حساب التفاضل والتكامل الأمثلة

$arccsc (x^{2} + 1)$

خطوة 1

أوجِد المشتقة باستخدام قاعدة السلسلة، والتي تنص على أن $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ هو $f' (g (x)) g' (x)$ حيث $f (x) = arccsc (x)$ و $g (x) = x^{2} + 1$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 1.1

لتطبيق قاعدة السلسلة، عيّن قيمة $u$ لتصبح $x^{2} + 1$ .

$\frac{d}{d u} [arccsc (u)] \frac{d}{d x} [x^{2} + 1]$

خطوة 1.2

مشتق $arccsc (u)$ بالنسبة إلى $u$ يساوي $- \frac{1}{u \sqrt{u^{2} - 1}}$ .

$- \frac{1}{u \sqrt{u^{2} - 1}} \frac{d}{d x} [x^{2} + 1]$

خطوة 1.3

استبدِل كافة حالات حدوث $u$ بـ $x^{2} + 1$ .

$- \frac{1}{(x^{2} + 1) \sqrt{{(x^{2} + 1)}^{2} - 1}} \frac{d}{d x} [x^{2} + 1]$

خطوة 2

أوجِد المشتقة.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 2.1

وفقًا لقاعدة الجمع، فإن مشتق $x^{2} + 1$ بالنسبة إلى $x$ هو $\frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [1]$ .

$- \frac{1}{(x^{2} + 1) \sqrt{{(x^{2} + 1)}^{2} - 1}} (\frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [1])$

خطوة 2.2

أوجِد المشتقة باستخدام قاعدة القوة التي تنص على أن $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ هو $n x^{n - 1}$ حيث $n = 2$ .

$- \frac{1}{(x^{2} + 1) \sqrt{{(x^{2} + 1)}^{2} - 1}} (2 x + \frac{d}{d x} [1])$

خطوة 2.3

بما أن $1$ عدد ثابت بالنسبة إلى $x$ ، فإن مشتق $1$ بالنسبة إلى $x$ هو $0$ .

$- \frac{1}{(x^{2} + 1) \sqrt{{(x^{2} + 1)}^{2} - 1}} (2 x + 0)$

خطوة 2.4

اجمع الكسور.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 2.4.1

أضف $2 x$ و $0$ .

$- \frac{1}{(x^{2} + 1) \sqrt{{(x^{2} + 1)}^{2} - 1}} (2 x)$

خطوة 2.4.2

اضرب $2$ في $- 1$ .

$- 2 \frac{1}{(x^{2} + 1) \sqrt{{(x^{2} + 1)}^{2} - 1}} x$

خطوة 2.4.3

اجمع $- 2$ و $\frac{1}{(x^{2} + 1) \sqrt{{(x^{2} + 1)}^{2} - 1}}$ .

$\frac{- 2}{(x^{2} + 1) \sqrt{{(x^{2} + 1)}^{2} - 1}} x$

خطوة 2.4.4

اجمع $\frac{- 2}{(x^{2} + 1) \sqrt{{(x^{2} + 1)}^{2} - 1}}$ و $x$ .

$\frac{- 2 x}{(x^{2} + 1) \sqrt{{(x^{2} + 1)}^{2} - 1}}$

خطوة 2.4.5

انقُل السالب أمام الكسر.

$- \frac{2 x}{(x^{2} + 1) \sqrt{{(x^{2} + 1)}^{2} - 1}}$

خطوة 3

بسّط.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 3.1

بسّط القاسم.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 3.1.1

أعِد كتابة $1$ بالصيغة $1^{2}$ .

$- \frac{2 x}{(x^{2} + 1) \sqrt{{(x^{2} + 1)}^{2} - 1^{2}}}$

خطوة 3.1.2

بما أن كلا الحدّين هما مربعان كاملان، حلّل إلى عوامل باستخدام قاعدة الفرق بين مربعين، $a^{2} - b^{2} = (a + b) (a - b)$ حيث $a = x^{2} + 1$ و $b = 1$ .

$- \frac{2 x}{(x^{2} + 1) \sqrt{(x^{2} + 1 + 1) (x^{2} + 1 - 1)}}$

خطوة 3.1.3

بسّط.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 3.1.3.1

أضف $1$ و $1$ .

$- \frac{2 x}{(x^{2} + 1) \sqrt{(x^{2} + 2) (x^{2} + 1 - 1)}}$

خطوة 3.1.3.2

اطرح $1$ من $1$ .

$- \frac{2 x}{(x^{2} + 1) \sqrt{(x^{2} + 2) (x^{2} + 0)}}$

خطوة 3.1.3.3

أضف $x^{2}$ و $0$ .

