حساب التفاضل والتكامل الأمثلة

$f (x) = \frac{\cot (2 x)}{\csc (5 x)}$

خطوة 1

أعِد كتابة $\csc (5 x)$ من حيث الجيوب وجيوب التمام.

$\frac{d}{d x} [\frac{\cot (2 x)}{\frac{1}{\sin (5 x)}}]$

خطوة 2

أعِد كتابة $\cot (2 x)$ من حيث الجيوب وجيوب التمام.

$\frac{d}{d x} [\frac{\frac{\cos (2 x)}{\sin (2 x)}}{\frac{1}{\sin (5 x)}}]$

خطوة 3

اضرب في مقلوب الكسر للقسمة على $\frac{1}{\sin (5 x)}$ .

$\frac{d}{d x} [\frac{\cos (2 x)}{\sin (2 x)} \sin (5 x)]$

خطوة 4

اكتب $\sin (5 x)$ على هيئة كسر قاسمه $1$ .

$\frac{d}{d x} [\frac{\cos (2 x)}{\sin (2 x)} \cdot \frac{\sin (5 x)}{1}]$

خطوة 5

بسّط.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 5.1

اقسِم $\sin (5 x)$ على $1$ .

$\frac{d}{d x} [\frac{\cos (2 x)}{\sin (2 x)} \sin (5 x)]$

خطوة 5.2

حوّل من $\frac{\cos (2 x)}{\sin (2 x)}$ إلى $\cot (2 x)$ .

$\frac{d}{d x} [\cot (2 x) \sin (5 x)]$

خطوة 6

أوجِد المشتقة باستخدام قاعدة الضرب التي تنص على أن $\frac{d}{d x} [f (x) g (x)]$ هو $f (x) \frac{d}{d x} [g (x)] + g (x) \frac{d}{d x} [f (x)]$ حيث $f (x) = \cot (2 x)$ و $g (x) = \sin (5 x)$ .

$\cot (2 x) \frac{d}{d x} [\sin (5 x)] + \sin (5 x) \frac{d}{d x} [\cot (2 x)]$

خطوة 7

أوجِد المشتقة باستخدام قاعدة السلسلة، والتي تنص على أن $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ هو $f' (g (x)) g' (x)$ حيث $f (x) = \sin (x)$ و $g (x) = 5 x$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 7.1

لتطبيق قاعدة السلسلة، عيّن قيمة $u_{1}$ لتصبح $5 x$ .

$\cot (2 x) (\frac{d}{d u_{1}} [\sin (u_{1})] \frac{d}{d x} [5 x]) + \sin (5 x) \frac{d}{d x} [\cot (2 x)]$

خطوة 7.2

مشتق $\sin (u_{1})$ بالنسبة إلى $u_{1}$ يساوي $\cos (u_{1})$ .

$\cot (2 x) (\cos (u_{1}) \frac{d}{d x} [5 x]) + \sin (5 x) \frac{d}{d x} [\cot (2 x)]$

خطوة 7.3

استبدِل كافة حالات حدوث $u_{1}$ بـ $5 x$ .

$\cot (2 x) (\cos (5 x) \frac{d}{d x} [5 x]) + \sin (5 x) \frac{d}{d x} [\cot (2 x)]$

خطوة 8

أوجِد المشتقة.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 8.1

بما أن $5$ عدد ثابت بالنسبة إلى $x$ ، إذن مشتق $5 x$ بالنسبة إلى $x$ يساوي $5 \frac{d}{d x} [x]$ .

$\cot (2 x) \cos (5 x) (5 \frac{d}{d x} [x]) + \sin (5 x) \frac{d}{d x} [\cot (2 x)]$

خطوة 8.2

أوجِد المشتقة باستخدام قاعدة القوة التي تنص على أن $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ هو $n x^{n - 1}$ حيث $n = 1$ .

$\cot (2 x) \cos (5 x) (5 \cdot 1) + \sin (5 x) \frac{d}{d x} [\cot (2 x)]$

خطوة 8.3

بسّط العبارة.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 8.3.1

اضرب $5$ في $1$ .

$\cot (2 x) \cos (5 x) \cdot 5 + \sin (5 x) \frac{d}{d x} [\cot (2 x)]$

خطوة 8.3.2

انقُل $5$ إلى يسار $\cot (2 x) \cos (5 x)$ .

$5 \cdot (\cot (2 x) \cos (5 x)) + \sin (5 x) \frac{d}{d x} [\cot (2 x)]$

خطوة 9

أوجِد المشتقة باستخدام قاعدة السلسلة، والتي تنص على أن $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ هو $f' (g (x)) g' (x)$ حيث $f (x) = \cot (x)$ و $g (x) = 2 x$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 9.1

لتطبيق قاعدة السلسلة، عيّن قيمة $u_{2}$ لتصبح $2 x$ .

