حساب التفاضل والتكامل الأمثلة

$f (x) = (8 x + \sqrt{x}) (5 x^{2} + 3)$

خطوة 1

استخدِم $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ لكتابة $\sqrt{x}$ في صورة $x^{\frac{1}{2}}$ .

$\frac{d}{d x} [(8 x + x^{\frac{1}{2}}) (5 x^{2} + 3)]$

خطوة 2

أوجِد المشتقة باستخدام قاعدة الضرب التي تنص على أن $\frac{d}{d x} [f (x) g (x)]$ هو $f (x) \frac{d}{d x} [g (x)] + g (x) \frac{d}{d x} [f (x)]$ حيث $f (x) = 8 x + x^{\frac{1}{2}}$ و $g (x) = 5 x^{2} + 3$ .

$(8 x + x^{\frac{1}{2}}) \frac{d}{d x} [5 x^{2} + 3] + (5 x^{2} + 3) \frac{d}{d x} [8 x + x^{\frac{1}{2}}]$

خطوة 3

أوجِد المشتقة.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 3.1

وفقًا لقاعدة الجمع، فإن مشتق $5 x^{2} + 3$ بالنسبة إلى $x$ هو $\frac{d}{d x} [5 x^{2}] + \frac{d}{d x} [3]$ .

$(8 x + x^{\frac{1}{2}}) (\frac{d}{d x} [5 x^{2}] + \frac{d}{d x} [3]) + (5 x^{2} + 3) \frac{d}{d x} [8 x + x^{\frac{1}{2}}]$

خطوة 3.2

بما أن $5$ عدد ثابت بالنسبة إلى $x$ ، إذن مشتق $5 x^{2}$ بالنسبة إلى $x$ يساوي $5 \frac{d}{d x} [x^{2}]$ .

$(8 x + x^{\frac{1}{2}}) (5 \frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [3]) + (5 x^{2} + 3) \frac{d}{d x} [8 x + x^{\frac{1}{2}}]$

خطوة 3.3

أوجِد المشتقة باستخدام قاعدة القوة التي تنص على أن $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ هو $n x^{n - 1}$ حيث $n = 2$ .

$(8 x + x^{\frac{1}{2}}) (5 (2 x) + \frac{d}{d x} [3]) + (5 x^{2} + 3) \frac{d}{d x} [8 x + x^{\frac{1}{2}}]$

خطوة 3.4

اضرب $2$ في $5$ .

$(8 x + x^{\frac{1}{2}}) (10 x + \frac{d}{d x} [3]) + (5 x^{2} + 3) \frac{d}{d x} [8 x + x^{\frac{1}{2}}]$

خطوة 3.5

بما أن $3$ عدد ثابت بالنسبة إلى $x$ ، فإن مشتق $3$ بالنسبة إلى $x$ هو $0$ .

$(8 x + x^{\frac{1}{2}}) (10 x + 0) + (5 x^{2} + 3) \frac{d}{d x} [8 x + x^{\frac{1}{2}}]$

خطوة 3.6

بسّط العبارة.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 3.6.1

أضف $10 x$ و $0$ .

$(8 x + x^{\frac{1}{2}}) (10 x) + (5 x^{2} + 3) \frac{d}{d x} [8 x + x^{\frac{1}{2}}]$

خطوة 3.6.2

انقُل $10$ إلى يسار $8 x + x^{\frac{1}{2}}$ .

$10 \cdot (8 x + x^{\frac{1}{2}}) x + (5 x^{2} + 3) \frac{d}{d x} [8 x + x^{\frac{1}{2}}]$

خطوة 3.7

وفقًا لقاعدة الجمع، فإن مشتق $8 x + x^{\frac{1}{2}}$ بالنسبة إلى $x$ هو $\frac{d}{d x} [8 x] + \frac{d}{d x} [x^{\frac{1}{2}}]$ .