$- \frac{2 x}{(x^{2} + 1) \sqrt{(x^{2} + 2) x^{2}}}$

خطوة 3.1.4

أعِد ترتيب $x^{2} + 2$ و $x^{2}$ .

$- \frac{2 x}{(x^{2} + 1) \sqrt{x^{2} (x^{2} + 2)}}$

خطوة 3.1.5

أخرِج الحدود من تحت الجذر.

$- \frac{2 x}{(x^{2} + 1) x \sqrt{x^{2} + 2}}$

خطوة 3.2

ألغِ العامل المشترك لـ $x$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 3.2.1

ألغِ العامل المشترك.

$- \frac{2 x}{(x^{2} + 1) x \sqrt{x^{2} + 2}}$

خطوة 3.2.2

أعِد كتابة العبارة.

$- \frac{2}{(x^{2} + 1) \sqrt{x^{2} + 2}}$

خطوة 3.3

اضرب $\frac{2}{(x^{2} + 1) \sqrt{x^{2} + 2}}$ في $\frac{\sqrt{x^{2} + 2}}{\sqrt{x^{2} + 2}}$ .

$- (\frac{2}{(x^{2} + 1) \sqrt{x^{2} + 2}} \cdot \frac{\sqrt{x^{2} + 2}}{\sqrt{x^{2} + 2}})$

خطوة 3.4

جمّع وبسّط القاسم.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 3.4.1

اضرب $\frac{2}{(x^{2} + 1) \sqrt{x^{2} + 2}}$ في $\frac{\sqrt{x^{2} + 2}}{\sqrt{x^{2} + 2}}$ .

$- \frac{2 \sqrt{x^{2} + 2}}{(x^{2} + 1) \sqrt{x^{2} + 2} \sqrt{x^{2} + 2}}$

خطوة 3.4.2

انقُل $\sqrt{x^{2} + 2}$ .

$- \frac{2 \sqrt{x^{2} + 2}}{(x^{2} + 1) (\sqrt{x^{2} + 2} \sqrt{x^{2} + 2})}$

خطوة 3.4.3

ارفع $\sqrt{x^{2} + 2}$ إلى القوة $1$ .

$- \frac{2 \sqrt{x^{2} + 2}}{(x^{2} + 1) ({\sqrt{x^{2} + 2}}^{1} \sqrt{x^{2} + 2})}$

خطوة 3.4.4

ارفع $\sqrt{x^{2} + 2}$ إلى القوة $1$ .

$- \frac{2 \sqrt{x^{2} + 2}}{(x^{2} + 1) ({\sqrt{x^{2} + 2}}^{1} {\sqrt{x^{2} + 2}}^{1})}$

خطوة 3.4.5

استخدِم قاعدة القوة $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ لتجميع الأُسس.

$- \frac{2 \sqrt{x^{2} + 2}}{(x^{2} + 1) {\sqrt{x^{2} + 2}}^{1 + 1}}$

خطوة 3.4.6

أضف $1$ و $1$ .

$- \frac{2 \sqrt{x^{2} + 2}}{(x^{2} + 1) {\sqrt{x^{2} + 2}}^{2}}$

خطوة 3.4.7

أعِد كتابة ${\sqrt{x^{2} + 2}}^{2}$ بالصيغة $x^{2} + 2$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 3.4.7.1

استخدِم $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ لكتابة $\sqrt{x^{2} + 2}$ في صورة ${(x^{2} + 2)}^{\frac{1}{2}}$ .

$- \frac{2 \sqrt{x^{2} + 2}}{(x^{2} + 1) {({(x^{2} + 2)}^{\frac{1}{2}})}^{2}}$

خطوة 3.4.7.2

طبّق قاعدة القوة واضرب الأُسس، ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$- \frac{2 \sqrt{x^{2} + 2}}{(x^{2} + 1) {(x^{2} + 2)}^{\frac{1}{2} \cdot 2}}$

خطوة 3.4.7.3

اجمع $\frac{1}{2}$ و $2$ .

$- \frac{2 \sqrt{x^{2} + 2}}{(x^{2} + 1) {(x^{2} + 2)}^{\frac{2}{2}}}$

خطوة 3.4.7.4

ألغِ العامل المشترك لـ $2$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 3.4.7.4.1

ألغِ العامل المشترك.

$- \frac{2 \sqrt{x^{2} + 2}}{(x^{2} + 1) {(x^{2} + 2)}^{\frac{2}{2}}}$

خطوة 3.4.7.4.2

أعِد كتابة العبارة.

$- \frac{2 \sqrt{x^{2} + 2}}{(x^{2} + 1) {(x^{2} + 2)}^{1}}$

خطوة 3.4.7.5

بسّط.

$- \frac{2 \sqrt{x^{2} + 2}}{(x^{2} + 1) (x^{2} + 2)}$