حساب التفاضل والتكامل الأمثلة

$f (x) = \frac{12 x^{2} - 1 x + 2}{3 x + 2}$

خطوة 1

أعِد كتابة $- 1 x$ بالصيغة $- x$ .

$\frac{d}{d x} [\frac{12 x^{2} - x + 2}{3 x + 2}]$

خطوة 2

أوجِد المشتقة باستخدام قاعدة القسمة التي تنص على أن $\frac{d}{d x} [\frac{f (x)}{g (x)}]$ هو $\frac{g (x) \frac{d}{d x} [f (x)] - f (x) \frac{d}{d x} [g (x)]}{{g (x)}^{2}}$ حيث $f (x) = 12 x^{2} - x + 2$ و $g (x) = 3 x + 2$ .

$\frac{(3 x + 2) \frac{d}{d x} [12 x^{2} - x + 2] - (12 x^{2} - x + 2) \frac{d}{d x} [3 x + 2]}{{(3 x + 2)}^{2}}$

خطوة 3

أوجِد المشتقة.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 3.1

وفقًا لقاعدة الجمع، فإن مشتق $12 x^{2} - x + 2$ بالنسبة إلى $x$ هو $\frac{d}{d x} [12 x^{2}] + \frac{d}{d x} [- x] + \frac{d}{d x} [2]$ .

$\frac{(3 x + 2) (\frac{d}{d x} [12 x^{2}] + \frac{d}{d x} [- x] + \frac{d}{d x} [2]) - (12 x^{2} - x + 2) \frac{d}{d x} [3 x + 2]}{{(3 x + 2)}^{2}}$

خطوة 3.2

بما أن $12$ عدد ثابت بالنسبة إلى $x$ ، إذن مشتق $12 x^{2}$ بالنسبة إلى $x$ يساوي $12 \frac{d}{d x} [x^{2}]$ .

$\frac{(3 x + 2) (12 \frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [- x] + \frac{d}{d x} [2]) - (12 x^{2} - x + 2) \frac{d}{d x} [3 x + 2]}{{(3 x + 2)}^{2}}$

خطوة 3.3

أوجِد المشتقة باستخدام قاعدة القوة التي تنص على أن $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ هو $n x^{n - 1}$ حيث $n = 2$ .

$\frac{(3 x + 2) (12 (2 x) + \frac{d}{d x} [- x] + \frac{d}{d x} [2]) - (12 x^{2} - x + 2) \frac{d}{d x} [3 x + 2]}{{(3 x + 2)}^{2}}$

خطوة 3.4

اضرب $2$ في $12$ .

$\frac{(3 x + 2) (24 x + \frac{d}{d x} [- x] + \frac{d}{d x} [2]) - (12 x^{2} - x + 2) \frac{d}{d x} [3 x + 2]}{{(3 x + 2)}^{2}}$

خطوة 3.5

بما أن $- 1$ عدد ثابت بالنسبة إلى $x$ ، إذن مشتق $- x$ بالنسبة إلى $x$ يساوي $- \frac{d}{d x} [x]$ .

$\frac{(3 x + 2) (24 x - \frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [2]) - (12 x^{2} - x + 2) \frac{d}{d x} [3 x + 2]}{{(3 x + 2)}^{2}}$

خطوة 3.6

أوجِد المشتقة باستخدام قاعدة القوة التي تنص على أن $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ هو $n x^{n - 1}$ حيث $n = 1$ .

$\frac{(3 x + 2) (24 x - 1 \cdot 1 + \frac{d}{d x} [2]) - (12 x^{2} - x + 2) \frac{d}{d x} [3 x + 2]}{{(3 x + 2)}^{2}}$

خطوة 3.7

اضرب $- 1$ في $1$ .

$\frac{(3 x + 2) (24 x - 1 + \frac{d}{d x} [2]) - (12 x^{2} - x + 2) \frac{d}{d x} [3 x + 2]}{{(3 x + 2)}^{2}}$

خطوة 3.8

بما أن $2$ عدد ثابت بالنسبة إلى $x$ ، فإن مشتق $2$ بالنسبة إلى $x$ هو $0$ .

$\frac{(3 x + 2) (24 x - 1 + 0) - (12 x^{2} - x + 2) \frac{d}{d x} [3 x + 2]}{{(3 x + 2)}^{2}}$

خطوة 3.9

أضف $24 x - 1$ و $0$ .

