x^{2} \cdot - 1$

خطوة 3.4.6.8.2.2

استخدِم قاعدة القوة $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ لتجميع الأُسس.

$- 16 x^{2} - 11 x - 20 - 16 x^{3} + 32 x - 4 - 40 x^{2} + 5 x - 2 \cdot 8 x^{1 + 2} - 2 x^{2} \cdot - 1$

خطوة 3.4.6.8.3

أضف $1$ و $2$ .

$- 16 x^{2} - 11 x - 20 - 16 x^{3} + 32 x - 4 - 40 x^{2} + 5 x - 2 \cdot 8 x^{3} - 2 x^{2} \cdot - 1$

خطوة 3.4.6.9

اضرب $- 2$ في $8$ .

$- 16 x^{2} - 11 x - 20 - 16 x^{3} + 32 x - 4 - 40 x^{2} + 5 x - 16 x^{3} - 2 x^{2} \cdot - 1$

خطوة 3.4.6.10

اضرب $- 1$ في $- 2$ .

$- 16 x^{2} - 11 x - 20 - 16 x^{3} + 32 x - 4 - 40 x^{2} + 5 x - 16 x^{3} + 2 x^{2}$

خطوة 3.4.7

أضف $32 x$ و $5 x$ .

$- 16 x^{2} - 11 x - 20 - 16 x^{3} + 37 x - 4 - 40 x^{2} - 16 x^{3} + 2 x^{2}$

خطوة 3.4.8

أضف $- 40 x^{2}$ و $2 x^{2}$ .

$- 16 x^{2} - 11 x - 20 - 16 x^{3} + 37 x - 4 - 16 x^{3} - 38 x^{2}$

خطوة 3.5

اطرح $38 x^{2}$ من $- 16 x^{2}$ .

$- 54 x^{2} - 11 x - 20 - 16 x^{3} + 37 x - 4 - 16 x^{3}$

خطوة 3.6

أضف $- 11 x$ و $37 x$ .

$- 54 x^{2} + 26 x - 20 - 16 x^{3} - 4 - 16 x^{3}$

خطوة 3.7

اطرح $4$ من $- 20$ .

$- 54 x^{2} + 26 x - 16 x^{3} - 24 - 16 x^{3}$

خطوة 3.8

اطرح $16 x^{3}$ من $- 16 x^{3}$ .

$- 54 x^{2} + 26 x - 32 x^{3} - 24$