$5 \cot (2 x) \cos (5 x) + \sin (5 x) (\frac{d}{d u_{2}} [\cot (u_{2})] \frac{d}{d x} [2 x])$

خطوة 9.2

مشتق $\cot (u_{2})$ بالنسبة إلى $u_{2}$ يساوي $- \csc^{2} (u_{2})$ .

$5 \cot (2 x) \cos (5 x) + \sin (5 x) (- \csc^{2} (u_{2}) \frac{d}{d x} [2 x])$

خطوة 9.3

استبدِل كافة حالات حدوث $u_{2}$ بـ $2 x$ .

$5 \cot (2 x) \cos (5 x) + \sin (5 x) (- \csc^{2} (2 x) \frac{d}{d x} [2 x])$

خطوة 10

أوجِد المشتقة.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 10.1

بما أن $2$ عدد ثابت بالنسبة إلى $x$ ، إذن مشتق $2 x$ بالنسبة إلى $x$ يساوي $2 \frac{d}{d x} [x]$ .

$5 \cot (2 x) \cos (5 x) + \sin (5 x) (- \csc^{2} (2 x) (2 \frac{d}{d x} [x]))$

خطوة 10.2

اضرب $2$ في $- 1$ .

$5 \cot (2 x) \cos (5 x) + \sin (5 x) (- 2 \csc^{2} (2 x) \frac{d}{d x} [x])$

خطوة 10.3

أوجِد المشتقة باستخدام قاعدة القوة التي تنص على أن $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ هو $n x^{n - 1}$ حيث $n = 1$ .

$5 \cot (2 x) \cos (5 x) + \sin (5 x) (- 2 \csc^{2} (2 x) \cdot 1)$

خطوة 10.4

اضرب $- 2$ في $1$ .

$5 \cot (2 x) \cos (5 x) + \sin (5 x) (- 2 \csc^{2} (2 x))$

خطوة 11

بسّط.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 11.1

أعِد ترتيب الحدود.

$5 \cos (5 x) \cot (2 x) - 2 \csc^{2} (2 x) \sin (5 x)$

خطوة 11.2

بسّط كل حد.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 11.2.1

أعِد كتابة $\cot (2 x)$ من حيث الجيوب وجيوب التمام.

$5 \cos (5 x) \frac{\cos (2 x)}{\sin (2 x)} - 2 \csc^{2} (2 x) \sin (5 x)$

خطوة 11.2.2

اضرب $5 \cos (5 x) \frac{\cos (2 x)}{\sin (2 x)}$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 11.2.2.1

اجمع $\frac{\cos (2 x)}{\sin (2 x)}$ و $5$ .

$\frac{\cos (2 x) \cdot 5}{\sin (2 x)} \cos (5 x) - 2 \csc^{2} (2 x) \sin (5 x)$

خطوة 11.2.2.2

اجمع $\frac{\cos (2 x) \cdot 5}{\sin (2 x)}$ و $\cos (5 x)$ .

$\frac{\cos (2 x) \cdot 5 \cos (5 x)}{\sin (2 x)} - 2 \csc^{2} (2 x) \sin (5 x)$

خطوة 11.2.3

انقُل $5$ إلى يسار $\cos (2 x)$ .

$\frac{5 \cdot \cos (2 x) \cos (5 x)}{\sin (2 x)} - 2 \csc^{2} (2 x) \sin (5 x)$

خطوة 11.2.4

أعِد كتابة $\csc (2 x)$ من حيث الجيوب وجيوب التمام.

$\frac{5 \cos (2 x) \cos (5 x)}{\sin (2 x)} - 2 {(\frac{1}{\sin (2 x)})}^{2} \sin (5 x)$

خطوة 11.2.5

طبّق قاعدة الضرب على $\frac{1}{\sin (2 x)}$ .

$\frac{5 \cos (2 x) \cos (5 x)}{\sin (2 x)} - 2 \frac{1^{2}}{\sin^{2} (2 x)} \sin (5 x)$

خطوة 11.2.6

العدد واحد مرفوع لأي قوة يساوي واحدًا.

$\frac{5 \cos (2 x) \cos (5 x)}{\sin (2 x)} - 2 \frac{1}{\sin^{2} (2 x)} \sin (5 x)$

خطوة 11.2.7

اجمع $- 2$ و $\frac{1}{\sin^{2} (2 x)}$ .

$\frac{5 \cos (2 x) \cos (5 x)}{\sin (2 x)} + \frac{- 2}{\sin^{2} (2 x)} \sin (5 x)$

خطوة 11.2.8

انقُل السالب أمام الكسر.

$\frac{5 \cos (2 x) \cos (5 x)}{\sin (2 x)} - \frac{2}{\sin^{2} (2 x)} \sin (5 x)$

خطوة 11.2.9

اجمع $\sin (5 x)$ و $\frac{2}{\sin^{2} (2 x)}$ .

