حساب التفاضل والتكامل الأمثلة

$\ln (\ln (1 - x))$

خطوة 1

أوجِد المشتقة باستخدام قاعدة السلسلة، والتي تنص على أن $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ هو $f' (g (x)) g' (x)$ حيث $f (x) = \ln (x)$ و $g (x) = \ln (1 - x)$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 1.1

لتطبيق قاعدة السلسلة، عيّن قيمة $u_{1}$ لتصبح $\ln (1 - x)$ .

$\frac{d}{d u_{1}} [\ln (u_{1})] \frac{d}{d x} [\ln (1 - x)]$

خطوة 1.2

مشتق $\ln (u_{1})$ بالنسبة إلى $u_{1}$ يساوي $\frac{1}{u_{1}}$ .

$\frac{1}{u_{1}} \frac{d}{d x} [\ln (1 - x)]$

خطوة 1.3

استبدِل كافة حالات حدوث $u_{1}$ بـ $\ln (1 - x)$ .

$\frac{1}{\ln (1 - x)} \frac{d}{d x} [\ln (1 - x)]$

خطوة 2

أوجِد المشتقة باستخدام قاعدة السلسلة، والتي تنص على أن $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ هو $f' (g (x)) g' (x)$ حيث $f (x) = \ln (x)$ و $g (x) = 1 - x$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 2.1

لتطبيق قاعدة السلسلة، عيّن قيمة $u_{2}$ لتصبح $1 - x$ .

$\frac{1}{\ln (1 - x)} (\frac{d}{d u_{2}} [\ln (u_{2})] \frac{d}{d x} [1 - x])$

خطوة 2.2

مشتق $\ln (u_{2})$ بالنسبة إلى $u_{2}$ يساوي $\frac{1}{u_{2}}$ .

$\frac{1}{\ln (1 - x)} (\frac{1}{u_{2}} \frac{d}{d x} [1 - x])$

خطوة 2.3

استبدِل كافة حالات حدوث $u_{2}$ بـ $1 - x$ .

$\frac{1}{\ln (1 - x)} (\frac{1}{1 - x} \frac{d}{d x} [1 - x])$

خطوة 3

أوجِد المشتقة.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 3.1

اضرب $\frac{1}{1 - x}$ في $\frac{1}{\ln (1 - x)}$ .

$\frac{1}{(1 - x) \ln (1 - x)} \frac{d}{d x} [1 - x]$

خطوة 3.2

وفقًا لقاعدة الجمع، فإن مشتق $1 - x$ بالنسبة إلى $x$ هو $\frac{d}{d x} [1] + \frac{d}{d x} [- x]$ .

$\frac{1}{(1 - x) \ln (1 - x)} (\frac{d}{d x} [1] + \frac{d}{d x} [- x])$

خطوة 3.3

بما أن $1$ عدد ثابت بالنسبة إلى $x$ ، فإن مشتق $1$ بالنسبة إلى $x$ هو $0$ .

$\frac{1}{(1 - x) \ln (1 - x)} (0 + \frac{d}{d x} [- x])$

خطوة 3.4

أضف $0$ و $\frac{d}{d x} [- x]$ .

$\frac{1}{(1 - x) \ln (1 - x)} \frac{d}{d x} [- x]$

خطوة 3.5

بما أن $- 1$ عدد ثابت بالنسبة إلى $x$ ، إذن مشتق $- x$ بالنسبة إلى $x$ يساوي $- \frac{d}{d x} [x]$ .

$\frac{1}{(1 - x) \ln (1 - x)} (- \frac{d}{d x} [x])$

خطوة 3.6

أوجِد المشتقة باستخدام قاعدة القوة التي تنص على أن $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ هو $n x^{n - 1}$ حيث $n = 1$ .

$\frac{1}{(1 - x) \ln (1 - x)} (- 1 \cdot 1)$

خطوة 3.7

اجمع الكسور.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 3.7.1

اضرب $- 1$ في $1$ .

$\frac{1}{(1 - x) \ln (1 - x)} \cdot - 1$

خطوة 3.7.2

اجمع $\frac{1}{(1 - x) \ln (1 - x)}$ و $- 1$ .

$\frac{- 1}{(1 - x) \ln (1 - x)}$

خطوة 3.7.3

بسّط العبارة.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 3.7.3.1

انقُل السالب أمام الكسر.

$- \frac{1}{(1 - x) \ln (1 - x)}$

خطوة 3.7.3.2

أعِد ترتيب العوامل في $- \frac{1}{(1 - x) \ln (1 - x)}$ .

$- \frac{1}{\ln (1 - x) (1 - x)}$