حساب التفاضل والتكامل الأمثلة

$f (x) = (7 x^{4} - 5 x^{3} + 6 x) \ln (x)$

خطوة 1

أوجِد المشتقة باستخدام قاعدة الضرب التي تنص على أن $\frac{d}{d x} [f (x) g (x)]$ هو $f (x) \frac{d}{d x} [g (x)] + g (x) \frac{d}{d x} [f (x)]$ حيث $f (x) = 7 x^{4} - 5 x^{3} + 6 x$ و $g (x) = \ln (x)$ .

$(7 x^{4} - 5 x^{3} + 6 x) \frac{d}{d x} [\ln (x)] + \ln (x) \frac{d}{d x} [7 x^{4} - 5 x^{3} + 6 x]$

خطوة 2

مشتق $\ln (x)$ بالنسبة إلى $x$ يساوي $\frac{1}{x}$ .

$(7 x^{4} - 5 x^{3} + 6 x) \frac{1}{x} + \ln (x) \frac{d}{d x} [7 x^{4} - 5 x^{3} + 6 x]$

خطوة 3

أوجِد المشتقة.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 3.1

وفقًا لقاعدة الجمع، فإن مشتق $7 x^{4} - 5 x^{3} + 6 x$ بالنسبة إلى $x$ هو $\frac{d}{d x} [7 x^{4}] + \frac{d}{d x} [- 5 x^{3}] + \frac{d}{d x} [6 x]$ .

$(7 x^{4} - 5 x^{3} + 6 x) \frac{1}{x} + \ln (x) (\frac{d}{d x} [7 x^{4}] + \frac{d}{d x} [- 5 x^{3}] + \frac{d}{d x} [6 x])$

خطوة 3.2

بما أن $7$ عدد ثابت بالنسبة إلى $x$ ، إذن مشتق $7 x^{4}$ بالنسبة إلى $x$ يساوي $7 \frac{d}{d x} [x^{4}]$ .

$(7 x^{4} - 5 x^{3} + 6 x) \frac{1}{x} + \ln (x) (7 \frac{d}{d x} [x^{4}] + \frac{d}{d x} [- 5 x^{3}] + \frac{d}{d x} [6 x])$

خطوة 3.3

أوجِد المشتقة باستخدام قاعدة القوة التي تنص على أن $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ هو $n x^{n - 1}$ حيث $n = 4$ .

$(7 x^{4} - 5 x^{3} + 6 x) \frac{1}{x} + \ln (x) (7 (4 x^{3}) + \frac{d}{d x} [- 5 x^{3}] + \frac{d}{d x} [6 x])$

خطوة 3.4

اضرب $4$ في $7$ .

$(7 x^{4} - 5 x^{3} + 6 x) \frac{1}{x} + \ln (x) (28 x^{3} + \frac{d}{d x} [- 5 x^{3}] + \frac{d}{d x} [6 x])$

خطوة 3.5

بما أن $- 5$ عدد ثابت بالنسبة إلى $x$ ، إذن مشتق $- 5 x^{3}$ بالنسبة إلى $x$ يساوي $- 5 \frac{d}{d x} [x^{3}]$ .

$(7 x^{4} - 5 x^{3} + 6 x) \frac{1}{x} + \ln (x) (28 x^{3} - 5 \frac{d}{d x} [x^{3}] + \frac{d}{d x} [6 x])$

خطوة 3.6

أوجِد المشتقة باستخدام قاعدة القوة التي تنص على أن $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ هو $n x^{n - 1}$ حيث $n = 3$ .

$(7 x^{4} - 5 x^{3} + 6 x) \frac{1}{x} + \ln (x) (28 x^{3} - 5 (3 x^{2}) + \frac{d}{d x} [6 x])$

خطوة 3.7

اضرب $3$ في $- 5$ .

$(7 x^{4} - 5 x^{3} + 6 x) \frac{1}{x} + \ln (x) (28 x^{3} - 15 x^{2} + \frac{d}{d x} [6 x])$

خطوة 3.8

بما أن $6$ عدد ثابت بالنسبة إلى $x$ ، إذن مشتق $6 x$ بالنسبة إلى $x$ يساوي $6 \frac{d}{d x} [x]$ .

$(7 x^{4} - 5 x^{3} + 6 x) \frac{1}{x} + \ln (x) (28 x^{3} - 15 x^{2} + 6 \frac{d}{d x} [x])$

خطوة 3.9

أوجِد المشتقة باستخدام قاعدة القوة التي تنص على أن $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ هو $n x^{n - 1}$ حيث $n = 1$ .

