حساب التفاضل والتكامل الأمثلة

$f (x) = {(5 x + 7)}^{2} (e^{x})$

خطوة 1

أعِد كتابة ${(5 x + 7)}^{2}$ بالصيغة $(5 x + 7) (5 x + 7)$ .

$\frac{d}{d x} [(5 x + 7) (5 x + 7) e^{x}]$

خطوة 2

وسّع $(5 x + 7) (5 x + 7)$ باستخدام طريقة "الأول، الخارجي، الداخلي، الأخير".

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 2.1

طبّق خاصية التوزيع.

$\frac{d}{d x} [(5 x (5 x + 7) + 7 (5 x + 7)) e^{x}]$

خطوة 2.2

طبّق خاصية التوزيع.

$\frac{d}{d x} [(5 x (5 x) + 5 x \cdot 7 + 7 (5 x + 7)) e^{x}]$

خطوة 2.3

طبّق خاصية التوزيع.

$\frac{d}{d x} [(5 x (5 x) + 5 x \cdot 7 + 7 (5 x) + 7 \cdot 7) e^{x}]$

خطوة 3

بسّط ووحّد الحدود المتشابهة.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 3.1

بسّط كل حد.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 3.1.1

أعِد الكتابة باستخدام خاصية الإبدال لعملية الضرب.

$\frac{d}{d x} [(5 \cdot 5 x \cdot x + 5 x \cdot 7 + 7 (5 x) + 7 \cdot 7) e^{x}]$

خطوة 3.1.2

اضرب $x$ في $x$ بجمع الأُسس.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 3.1.2.1

انقُل $x$ .

$\frac{d}{d x} [(5 \cdot 5 (x \cdot x) + 5 x \cdot 7 + 7 (5 x) + 7 \cdot 7) e^{x}]$

خطوة 3.1.2.2

اضرب $x$ في $x$ .

$\frac{d}{d x} [(5 \cdot 5 x^{2} + 5 x \cdot 7 + 7 (5 x) + 7 \cdot 7) e^{x}]$

خطوة 3.1.3

اضرب $5$ في $5$ .

$\frac{d}{d x} [(25 x^{2} + 5 x \cdot 7 + 7 (5 x) + 7 \cdot 7) e^{x}]$

خطوة 3.1.4

اضرب $7$ في $5$ .

$\frac{d}{d x} [(25 x^{2} + 35 x + 7 (5 x) + 7 \cdot 7) e^{x}]$

خطوة 3.1.5

اضرب $5$ في $7$ .

$\frac{d}{d x} [(25 x^{2} + 35 x + 35 x + 7 \cdot 7) e^{x}]$

خطوة 3.1.6

اضرب $7$ في $7$ .

$\frac{d}{d x} [(25 x^{2} + 35 x + 35 x + 49) e^{x}]$

خطوة 3.2

أضف $35 x$ و $35 x$ .

$\frac{d}{d x} [(25 x^{2} + 70 x + 49) e^{x}]$

خطوة 4

أوجِد المشتقة باستخدام قاعدة الضرب التي تنص على أن $\frac{d}{d x} [f (x) g (x)]$ هو $f (x) \frac{d}{d x} [g (x)] + g (x) \frac{d}{d x} [f (x)]$ حيث $f (x) = 25 x^{2} + 70 x + 49$ و $g (x) = e^{x}$ .

$(25 x^{2} + 70 x + 49) \frac{d}{d x} [e^{x}] + e^{x} \frac{d}{d x} [25 x^{2} + 70 x + 49]$

خطوة 5

أوجِد المشتقة باستخدام القاعدة الأسية التي تنص على أن $\frac{d}{d x} [a^{x}]$ هو $a^{x} \ln (a)$ حيث $a$ = $e$ .

$(25 x^{2} + 70 x + 49) e^{x} + e^{x} \frac{d}{d x} [25 x^{2} + 70 x + 49]$

خطوة 6

أوجِد المشتقة.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 6.1

وفقًا لقاعدة الجمع، فإن مشتق $25 x^{2} + 70 x + 49$ بالنسبة إلى $x$ هو $\frac{d}{d x} [25 x^{2}] + \frac{d}{d x} [70 x] + \frac{d}{d x} [49]$ .

