حساب التفاضل والتكامل الأمثلة

$\sin (2 x) \sec (x)$

خطوة 1

أوجِد المشتقة باستخدام قاعدة الضرب التي تنص على أن $\frac{d}{d x} [f (x) g (x)]$ هو $f (x) \frac{d}{d x} [g (x)] + g (x) \frac{d}{d x} [f (x)]$ حيث $f (x) = \sin (2 x)$ و $g (x) = \sec (x)$ .

$\sin (2 x) \frac{d}{d x} [\sec (x)] + \sec (x) \frac{d}{d x} [\sin (2 x)]$

خطوة 2

مشتق $\sec (x)$ بالنسبة إلى $x$ يساوي $\sec (x) \tan (x)$ .

$\sin (2 x) (\sec (x) \tan (x)) + \sec (x) \frac{d}{d x} [\sin (2 x)]$

خطوة 3

أوجِد المشتقة باستخدام قاعدة السلسلة، والتي تنص على أن $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ هو $f' (g (x)) g' (x)$ حيث $f (x) = \sin (x)$ و $g (x) = 2 x$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 3.1

لتطبيق قاعدة السلسلة، عيّن قيمة $u$ لتصبح $2 x$ .

$\sin (2 x) \sec (x) \tan (x) + \sec (x) (\frac{d}{d u} [\sin (u)] \frac{d}{d x} [2 x])$

خطوة 3.2

مشتق $\sin (u)$ بالنسبة إلى $u$ يساوي $\cos (u)$ .

$\sin (2 x) \sec (x) \tan (x) + \sec (x) (\cos (u) \frac{d}{d x} [2 x])$

خطوة 3.3

استبدِل كافة حالات حدوث $u$ بـ $2 x$ .

$\sin (2 x) \sec (x) \tan (x) + \sec (x) (\cos (2 x) \frac{d}{d x} [2 x])$

خطوة 4

أوجِد المشتقة.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 4.1

بما أن $2$ عدد ثابت بالنسبة إلى $x$ ، إذن مشتق $2 x$ بالنسبة إلى $x$ يساوي $2 \frac{d}{d x} [x]$ .

$\sin (2 x) \sec (x) \tan (x) + \sec (x) \cos (2 x) (2 \frac{d}{d x} [x])$

خطوة 4.2

أوجِد المشتقة باستخدام قاعدة القوة التي تنص على أن $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ هو $n x^{n - 1}$ حيث $n = 1$ .

$\sin (2 x) \sec (x) \tan (x) + \sec (x) \cos (2 x) (2 \cdot 1)$

خطوة 4.3

بسّط العبارة.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 4.3.1

اضرب $2$ في $1$ .

$\sin (2 x) \sec (x) \tan (x) + \sec (x) \cos (2 x) \cdot 2$

خطوة 4.3.2

انقُل $2$ إلى يسار $\sec (x) \cos (2 x)$ .

$\sin (2 x) \sec (x) \tan (x) + 2 \cdot (\sec (x) \cos (2 x))$

خطوة 5

بسّط.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 5.1

أعِد ترتيب الحدود.

$\sec (x) \sin (2 x) \tan (x) + 2 \cos (2 x) \sec (x)$

خطوة 5.2

بسّط كل حد.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 5.2.1

أعِد كتابة $\sec (x)$ من حيث الجيوب وجيوب التمام.

$\frac{1}{\cos (x)} \sin (2 x) \tan (x) + 2 \cos (2 x) \sec (x)$

خطوة 5.2.2

اجمع $\frac{1}{\cos (x)}$ و $\sin (2 x)$ .

$\frac{\sin (2 x)}{\cos (x)} \tan (x) + 2 \cos (2 x) \sec (x)$

خطوة 5.2.3

طبّق متطابقة ضعف الزاوية للجيب.

$\frac{2 \sin (x) \cos (x)}{\cos (x)} \tan (x) + 2 \cos (2 x) \sec (x)$

خطوة 5.2.4

ألغِ العامل المشترك لـ $\cos (x)$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 5.2.4.1

ألغِ العامل المشترك.

$\frac{2 \sin (x) \cos (x)}{\cos (x)} \tan (x) + 2 \cos (2 x) \sec (x)$

خطوة 5.2.4.2

اقسِم $2 \sin (x)$ على $1$ .

$2 \sin (x) \tan (x) + 2 \cos (2 x) \sec (x)$

خطوة 5.2.5

أعِد كتابة $\tan (x)$ من حيث الجيوب وجيوب التمام.