$(7 x^{4} - 5 x^{3} + 6 x) \frac{1}{x} + \ln (x) (28 x^{3} - 15 x^{2} + 6 \cdot 1)$

خطوة 3.10

اضرب $6$ في $1$ .

$(7 x^{4} - 5 x^{3} + 6 x) \frac{1}{x} + \ln (x) (28 x^{3} - 15 x^{2} + 6)$

خطوة 4

بسّط.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 4.1

طبّق خاصية التوزيع.

$7 x^{4} \frac{1}{x} - 5 x^{3} \frac{1}{x} + 6 x \frac{1}{x} + \ln (x) (28 x^{3} - 15 x^{2} + 6)$

خطوة 4.2

طبّق خاصية التوزيع.

$7 x^{4} \frac{1}{x} - 5 x^{3} \frac{1}{x} + 6 x \frac{1}{x} + \ln (x) (28 x^{3}) + \ln (x) (- 15 x^{2}) + \ln (x) \cdot 6$

خطوة 4.3

جمّع الحدود.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 4.3.1

اجمع $7$ و $\frac{1}{x}$ .

$x^{4} \frac{7}{x} - 5 x^{3} \frac{1}{x} + 6 x \frac{1}{x} + \ln (x) (28 x^{3}) + \ln (x) (- 15 x^{2}) + \ln (x) \cdot 6$

خطوة 4.3.2

اجمع $x^{4}$ و $\frac{7}{x}$ .

$\frac{x^{4} \cdot 7}{x} - 5 x^{3} \frac{1}{x} + 6 x \frac{1}{x} + \ln (x) (28 x^{3}) + \ln (x) (- 15 x^{2}) + \ln (x) \cdot 6$

خطوة 4.3.3

انقُل $7$ إلى يسار $x^{4}$ .

$\frac{7 \cdot x^{4}}{x} - 5 x^{3} \frac{1}{x} + 6 x \frac{1}{x} + \ln (x) (28 x^{3}) + \ln (x) (- 15 x^{2}) + \ln (x) \cdot 6$

خطوة 4.3.4

احذِف العامل المشترك لـ $x^{4}$ و $x$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 4.3.4.1

أخرِج العامل $x$ من $7 x^{4}$ .

$\frac{x (7 x^{3})}{x} - 5 x^{3} \frac{1}{x} + 6 x \frac{1}{x} + \ln (x) (28 x^{3}) + \ln (x) (- 15 x^{2}) + \ln (x) \cdot 6$

خطوة 4.3.4.2

ألغِ العوامل المشتركة.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 4.3.4.2.1

ارفع $x$ إلى القوة $1$ .

$\frac{x (7 x^{3})}{x^{1}} - 5 x^{3} \frac{1}{x} + 6 x \frac{1}{x} + \ln (x) (28 x^{3}) + \ln (x) (- 15 x^{2}) + \ln (x) \cdot 6$

خطوة 4.3.4.2.2

أخرِج العامل $x$ من $x^{1}$ .

$\frac{x (7 x^{3})}{x \cdot 1} - 5 x^{3} \frac{1}{x} + 6 x \frac{1}{x} + \ln (x) (28 x^{3}) + \ln (x) (- 15 x^{2}) + \ln (x) \cdot 6$

خطوة 4.3.4.2.3

ألغِ العامل المشترك.

$\frac{x (7 x^{3})}{x \cdot 1} - 5 x^{3} \frac{1}{x} + 6 x \frac{1}{x} + \ln (x) (28 x^{3}) + \ln (x) (- 15 x^{2}) + \ln (x) \cdot 6$

خطوة 4.3.4.2.4

أعِد كتابة العبارة.

$\frac{7 x^{3}}{1} - 5 x^{3} \frac{1}{x} + 6 x \frac{1}{x} + \ln (x) (28 x^{3}) + \ln (x) (- 15 x^{2}) + \ln (x) \cdot 6$

خطوة 4.3.4.2.5

اقسِم $7 x^{3}$ على $1$ .

$7 x^{3} - 5 x^{3} \frac{1}{x} + 6 x \frac{1}{x} + \ln (x) (28 x^{3}) + \ln (x) (- 15 x^{2}) + \ln (x) \cdot 6$

خطوة 4.3.5

اجمع $- 5$ و $\frac{1}{x}$ .

$7 x^{3} + x^{3} \frac{- 5}{x} + 6 x \frac{1}{x} + \ln (x) (28 x^{3}) + \ln (x) (- 15 x^{2}) + \ln (x) \cdot 6$

خطوة 4.3.6

اجمع $x^{3}$ و $\frac{- 5}{x}$ .