$\frac{(3 x + 2) (24 x - 1) - (12 x^{2} - x + 2) \frac{d}{d x} [3 x + 2]}{{(3 x + 2)}^{2}}$

خطوة 3.10

وفقًا لقاعدة الجمع، فإن مشتق $3 x + 2$ بالنسبة إلى $x$ هو $\frac{d}{d x} [3 x] + \frac{d}{d x} [2]$ .

$\frac{(3 x + 2) (24 x - 1) - (12 x^{2} - x + 2) (\frac{d}{d x} [3 x] + \frac{d}{d x} [2])}{{(3 x + 2)}^{2}}$

خطوة 3.11

بما أن $3$ عدد ثابت بالنسبة إلى $x$ ، إذن مشتق $3 x$ بالنسبة إلى $x$ يساوي $3 \frac{d}{d x} [x]$ .

$\frac{(3 x + 2) (24 x - 1) - (12 x^{2} - x + 2) (3 \frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [2])}{{(3 x + 2)}^{2}}$

خطوة 3.12

أوجِد المشتقة باستخدام قاعدة القوة التي تنص على أن $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ هو $n x^{n - 1}$ حيث $n = 1$ .

$\frac{(3 x + 2) (24 x - 1) - (12 x^{2} - x + 2) (3 \cdot 1 + \frac{d}{d x} [2])}{{(3 x + 2)}^{2}}$

خطوة 3.13

اضرب $3$ في $1$ .

$\frac{(3 x + 2) (24 x - 1) - (12 x^{2} - x + 2) (3 + \frac{d}{d x} [2])}{{(3 x + 2)}^{2}}$

خطوة 3.14

بما أن $2$ عدد ثابت بالنسبة إلى $x$ ، فإن مشتق $2$ بالنسبة إلى $x$ هو $0$ .

$\frac{(3 x + 2) (24 x - 1) - (12 x^{2} - x + 2) (3 + 0)}{{(3 x + 2)}^{2}}$

خطوة 3.15

بسّط العبارة.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 3.15.1

أضف $3$ و $0$ .

$\frac{(3 x + 2) (24 x - 1) - (12 x^{2} - x + 2) \cdot 3}{{(3 x + 2)}^{2}}$

خطوة 3.15.2

اضرب $3$ في $- 1$ .

$\frac{(3 x + 2) (24 x - 1) - 3 (12 x^{2} - x + 2)}{{(3 x + 2)}^{2}}$

خطوة 4

بسّط.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 4.1

طبّق خاصية التوزيع.

$\frac{(3 x + 2) (24 x - 1) - 3 (12 x^{2}) - 3 (- x) - 3 \cdot 2}{{(3 x + 2)}^{2}}$

خطوة 4.2

بسّط بَسْط الكسر.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 4.2.1

بسّط كل حد.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 4.2.1.1

وسّع $(3 x + 2) (24 x - 1)$ باستخدام طريقة "الأول، الخارجي، الداخلي، الأخير".

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 4.2.1.1.1

طبّق خاصية التوزيع.

$\frac{3 x (24 x - 1) + 2 (24 x - 1) - 3 (12 x^{2}) - 3 (- x) - 3 \cdot 2}{{(3 x + 2)}^{2}}$

خطوة 4.2.1.1.2

طبّق خاصية التوزيع.

$\frac{3 x (24 x) + 3 x \cdot - 1 + 2 (24 x - 1) - 3 (12 x^{2}) - 3 (- x) - 3 \cdot 2}{{(3 x + 2)}^{2}}$

خطوة 4.2.1.1.3

طبّق خاصية التوزيع.

$\frac{3 x (24 x) + 3 x \cdot - 1 + 2 (24 x) + 2 \cdot - 1 - 3 (12 x^{2}) - 3 (- x) - 3 \cdot 2}{{(3 x + 2)}^{2}}$

خطوة 4.2.1.2

بسّط ووحّد الحدود المتشابهة.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 4.2.1.2.1

بسّط كل حد.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 4.2.1.2.1.1

أعِد الكتابة باستخدام خاصية الإبدال لعملية الضرب.

$\frac{3 \cdot 24 x \cdot x + 3 x \cdot - 1 + 2 (24 x) + 2 \cdot - 1 - 3 (12 x^{2}) - 3 (- x) - 3 \cdot 2}{{(3 x + 2)}^{2}}$

خطوة 4.2.1.2.1.2

اضرب $x$ في $x$ بجمع الأُسس.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 4.2.1.2.1.2.1

انقُل $x$ .