$10 (8 x + x^{\frac{1}{2}}) x + (5 x^{2} + 3) (\frac{d}{d x} [8 x] + \frac{d}{d x} [x^{\frac{1}{2}}])$

خطوة 3.8

بما أن $8$ عدد ثابت بالنسبة إلى $x$ ، إذن مشتق $8 x$ بالنسبة إلى $x$ يساوي $8 \frac{d}{d x} [x]$ .

$10 (8 x + x^{\frac{1}{2}}) x + (5 x^{2} + 3) (8 \frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [x^{\frac{1}{2}}])$

خطوة 3.9

أوجِد المشتقة باستخدام قاعدة القوة التي تنص على أن $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ هو $n x^{n - 1}$ حيث $n = 1$ .

$10 (8 x + x^{\frac{1}{2}}) x + (5 x^{2} + 3) (8 \cdot 1 + \frac{d}{d x} [x^{\frac{1}{2}}])$

خطوة 3.10

اضرب $8$ في $1$ .

$10 (8 x + x^{\frac{1}{2}}) x + (5 x^{2} + 3) (8 + \frac{d}{d x} [x^{\frac{1}{2}}])$

خطوة 3.11

أوجِد المشتقة باستخدام قاعدة القوة التي تنص على أن $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ هو $n x^{n - 1}$ حيث $n = \frac{1}{2}$ .

$10 (8 x + x^{\frac{1}{2}}) x + (5 x^{2} + 3) (8 + \frac{1}{2} x^{\frac{1}{2} - 1})$

خطوة 4

لكتابة $- 1$ على هيئة كسر بقاسم مشترك، اضرب في $\frac{2}{2}$ .

$10 (8 x + x^{\frac{1}{2}}) x + (5 x^{2} + 3) (8 + \frac{1}{2} x^{\frac{1}{2} - 1 \cdot \frac{2}{2}})$

خطوة 5

اجمع $- 1$ و $\frac{2}{2}$ .

$10 (8 x + x^{\frac{1}{2}}) x + (5 x^{2} + 3) (8 + \frac{1}{2} x^{\frac{1}{2} + \frac{- 1 \cdot 2}{2}})$

خطوة 6

اجمع البسوط على القاسم المشترك.

$10 (8 x + x^{\frac{1}{2}}) x + (5 x^{2} + 3) (8 + \frac{1}{2} x^{\frac{1 - 1 \cdot 2}{2}})$

خطوة 7

بسّط بَسْط الكسر.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 7.1

اضرب $- 1$ في $2$ .

$10 (8 x + x^{\frac{1}{2}}) x + (5 x^{2} + 3) (8 + \frac{1}{2} x^{\frac{1 - 2}{2}})$

خطوة 7.2

اطرح $2$ من $1$ .

$10 (8 x + x^{\frac{1}{2}}) x + (5 x^{2} + 3) (8 + \frac{1}{2} x^{\frac{- 1}{2}})$

خطوة 8

انقُل السالب أمام الكسر.

$10 (8 x + x^{\frac{1}{2}}) x + (5 x^{2} + 3) (8 + \frac{1}{2} x^{- \frac{1}{2}})$

خطوة 9

اجمع $\frac{1}{2}$ و $x^{- \frac{1}{2}}$ .

$10 (8 x + x^{\frac{1}{2}}) x + (5 x^{2} + 3) (8 + \frac{x^{- \frac{1}{2}}}{2})$

خطوة 10

انقُل $x^{- \frac{1}{2}}$ إلى القاسم باستخدام قاعدة الأُسس السالبة $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$10 (8 x + x^{\frac{1}{2}}) x + (5 x^{2} + 3) (8 + \frac{1}{2 x^{\frac{1}{2}}})$

خطوة 11

بسّط.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 11.1

طبّق خاصية التوزيع.

$(10 (8 x) + 10 x^{\frac{1}{2}}) x + (5 x^{2} + 3) (8 + \frac{1}{2 x^{\frac{1}{2}}})$

خطوة 11.2

طبّق خاصية التوزيع.

