حساب التفاضل والتكامل الأمثلة

$\sin (\arccos (3 x))$

خطوة 1

بسّط بالتحليل إلى عوامل.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 1.1

ارسم مثلثًا في المستوى تقع رؤوسه عند النقطتين $(3 x, \sqrt{1^{2} - {(3 x)}^{2}})$ و $(3 x, 0)$ ونقطة الأصل. ومن ثمَّ، $\arccos (3 x)$ هي الزاوية المحصورة بين الاتجاه الموجب للمحور السيني الموجب والشعاع الذي يبدأ من نقطة الأصل ويمر عبر $(3 x, \sqrt{1^{2} - {(3 x)}^{2}})$ . إذن، $\sin (\arccos (3 x))$ تساوي $\sqrt{1 - {(3 x)}^{2}}$ .

$\frac{d}{d x} [\sqrt{1 - {(3 x)}^{2}}]$

خطوة 1.2

أخرِج العامل $3$ من $3 x$ .

$\frac{d}{d x} [\sqrt{1 - {(3 (x))}^{2}}]$

خطوة 1.3

بسّط العبارة.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 1.3.1

طبّق قاعدة الضرب على $3 (x)$ .

$\frac{d}{d x} [\sqrt{1 - (3^{2} x^{2})}]$

خطوة 1.3.2

ارفع $3$ إلى القوة $2$ .

$\frac{d}{d x} [\sqrt{1 - (9 x^{2})}]$

خطوة 1.3.3

اضرب $9$ في $- 1$ .

$\frac{d}{d x} [\sqrt{1 - 9 x^{2}}]$

خطوة 1.3.4

استخدِم $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ لكتابة $\sqrt{1 - 9 x^{2}}$ في صورة ${(1 - 9 x^{2})}^{\frac{1}{2}}$ .

$\frac{d}{d x} [{(1 - 9 x^{2})}^{\frac{1}{2}}]$

خطوة 2

أوجِد المشتقة باستخدام قاعدة السلسلة، والتي تنص على أن $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ هو $f' (g (x)) g' (x)$ حيث $f (x) = x^{\frac{1}{2}}$ و $g (x) = 1 - 9 x^{2}$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 2.1

لتطبيق قاعدة السلسلة، عيّن قيمة $u$ لتصبح $1 - 9 x^{2}$ .

$\frac{d}{d u} [u^{\frac{1}{2}}] \frac{d}{d x} [1 - 9 x^{2}]$

خطوة 2.2

أوجِد المشتقة باستخدام قاعدة القوة التي تنص على أن $\frac{d}{d u} [u^{n}]$ هو $n u^{n - 1}$ حيث $n = \frac{1}{2}$ .

$\frac{1}{2} u^{\frac{1}{2} - 1} \frac{d}{d x} [1 - 9 x^{2}]$

خطوة 2.3

استبدِل كافة حالات حدوث $u$ بـ $1 - 9 x^{2}$ .

$\frac{1}{2} {(1 - 9 x^{2})}^{\frac{1}{2} - 1} \frac{d}{d x} [1 - 9 x^{2}]$

خطوة 3

لكتابة $- 1$ على هيئة كسر بقاسم مشترك، اضرب في $\frac{2}{2}$ .

$\frac{1}{2} {(1 - 9 x^{2})}^{\frac{1}{2} - 1 \cdot \frac{2}{2}} \frac{d}{d x} [1 - 9 x^{2}]$

خطوة 4

اجمع $- 1$ و $\frac{2}{2}$ .

$\frac{1}{2} {(1 - 9 x^{2})}^{\frac{1}{2} + \frac{- 1 \cdot 2}{2}} \frac{d}{d x} [1 - 9 x^{2}]$

خطوة 5

اجمع البسوط على القاسم المشترك.

$\frac{1}{2} {(1 - 9 x^{2})}^{\frac{1 - 1 \cdot 2}{2}} \frac{d}{d x} [1 - 9 x^{2}]$

خطوة 6

بسّط بَسْط الكسر.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 6.1

اضرب $- 1$ في $2$ .

$\frac{1}{2} {(1 - 9 x^{2})}^{\frac{1 - 2}{2}} \frac{d}{d x} [1 - 9 x^{2}]$

خطوة 6.2

اطرح $2$ من $1$ .

$\frac{1}{2} {(1 - 9 x^{2})}^{\frac{- 1}{2}} \frac{d}{d x} [1 - 9 x^{2}]$

خطوة 7

اجمع الكسور.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 7.1

انقُل السالب أمام الكسر.

$\frac{1}{2} {(1 - 9 x^{2})}^{- \frac{1}{2}} \frac{d}{d x} [1 - 9 x^{2}]$

خطوة 7.2

اجمع $\frac{1}{2}$ و ${(1 - 9 x^{2})}^{- \frac{1}{2}}$ .