$\frac{3 \cdot 24 (x \cdot x) + 3 x \cdot - 1 + 2 (24 x) + 2 \cdot - 1 - 3 (12 x^{2}) - 3 (- x) - 3 \cdot 2}{{(3 x + 2)}^{2}}$

خطوة 4.2.1.2.1.2.2

اضرب $x$ في $x$ .

$\frac{3 \cdot 24 x^{2} + 3 x \cdot - 1 + 2 (24 x) + 2 \cdot - 1 - 3 (12 x^{2}) - 3 (- x) - 3 \cdot 2}{{(3 x + 2)}^{2}}$

خطوة 4.2.1.2.1.3

اضرب $3$ في $24$ .

$\frac{72 x^{2} + 3 x \cdot - 1 + 2 (24 x) + 2 \cdot - 1 - 3 (12 x^{2}) - 3 (- x) - 3 \cdot 2}{{(3 x + 2)}^{2}}$

خطوة 4.2.1.2.1.4

اضرب $- 1$ في $3$ .

$\frac{72 x^{2} - 3 x + 2 (24 x) + 2 \cdot - 1 - 3 (12 x^{2}) - 3 (- x) - 3 \cdot 2}{{(3 x + 2)}^{2}}$

خطوة 4.2.1.2.1.5

اضرب $24$ في $2$ .

$\frac{72 x^{2} - 3 x + 48 x + 2 \cdot - 1 - 3 (12 x^{2}) - 3 (- x) - 3 \cdot 2}{{(3 x + 2)}^{2}}$

خطوة 4.2.1.2.1.6

اضرب $2$ في $- 1$ .

$\frac{72 x^{2} - 3 x + 48 x - 2 - 3 (12 x^{2}) - 3 (- x) - 3 \cdot 2}{{(3 x + 2)}^{2}}$

خطوة 4.2.1.2.2

أضف $- 3 x$ و $48 x$ .

$\frac{72 x^{2} + 45 x - 2 - 3 (12 x^{2}) - 3 (- x) - 3 \cdot 2}{{(3 x + 2)}^{2}}$

خطوة 4.2.1.3

اضرب $12$ في $- 3$ .

$\frac{72 x^{2} + 45 x - 2 - 36 x^{2} - 3 (- x) - 3 \cdot 2}{{(3 x + 2)}^{2}}$

خطوة 4.2.1.4

اضرب $- 1$ في $- 3$ .

$\frac{72 x^{2} + 45 x - 2 - 36 x^{2} + 3 x - 3 \cdot 2}{{(3 x + 2)}^{2}}$

خطوة 4.2.1.5

اضرب $- 3$ في $2$ .

$\frac{72 x^{2} + 45 x - 2 - 36 x^{2} + 3 x - 6}{{(3 x + 2)}^{2}}$

خطوة 4.2.2

اطرح $36 x^{2}$ من $72 x^{2}$ .

$\frac{36 x^{2} + 45 x - 2 + 3 x - 6}{{(3 x + 2)}^{2}}$

خطوة 4.2.3

أضف $45 x$ و $3 x$ .

$\frac{36 x^{2} + 48 x - 2 - 6}{{(3 x + 2)}^{2}}$

خطوة 4.2.4

اطرح $6$ من $- 2$ .

$\frac{36 x^{2} + 48 x - 8}{{(3 x + 2)}^{2}}$

خطوة 4.3

أخرِج العامل $4$ من $36 x^{2} + 48 x - 8$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 4.3.1

أخرِج العامل $4$ من $36 x^{2}$ .

$\frac{4 (9 x^{2}) + 48 x - 8}{{(3 x + 2)}^{2}}$

خطوة 4.3.2

أخرِج العامل $4$ من $48 x$ .

$\frac{4 (9 x^{2}) + 4 (12 x) - 8}{{(3 x + 2)}^{2}}$

خطوة 4.3.3

أخرِج العامل $4$ من $- 8$ .

$\frac{4 (9 x^{2}) + 4 (12 x) + 4 (- 2)}{{(3 x + 2)}^{2}}$

خطوة 4.3.4

أخرِج العامل $4$ من $4 (9 x^{2}) + 4 (12 x)$ .

$\frac{4 (9 x^{2} + 12 x) + 4 (- 2)}{{(3 x + 2)}^{2}}$

خطوة 4.3.5

أخرِج العامل $4$ من $4 (9 x^{2} + 12 x) + 4 (- 2)$ .

$\frac{4 (9 x^{2} + 12 x - 2)}{{(3 x + 2)}^{2}}$