$7 x^{3} + \frac{x^{3} \cdot - 5}{x} + 6 x \frac{1}{x} + \ln (x) (28 x^{3}) + \ln (x) (- 15 x^{2}) + \ln (x) \cdot 6$

خطوة 4.3.7

انقُل $- 5$ إلى يسار $x^{3}$ .

$7 x^{3} + \frac{- 5 \cdot x^{3}}{x} + 6 x \frac{1}{x} + \ln (x) (28 x^{3}) + \ln (x) (- 15 x^{2}) + \ln (x) \cdot 6$

خطوة 4.3.8

احذِف العامل المشترك لـ $x^{3}$ و $x$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 4.3.8.1

أخرِج العامل $x$ من $- 5 x^{3}$ .

$7 x^{3} + \frac{x (- 5 x^{2})}{x} + 6 x \frac{1}{x} + \ln (x) (28 x^{3}) + \ln (x) (- 15 x^{2}) + \ln (x) \cdot 6$

خطوة 4.3.8.2

ألغِ العوامل المشتركة.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 4.3.8.2.1

ارفع $x$ إلى القوة $1$ .

$7 x^{3} + \frac{x (- 5 x^{2})}{x^{1}} + 6 x \frac{1}{x} + \ln (x) (28 x^{3}) + \ln (x) (- 15 x^{2}) + \ln (x) \cdot 6$

خطوة 4.3.8.2.2

أخرِج العامل $x$ من $x^{1}$ .

$7 x^{3} + \frac{x (- 5 x^{2})}{x \cdot 1} + 6 x \frac{1}{x} + \ln (x) (28 x^{3}) + \ln (x) (- 15 x^{2}) + \ln (x) \cdot 6$

خطوة 4.3.8.2.3

ألغِ العامل المشترك.

$7 x^{3} + \frac{x (- 5 x^{2})}{x \cdot 1} + 6 x \frac{1}{x} + \ln (x) (28 x^{3}) + \ln (x) (- 15 x^{2}) + \ln (x) \cdot 6$

خطوة 4.3.8.2.4

أعِد كتابة العبارة.

$7 x^{3} + \frac{- 5 x^{2}}{1} + 6 x \frac{1}{x} + \ln (x) (28 x^{3}) + \ln (x) (- 15 x^{2}) + \ln (x) \cdot 6$

خطوة 4.3.8.2.5

اقسِم $- 5 x^{2}$ على $1$ .

$7 x^{3} - 5 x^{2} + 6 x \frac{1}{x} + \ln (x) (28 x^{3}) + \ln (x) (- 15 x^{2}) + \ln (x) \cdot 6$

خطوة 4.3.9

اجمع $6$ و $\frac{1}{x}$ .

$7 x^{3} - 5 x^{2} + x \frac{6}{x} + \ln (x) (28 x^{3}) + \ln (x) (- 15 x^{2}) + \ln (x) \cdot 6$

خطوة 4.3.10

اجمع $x$ و $\frac{6}{x}$ .

$7 x^{3} - 5 x^{2} + \frac{x \cdot 6}{x} + \ln (x) (28 x^{3}) + \ln (x) (- 15 x^{2}) + \ln (x) \cdot 6$

خطوة 4.3.11

انقُل $6$ إلى يسار $x$ .

$7 x^{3} - 5 x^{2} + \frac{6 \cdot x}{x} + \ln (x) (28 x^{3}) + \ln (x) (- 15 x^{2}) + \ln (x) \cdot 6$

خطوة 4.3.12

ألغِ العامل المشترك لـ $x$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 4.3.12.1

ألغِ العامل المشترك.

$7 x^{3} - 5 x^{2} + \frac{6 x}{x} + \ln (x) (28 x^{3}) + \ln (x) (- 15 x^{2}) + \ln (x) \cdot 6$

خطوة 4.3.12.2

اقسِم $6$ على $1$ .

$7 x^{3} - 5 x^{2} + 6 + \ln (x) (28 x^{3}) + \ln (x) (- 15 x^{2}) + \ln (x) \cdot 6$

خطوة 4.3.13

انقُل $6$ إلى يسار $\ln (x)$ .

$7 x^{3} - 5 x^{2} + 6 + \ln (x) (28 x^{3}) + \ln (x) (- 15 x^{2}) + 6 \ln (x)$

خطوة 4.4

أعِد ترتيب الحدود.

$7 x^{3} - 5 x^{2} + 28 x^{3} \ln (x) - 15 x^{2} \ln (x) + 6 \ln (x) + 6$