$\frac{{(1 - 9 x^{2})}^{- \frac{1}{2}}}{2} \frac{d}{d x} [1 - 9 x^{2}]$

خطوة 7.3

انقُل ${(1 - 9 x^{2})}^{- \frac{1}{2}}$ إلى القاسم باستخدام قاعدة الأُسس السالبة $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$\frac{1}{2 {(1 - 9 x^{2})}^{\frac{1}{2}}} \frac{d}{d x} [1 - 9 x^{2}]$

خطوة 8

وفقًا لقاعدة الجمع، فإن مشتق $1 - 9 x^{2}$ بالنسبة إلى $x$ هو $\frac{d}{d x} [1] + \frac{d}{d x} [- 9 x^{2}]$ .

$\frac{1}{2 {(1 - 9 x^{2})}^{\frac{1}{2}}} (\frac{d}{d x} [1] + \frac{d}{d x} [- 9 x^{2}])$

خطوة 9

بما أن $1$ عدد ثابت بالنسبة إلى $x$ ، فإن مشتق $1$ بالنسبة إلى $x$ هو $0$ .

$\frac{1}{2 {(1 - 9 x^{2})}^{\frac{1}{2}}} (0 + \frac{d}{d x} [- 9 x^{2}])$

خطوة 10

أضف $0$ و $\frac{d}{d x} [- 9 x^{2}]$ .

$\frac{1}{2 {(1 - 9 x^{2})}^{\frac{1}{2}}} \frac{d}{d x} [- 9 x^{2}]$

خطوة 11

بما أن $- 9$ عدد ثابت بالنسبة إلى $x$ ، إذن مشتق $- 9 x^{2}$ بالنسبة إلى $x$ يساوي $- 9 \frac{d}{d x} [x^{2}]$ .

$\frac{1}{2 {(1 - 9 x^{2})}^{\frac{1}{2}}} (- 9 \frac{d}{d x} [x^{2}])$

خطوة 12

اجمع الكسور.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 12.1

اجمع $- 9$ و $\frac{1}{2 {(1 - 9 x^{2})}^{\frac{1}{2}}}$ .

$\frac{- 9}{2 {(1 - 9 x^{2})}^{\frac{1}{2}}} \frac{d}{d x} [x^{2}]$

خطوة 12.2

انقُل السالب أمام الكسر.

$- \frac{9}{2 {(1 - 9 x^{2})}^{\frac{1}{2}}} \frac{d}{d x} [x^{2}]$

خطوة 13

أوجِد المشتقة باستخدام قاعدة القوة التي تنص على أن $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ هو $n x^{n - 1}$ حيث $n = 2$ .

$- \frac{9}{2 {(1 - 9 x^{2})}^{\frac{1}{2}}} (2 x)$

خطوة 14

بسّط الحدود.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 14.1

اضرب $2$ في $- 1$ .

$- 2 \frac{9}{2 {(1 - 9 x^{2})}^{\frac{1}{2}}} x$

خطوة 14.2

اجمع $- 2$ و $\frac{9}{2 {(1 - 9 x^{2})}^{\frac{1}{2}}}$ .

$\frac{- 2 \cdot 9}{2 {(1 - 9 x^{2})}^{\frac{1}{2}}} x$

خطوة 14.3

اضرب $- 2$ في $9$ .

$\frac{- 18}{2 {(1 - 9 x^{2})}^{\frac{1}{2}}} x$

خطوة 14.4

اجمع $\frac{- 18}{2 {(1 - 9 x^{2})}^{\frac{1}{2}}}$ و $x$ .

$\frac{- 18 x}{2 {(1 - 9 x^{2})}^{\frac{1}{2}}}$

خطوة 14.5

أخرِج العامل $2$ من $- 18 x$ .

$\frac{2 (- 9 x)}{2 {(1 - 9 x^{2})}^{\frac{1}{2}}}$

خطوة 15

ألغِ العوامل المشتركة.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 15.1

أخرِج العامل $2$ من $2 {(1 - 9 x^{2})}^{\frac{1}{2}}$ .

$\frac{2 (- 9 x)}{2 ({(1 - 9 x^{2})}^{\frac{1}{2}})}$

خطوة 15.2

ألغِ العامل المشترك.

$\frac{2 (- 9 x)}{2 {(1 - 9 x^{2})}^{\frac{1}{2}}}$

خطوة 15.3

أعِد كتابة العبارة.

$\frac{- 9 x}{{(1 - 9 x^{2})}^{\frac{1}{2}}}$

خطوة 16

انقُل السالب أمام الكسر.

$- \frac{9 x}{{(1 - 9 x^{2})}^{\frac{1}{2}}}$