$\frac{5 \cos (2 x) \cos (5 x)}{\sin (2 x)} - \frac{\sin (5 x) \cdot 2}{\sin^{2} (2 x)}$

خطوة 11.2.10

انقُل $2$ إلى يسار $\sin (5 x)$ .

$\frac{5 \cos (2 x) \cos (5 x)}{\sin (2 x)} - \frac{2 \sin (5 x)}{\sin^{2} (2 x)}$

خطوة 11.3

بسّط كل حد.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 11.3.1

افصِل الكسور.

$\frac{5 \cos (5 x)}{1} \cdot \frac{\cos (2 x)}{\sin (2 x)} - \frac{2 \sin (5 x)}{\sin^{2} (2 x)}$

خطوة 11.3.2

حوّل من $\frac{\cos (2 x)}{\sin (2 x)}$ إلى $\cot (2 x)$ .

$\frac{5 \cos (5 x)}{1} \cot (2 x) - \frac{2 \sin (5 x)}{\sin^{2} (2 x)}$

خطوة 11.3.3

اقسِم $5 \cos (5 x)$ على $1$ .

$5 \cos (5 x) \cot (2 x) - \frac{2 \sin (5 x)}{\sin^{2} (2 x)}$

خطوة 11.3.4

أخرِج العامل $\sin (2 x)$ من $\sin^{2} (2 x)$ .

$5 \cos (5 x) \cot (2 x) - \frac{2 \sin (5 x)}{\sin (2 x) \sin (2 x)}$

خطوة 11.3.5

افصِل الكسور.

$5 \cos (5 x) \cot (2 x) - (\frac{2}{\sin (2 x)} \cdot \frac{\sin (5 x)}{\sin (2 x)})$

خطوة 11.3.6

أعِد كتابة $\frac{\sin (5 x)}{\sin (2 x)}$ في صورة حاصل ضرب.

$5 \cos (5 x) \cot (2 x) - (\frac{2}{\sin (2 x)} (\sin (5 x) \frac{1}{\sin (2 x)}))$

خطوة 11.3.7

اكتب $\sin (5 x)$ على هيئة كسر قاسمه $1$ .

$5 \cos (5 x) \cot (2 x) - (\frac{2}{\sin (2 x)} (\frac{\sin (5 x)}{1} \cdot \frac{1}{\sin (2 x)}))$

خطوة 11.3.8

بسّط.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 11.3.8.1

اقسِم $\sin (5 x)$ على $1$ .

$5 \cos (5 x) \cot (2 x) - (\frac{2}{\sin (2 x)} (\sin (5 x) \frac{1}{\sin (2 x)}))$

خطوة 11.3.8.2

حوّل من $\frac{1}{\sin (2 x)}$ إلى $\csc (2 x)$ .

$5 \cos (5 x) \cot (2 x) - (\frac{2}{\sin (2 x)} (\sin (5 x) \csc (2 x)))$

خطوة 11.3.9

افصِل الكسور.

$5 \cos (5 x) \cot (2 x) - (\frac{2}{1} \cdot \frac{1}{\sin (2 x)} (\sin (5 x) \csc (2 x)))$

خطوة 11.3.10

حوّل من $\frac{1}{\sin (2 x)}$ إلى $\csc (2 x)$ .

$5 \cos (5 x) \cot (2 x) - (\frac{2}{1} \csc (2 x) (\sin (5 x) \csc (2 x)))$

خطوة 11.3.11

اقسِم $2$ على $1$ .

$5 \cos (5 x) \cot (2 x) - (2 \csc (2 x) (\sin (5 x) \csc (2 x)))$

خطوة 11.3.12

اضرب $2 \csc (2 x) (\sin (5 x) \csc (2 x))$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 11.3.12.1

ارفع $\csc (2 x)$ إلى القوة $1$ .

$5 \cos (5 x) \cot (2 x) - (2 (\csc^{1} (2 x) \csc (2 x)) \sin (5 x))$

خطوة 11.3.12.2

ارفع $\csc (2 x)$ إلى القوة $1$ .

$5 \cos (5 x) \cot (2 x) - (2 (\csc^{1} (2 x) \csc^{1} (2 x)) \sin (5 x))$

خطوة 11.3.12.3

استخدِم قاعدة القوة $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ لتجميع الأُسس.

$5 \cos (5 x) \cot (2 x) - (2 {\csc (2 x)}^{1 + 1} \sin (5 x))$

خطوة 11.3.12.4

أضف $1$ و $1$ .

$5 \cos (5 x) \cot (2 x) - (2 \csc^{2} (2 x) \sin (5 x))$

خطوة 11.3.13

اضرب $2$ في $- 1$ .

$5 \cos (5 x) \cot (2 x) - 2 \csc^{2} (2 x) \sin (5 x)$