$(25 x^{2} + 70 x + 49) e^{x} + e^{x} (\frac{d}{d x} [25 x^{2}] + \frac{d}{d x} [70 x] + \frac{d}{d x} [49])$

خطوة 6.2

بما أن $25$ عدد ثابت بالنسبة إلى $x$ ، إذن مشتق $25 x^{2}$ بالنسبة إلى $x$ يساوي $25 \frac{d}{d x} [x^{2}]$ .

$(25 x^{2} + 70 x + 49) e^{x} + e^{x} (25 \frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [70 x] + \frac{d}{d x} [49])$

خطوة 6.3

أوجِد المشتقة باستخدام قاعدة القوة التي تنص على أن $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ هو $n x^{n - 1}$ حيث $n = 2$ .

$(25 x^{2} + 70 x + 49) e^{x} + e^{x} (25 (2 x) + \frac{d}{d x} [70 x] + \frac{d}{d x} [49])$

خطوة 6.4

اضرب $2$ في $25$ .

$(25 x^{2} + 70 x + 49) e^{x} + e^{x} (50 x + \frac{d}{d x} [70 x] + \frac{d}{d x} [49])$

خطوة 6.5

بما أن $70$ عدد ثابت بالنسبة إلى $x$ ، إذن مشتق $70 x$ بالنسبة إلى $x$ يساوي $70 \frac{d}{d x} [x]$ .

$(25 x^{2} + 70 x + 49) e^{x} + e^{x} (50 x + 70 \frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [49])$

خطوة 6.6

أوجِد المشتقة باستخدام قاعدة القوة التي تنص على أن $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ هو $n x^{n - 1}$ حيث $n = 1$ .

$(25 x^{2} + 70 x + 49) e^{x} + e^{x} (50 x + 70 \cdot 1 + \frac{d}{d x} [49])$

خطوة 6.7

اضرب $70$ في $1$ .

$(25 x^{2} + 70 x + 49) e^{x} + e^{x} (50 x + 70 + \frac{d}{d x} [49])$

خطوة 6.8

بما أن $49$ عدد ثابت بالنسبة إلى $x$ ، فإن مشتق $49$ بالنسبة إلى $x$ هو $0$ .

$(25 x^{2} + 70 x + 49) e^{x} + e^{x} (50 x + 70 + 0)$

خطوة 6.9

أضف $50 x + 70$ و $0$ .

$(25 x^{2} + 70 x + 49) e^{x} + e^{x} (50 x + 70)$

خطوة 7

بسّط.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 7.1

طبّق خاصية التوزيع.

$25 x^{2} e^{x} + 70 x e^{x} + 49 e^{x} + e^{x} (50 x + 70)$

خطوة 7.2

طبّق خاصية التوزيع.

$25 x^{2} e^{x} + 70 x e^{x} + 49 e^{x} + e^{x} (50 x) + e^{x} \cdot 70$

خطوة 7.3

جمّع الحدود.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 7.3.1

انقُل $70$ إلى يسار $e^{x}$ .

$25 x^{2} e^{x} + 70 x e^{x} + 49 e^{x} + e^{x} (50 x) + 70 \cdot e^{x}$

خطوة 7.3.2

أضف $70 x e^{x}$ و $e^{x} (50 x)$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 7.3.2.1

انقُل $e^{x}$ .

$25 x^{2} e^{x} + 70 x e^{x} + 50 x e^{x} + 49 e^{x} + 70 e^{x}$

خطوة 7.3.2.2

أضف $70 x e^{x}$ و $50 x e^{x}$ .

$25 x^{2} e^{x} + 120 x e^{x} + 49 e^{x} + 70 e^{x}$

خطوة 7.3.3

أضف $49 e^{x}$ و $70 e^{x}$ .

$25 x^{2} e^{x} + 120 x e^{x} + 119 e^{x}$

خطوة 7.4

أعِد ترتيب الحدود.

$25 e^{x} x^{2} + 120 e^{x} x + 119 e^{x}$

خطوة 7.5

أعِد ترتيب العوامل في $25 e^{x} x^{2} + 120 e^{x} x + 119 e^{x}$ .

$25 x^{2} e^{x} + 120 x e^{x} + 119 e^{x}$