$2 \sin (x) \frac{\sin (x)}{\cos (x)} + 2 \cos (2 x) \sec (x)$

خطوة 5.2.6

اضرب $2 \sin (x) \frac{\sin (x)}{\cos (x)}$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 5.2.6.1

اجمع $\frac{\sin (x)}{\cos (x)}$ و $2$ .

$\frac{\sin (x) \cdot 2}{\cos (x)} \sin (x) + 2 \cos (2 x) \sec (x)$

خطوة 5.2.6.2

اجمع $\frac{\sin (x) \cdot 2}{\cos (x)}$ و $\sin (x)$ .

$\frac{\sin (x) \cdot 2 \sin (x)}{\cos (x)} + 2 \cos (2 x) \sec (x)$

خطوة 5.2.6.3

ارفع $\sin (x)$ إلى القوة $1$ .

$\frac{2 (\sin^{1} (x) \sin (x))}{\cos (x)} + 2 \cos (2 x) \sec (x)$

خطوة 5.2.6.4

ارفع $\sin (x)$ إلى القوة $1$ .

$\frac{2 (\sin^{1} (x) \sin^{1} (x))}{\cos (x)} + 2 \cos (2 x) \sec (x)$

خطوة 5.2.6.5

استخدِم قاعدة القوة $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ لتجميع الأُسس.

$\frac{2 {\sin (x)}^{1 + 1}}{\cos (x)} + 2 \cos (2 x) \sec (x)$

خطوة 5.2.6.6

أضف $1$ و $1$ .

$\frac{2 \sin^{2} (x)}{\cos (x)} + 2 \cos (2 x) \sec (x)$

خطوة 5.2.7

أعِد كتابة $\sec (x)$ من حيث الجيوب وجيوب التمام.

$\frac{2 \sin^{2} (x)}{\cos (x)} + 2 \cos (2 x) \frac{1}{\cos (x)}$

خطوة 5.2.8

اضرب $2 \cos (2 x) \frac{1}{\cos (x)}$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 5.2.8.1

اجمع $\frac{1}{\cos (x)}$ و $2$ .

$\frac{2 \sin^{2} (x)}{\cos (x)} + \frac{2}{\cos (x)} \cos (2 x)$

خطوة 5.2.8.2

اجمع $\frac{2}{\cos (x)}$ و $\cos (2 x)$ .

$\frac{2 \sin^{2} (x)}{\cos (x)} + \frac{2 \cos (2 x)}{\cos (x)}$

خطوة 5.3

بسّط كل حد.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 5.3.1

أخرِج العامل $\sin (x)$ من $\sin^{2} (x)$ .

$\frac{2 (\sin (x) \sin (x))}{\cos (x)} + \frac{2 \cos (2 x)}{\cos (x)}$

خطوة 5.3.2

افصِل الكسور.

$\frac{2 (\sin (x))}{1} \cdot \frac{\sin (x)}{\cos (x)} + \frac{2 \cos (2 x)}{\cos (x)}$

خطوة 5.3.3

حوّل من $\frac{\sin (x)}{\cos (x)}$ إلى $\tan (x)$ .

$\frac{2 (\sin (x))}{1} \tan (x) + \frac{2 \cos (2 x)}{\cos (x)}$

خطوة 5.3.4

اقسِم $2 (\sin (x))$ على $1$ .

$2 (\sin (x)) \tan (x) + \frac{2 \cos (2 x)}{\cos (x)}$

خطوة 5.3.5

افصِل الكسور.

$2 \sin (x) \tan (x) + \frac{2}{1} \cdot \frac{\cos (2 x)}{\cos (x)}$

خطوة 5.3.6

أعِد كتابة $\frac{\cos (2 x)}{\cos (x)}$ في صورة حاصل ضرب.

$2 \sin (x) \tan (x) + \frac{2}{1} (\cos (2 x) \frac{1}{\cos (x)})$

خطوة 5.3.7

اكتب $\cos (2 x)$ على هيئة كسر قاسمه $1$ .

$2 \sin (x) \tan (x) + \frac{2}{1} (\frac{\cos (2 x)}{1} \cdot \frac{1}{\cos (x)})$

خطوة 5.3.8

بسّط.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 5.3.8.1

اقسِم $\cos (2 x)$ على $1$ .

$2 \sin (x) \tan (x) + \frac{2}{1} (\cos (2 x) \frac{1}{\cos (x)})$

خطوة 5.3.8.2

حوّل من $\frac{1}{\cos (x)}$ إلى $\sec (x)$ .

$2 \sin (x) \tan (x) + \frac{2}{1} (\cos (2 x) \sec (x))$

خطوة 5.3.9

اقسِم $2$ على $1$ .

$2 \sin (x) \tan (x) + 2 \cos (2 x) \sec (x)$