$10 (8 x) x + 10 x^{\frac{1}{2}} x + (5 x^{2} + 3) (8 + \frac{1}{2 x^{\frac{1}{2}}})$

خطوة 11.3

جمّع الحدود.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 11.3.1

اضرب $8$ في $10$ .

$80 x \cdot x + 10 x^{\frac{1}{2}} x + (5 x^{2} + 3) (8 + \frac{1}{2 x^{\frac{1}{2}}})$

خطوة 11.3.2

ارفع $x$ إلى القوة $1$ .

$80 (x^{1} x) + 10 x^{\frac{1}{2}} x + (5 x^{2} + 3) (8 + \frac{1}{2 x^{\frac{1}{2}}})$

خطوة 11.3.3

ارفع $x$ إلى القوة $1$ .

$80 (x^{1} x^{1}) + 10 x^{\frac{1}{2}} x + (5 x^{2} + 3) (8 + \frac{1}{2 x^{\frac{1}{2}}})$

خطوة 11.3.4

استخدِم قاعدة القوة $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ لتجميع الأُسس.

$80 x^{1 + 1} + 10 x^{\frac{1}{2}} x + (5 x^{2} + 3) (8 + \frac{1}{2 x^{\frac{1}{2}}})$

خطوة 11.3.5

أضف $1$ و $1$ .

$80 x^{2} + 10 x^{\frac{1}{2}} x + (5 x^{2} + 3) (8 + \frac{1}{2 x^{\frac{1}{2}}})$

خطوة 11.3.6

ارفع $x$ إلى القوة $1$ .

$80 x^{2} + 10 (x^{1} x^{\frac{1}{2}}) + (5 x^{2} + 3) (8 + \frac{1}{2 x^{\frac{1}{2}}})$

خطوة 11.3.7

استخدِم قاعدة القوة $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ لتجميع الأُسس.

$80 x^{2} + 10 x^{1 + \frac{1}{2}} + (5 x^{2} + 3) (8 + \frac{1}{2 x^{\frac{1}{2}}})$

خطوة 11.3.8

اكتب $1$ في صورة كسر ذي قاسم مشترك.

$80 x^{2} + 10 x^{\frac{2}{2} + \frac{1}{2}} + (5 x^{2} + 3) (8 + \frac{1}{2 x^{\frac{1}{2}}})$

خطوة 11.3.9

اجمع البسوط على القاسم المشترك.

$80 x^{2} + 10 x^{\frac{2 + 1}{2}} + (5 x^{2} + 3) (8 + \frac{1}{2 x^{\frac{1}{2}}})$

خطوة 11.3.10

أضف $2$ و $1$ .

$80 x^{2} + 10 x^{\frac{3}{2}} + (5 x^{2} + 3) (8 + \frac{1}{2 x^{\frac{1}{2}}})$

خطوة 11.4

أعِد ترتيب الحدود.

$80 x^{2} + (5 x^{2} + 3) (8 + \frac{1}{2 x^{\frac{1}{2}}}) + 10 x^{\frac{3}{2}}$

خطوة 11.5

بسّط كل حد.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 11.5.1

وسّع $(5 x^{2} + 3) (8 + \frac{1}{2 x^{\frac{1}{2}}})$ باستخدام طريقة "الأول، الخارجي، الداخلي، الأخير".

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 11.5.1.1

طبّق خاصية التوزيع.

$80 x^{2} + 5 x^{2} (8 + \frac{1}{2 x^{\frac{1}{2}}}) + 3 (8 + \frac{1}{2 x^{\frac{1}{2}}}) + 10 x^{\frac{3}{2}}$

خطوة 11.5.1.2

طبّق خاصية التوزيع.

$80 x^{2} + 5 x^{2} \cdot 8 + 5 x^{2} \frac{1}{2 x^{\frac{1}{2}}} + 3 (8 + \frac{1}{2 x^{\frac{1}{2}}}) + 10 x^{\frac{3}{2}}$

خطوة 11.5.1.3

طبّق خاصية التوزيع.

