حساب التفاضل والتكامل الأمثلة

$\sin (4 x) \cos^{2} (x)$

خطوة 1

أوجِد المشتقة باستخدام قاعدة الضرب التي تنص على أن $\frac{d}{d x} [f (x) g (x)]$ هو $f (x) \frac{d}{d x} [g (x)] + g (x) \frac{d}{d x} [f (x)]$ حيث $f (x) = \sin (4 x)$ و $g (x) = \cos^{2} (x)$ .

$\sin (4 x) \frac{d}{d x} [\cos^{2} (x)] + \cos^{2} (x) \frac{d}{d x} [\sin (4 x)]$

خطوة 2

أوجِد المشتقة باستخدام قاعدة السلسلة، والتي تنص على أن $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ هو $f' (g (x)) g' (x)$ حيث $f (x) = x^{2}$ و $g (x) = \cos (x)$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 2.1

لتطبيق قاعدة السلسلة، عيّن قيمة $u_{1}$ لتصبح $\cos (x)$ .

$\sin (4 x) (\frac{d}{d u_{1}} [{u_{1}}^{2}] \frac{d}{d x} [\cos (x)]) + \cos^{2} (x) \frac{d}{d x} [\sin (4 x)]$

خطوة 2.2

أوجِد المشتقة باستخدام قاعدة القوة التي تنص على أن $\frac{d}{d u_{1}} [{u_{1}}^{n}]$ هو $n {u_{1}}^{n - 1}$ حيث $n = 2$ .

$\sin (4 x) (2 u_{1} \frac{d}{d x} [\cos (x)]) + \cos^{2} (x) \frac{d}{d x} [\sin (4 x)]$

خطوة 2.3

استبدِل كافة حالات حدوث $u_{1}$ بـ $\cos (x)$ .

$\sin (4 x) (2 \cos (x) \frac{d}{d x} [\cos (x)]) + \cos^{2} (x) \frac{d}{d x} [\sin (4 x)]$

خطوة 3

انقُل $2$ إلى يسار $\sin (4 x)$ .

$2 \cdot \sin (4 x) \cos (x) \frac{d}{d x} [\cos (x)] + \cos^{2} (x) \frac{d}{d x} [\sin (4 x)]$

خطوة 4

مشتق $\cos (x)$ بالنسبة إلى $x$ يساوي $- \sin (x)$ .

$2 \sin (4 x) \cos (x) (- \sin (x)) + \cos^{2} (x) \frac{d}{d x} [\sin (4 x)]$

خطوة 5

اضرب $- 1$ في $2$ .

$- 2 \sin (4 x) \cos (x) \sin (x) + \cos^{2} (x) \frac{d}{d x} [\sin (4 x)]$

خطوة 6

أوجِد المشتقة باستخدام قاعدة السلسلة، والتي تنص على أن $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ هو $f' (g (x)) g' (x)$ حيث $f (x) = \sin (x)$ و $g (x) = 4 x$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 6.1

لتطبيق قاعدة السلسلة، عيّن قيمة $u_{2}$ لتصبح $4 x$ .

$- 2 \sin (4 x) \cos (x) \sin (x) + \cos^{2} (x) (\frac{d}{d u_{2}} [\sin (u_{2})] \frac{d}{d x} [4 x])$

خطوة 6.2

مشتق $\sin (u_{2})$ بالنسبة إلى $u_{2}$ يساوي $\cos (u_{2})$ .

$- 2 \sin (4 x) \cos (x) \sin (x) + \cos^{2} (x) (\cos (u_{2}) \frac{d}{d x} [4 x])$

خطوة 6.3

استبدِل كافة حالات حدوث $u_{2}$ بـ $4 x$ .

$- 2 \sin (4 x) \cos (x) \sin (x) + \cos^{2} (x) (\cos (4 x) \frac{d}{d x} [4 x])$

خطوة 7

أوجِد المشتقة.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 7.1

بما أن $4$ عدد ثابت بالنسبة إلى $x$ ، إذن مشتق $4 x$ بالنسبة إلى $x$ يساوي $4 \frac{d}{d x} [x]$ .

$- 2 \sin (4 x) \cos (x) \sin (x) + \cos^{2} (x) \cos (4 x) (4 \frac{d}{d x} [x])$

خطوة 7.2

أوجِد المشتقة باستخدام قاعدة القوة التي تنص على أن $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ هو $n x^{n - 1}$ حيث $n = 1$ .

$- 2 \sin (4 x) \cos (x) \sin (x) + \cos^{2} (x) \cos (4 x) (4 \cdot 1)$

خطوة 7.3

بسّط العبارة.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 7.3.1

اضرب $4$ في $1$ .

$- 2 \sin (4 x) \cos (x) \sin (x) + \cos^{2} (x) \cos (4 x) \cdot 4$

خطوة 7.3.2

انقُل $4$ إلى يسار $\cos^{2} (x) \cos (4 x)$ .

$- 2 \sin (4 x) \cos (x) \sin (x) + 4 \cdot (\cos^{2} (x) \cos (4 x))$

خطوة 7.3.3

أعِد ترتيب الحدود.

$- 2 \cos (x) \sin (x) \sin (4 x) + 4 \cos^{2} (x) \cos (4 x)$