$80 x^{2} + 5 x^{2} \cdot 8 + 5 x^{2} \frac{1}{2 x^{\frac{1}{2}}} + 3 \cdot 8 + 3 \frac{1}{2 x^{\frac{1}{2}}} + 10 x^{\frac{3}{2}}$

خطوة 11.5.2

بسّط كل حد.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 11.5.2.1

اضرب $8$ في $5$ .

$80 x^{2} + 40 x^{2} + 5 x^{2} \frac{1}{2 x^{\frac{1}{2}}} + 3 \cdot 8 + 3 \frac{1}{2 x^{\frac{1}{2}}} + 10 x^{\frac{3}{2}}$

خطوة 11.5.2.2

ألغِ العامل المشترك لـ $x^{\frac{1}{2}}$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 11.5.2.2.1

أخرِج العامل $x^{\frac{1}{2}}$ من $5 x^{2}$ .

$80 x^{2} + 40 x^{2} + x^{\frac{1}{2}} (5 x^{\frac{3}{2}}) \frac{1}{2 x^{\frac{1}{2}}} + 3 \cdot 8 + 3 \frac{1}{2 x^{\frac{1}{2}}} + 10 x^{\frac{3}{2}}$

خطوة 11.5.2.2.2

أخرِج العامل $x^{\frac{1}{2}}$ من $2 x^{\frac{1}{2}}$ .

$80 x^{2} + 40 x^{2} + x^{\frac{1}{2}} (5 x^{\frac{3}{2}}) \frac{1}{x^{\frac{1}{2}} \cdot 2} + 3 \cdot 8 + 3 \frac{1}{2 x^{\frac{1}{2}}} + 10 x^{\frac{3}{2}}$

خطوة 11.5.2.2.3

ألغِ العامل المشترك.

$80 x^{2} + 40 x^{2} + x^{\frac{1}{2}} (5 x^{\frac{3}{2}}) \frac{1}{x^{\frac{1}{2}} \cdot 2} + 3 \cdot 8 + 3 \frac{1}{2 x^{\frac{1}{2}}} + 10 x^{\frac{3}{2}}$

خطوة 11.5.2.2.4

أعِد كتابة العبارة.

$80 x^{2} + 40 x^{2} + 5 x^{\frac{3}{2}} \frac{1}{2} + 3 \cdot 8 + 3 \frac{1}{2 x^{\frac{1}{2}}} + 10 x^{\frac{3}{2}}$

خطوة 11.5.2.3

اجمع $5$ و $\frac{1}{2}$ .

$80 x^{2} + 40 x^{2} + x^{\frac{3}{2}} \frac{5}{2} + 3 \cdot 8 + 3 \frac{1}{2 x^{\frac{1}{2}}} + 10 x^{\frac{3}{2}}$

خطوة 11.5.2.4

اجمع $x^{\frac{3}{2}}$ و $\frac{5}{2}$ .

$80 x^{2} + 40 x^{2} + \frac{x^{\frac{3}{2}} \cdot 5}{2} + 3 \cdot 8 + 3 \frac{1}{2 x^{\frac{1}{2}}} + 10 x^{\frac{3}{2}}$

خطوة 11.5.2.5

انقُل $5$ إلى يسار $x^{\frac{3}{2}}$ .

$80 x^{2} + 40 x^{2} + \frac{5 \cdot x^{\frac{3}{2}}}{2} + 3 \cdot 8 + 3 \frac{1}{2 x^{\frac{1}{2}}} + 10 x^{\frac{3}{2}}$

خطوة 11.5.2.6

اضرب $3$ في $8$ .

$80 x^{2} + 40 x^{2} + \frac{5 x^{\frac{3}{2}}}{2} + 24 + 3 \frac{1}{2 x^{\frac{1}{2}}} + 10 x^{\frac{3}{2}}$

خطوة 11.5.2.7

اجمع $3$ و $\frac{1}{2 x^{\frac{1}{2}}}$ .

$80 x^{2} + 40 x^{2} + \frac{5 x^{\frac{3}{2}}}{2} + 24 + \frac{3}{2 x^{\frac{1}{2}}} + 10 x^{\frac{3}{2}}$

خطوة 11.6

أضف $80 x^{2}$ و $40 x^{2}$ .

$120 x^{2} + \frac{5 x^{\frac{3}{2}}}{2} + 24 + \frac{3}{2 x^{\frac{1}{2}}} + 10 x^{\frac{3}{2}}$

خطوة 11.7

لكتابة $10 x^{\frac{3}{2}}$ على هيئة كسر بقاسم مشترك، اضرب في $\frac{2}{2}$ .

$120 x^{2} + \frac{5 x^{\frac{3}{2}}}{2} + 10 x^{\frac{3}{2}} \cdot \frac{2}{2} + 24 + \frac{3}{2 x^{\frac{1}{2}}}$

خطوة 11.8

اجمع $10 x^{\frac{3}{2}}$ و $\frac{2}{2}$ .

$120 x^{2} + \frac{5 x^{\frac{3}{2}}}{2} + \frac{10 x^{\frac{3}{2}} \cdot 2}{2} + 24 + \frac{3}{2 x^{\frac{1}{2}}}$

خطوة 11.9

اجمع البسوط على القاسم المشترك.

$120 x^{2} + \frac{5 x^{\frac{3}{2}} + 10 x^{\frac{3}{2}} \cdot 2}{2} + 24 + \frac{3}{2 x^{\frac{1}{2}}}$

خطوة 11.10

بسّط بَسْط الكسر.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 11.10.1

أخرِج العامل $5 x^{\frac{3}{2}}$ من $5 x^{\frac{3}{2}} + 10 x^{\frac{3}{2}} \cdot 2$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 11.10.1.1

انقُل $x^{\frac{3}{2}}$ .

$120 x^{2} + \frac{5 x^{\frac{3}{2}} + 10 \cdot 2 x^{\frac{3}{2}}}{2} + 24 + \frac{3}{2 x^{\frac{1}{2}}}$

خطوة 11.10.1.2

أخرِج العامل $5 x^{\frac{3}{2}}$ من $5 x^{\frac{3}{2}}$ .

$120 x^{2} + \frac{5 x^{\frac{3}{2}} (1) + 10 \cdot 2 x^{\frac{3}{2}}}{2} + 24 + \frac{3}{2 x^{\frac{1}{2}}}$

خطوة 11.10.1.3

أخرِج العامل $5 x^{\frac{3}{2}}$ من $10 \cdot 2 x^{\frac{3}{2}}$ .

$120 x^{2} + \frac{5 x^{\frac{3}{2}} (1) + 5 x^{\frac{3}{2}} (2 \cdot 2)}{2} + 24 + \frac{3}{2 x^{\frac{1}{2}}}$

خطوة 11.10.1.4

أخرِج العامل $5 x^{\frac{3}{2}}$ من $5 x^{\frac{3}{2}} (1) + 5 x^{\frac{3}{2}} (2 \cdot 2)$ .

$120 x^{2} + \frac{5 x^{\frac{3}{2}} (1 + 2 \cdot 2)}{2} + 24 + \frac{3}{2 x^{\frac{1}{2}}}$

خطوة 11.10.2

اضرب $2$ في $2$ .

$120 x^{2} + \frac{5 x^{\frac{3}{2}} (1 + 4)}{2} + 24 + \frac{3}{2 x^{\frac{1}{2}}}$

خطوة 11.10.3

أضف $1$ و $4$ .

$120 x^{2} + \frac{5 x^{\frac{3}{2}} \cdot 5}{2} + 24 + \frac{3}{2 x^{\frac{1}{2}}}$

خطوة 11.10.4

اضرب $5$ في $5$ .

$120 x^{2} + \frac{25 x^{\frac{3}{2}}}{2} + 24 + \frac{3}{2 x^{\frac{1}{2}}}$