حساب التفاضل والتكامل الأمثلة

$\arctan (x e^{x})$

خطوة 1

أوجِد المشتقة باستخدام قاعدة السلسلة، والتي تنص على أن $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ هو $f' (g (x)) g' (x)$ حيث $f (x) = \arctan (x)$ و $g (x) = x e^{x}$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 1.1

لتطبيق قاعدة السلسلة، عيّن قيمة $u$ لتصبح $x e^{x}$ .

$\frac{d}{d u} [\arctan (u)] \frac{d}{d x} [x e^{x}]$

خطوة 1.2

مشتق $\arctan (u)$ بالنسبة إلى $u$ يساوي $\frac{1}{1 + u^{2}}$ .

$\frac{1}{1 + u^{2}} \frac{d}{d x} [x e^{x}]$

خطوة 1.3

استبدِل كافة حالات حدوث $u$ بـ $x e^{x}$ .

$\frac{1}{1 + {(x e^{x})}^{2}} \frac{d}{d x} [x e^{x}]$

خطوة 2

أوجِد المشتقة باستخدام قاعدة الضرب التي تنص على أن $\frac{d}{d x} [f (x) g (x)]$ هو $f (x) \frac{d}{d x} [g (x)] + g (x) \frac{d}{d x} [f (x)]$ حيث $f (x) = x$ و $g (x) = e^{x}$ .

$\frac{1}{1 + {(x e^{x})}^{2}} (x \frac{d}{d x} [e^{x}] + e^{x} \frac{d}{d x} [x])$

خطوة 3

أوجِد المشتقة باستخدام القاعدة الأسية التي تنص على أن $\frac{d}{d x} [a^{x}]$ هو $a^{x} \ln (a)$ حيث $a$ = $e$ .

$\frac{1}{1 + {(x e^{x})}^{2}} (x e^{x} + e^{x} \frac{d}{d x} [x])$

خطوة 4

أوجِد المشتقة باستخدام قاعدة القوة.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 4.1

أوجِد المشتقة باستخدام قاعدة القوة التي تنص على أن $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ هو $n x^{n - 1}$ حيث $n = 1$ .

$\frac{1}{1 + {(x e^{x})}^{2}} (x e^{x} + e^{x} \cdot 1)$

خطوة 4.2

اضرب $e^{x}$ في $1$ .

$\frac{1}{1 + {(x e^{x})}^{2}} (x e^{x} + e^{x})$

خطوة 5

بسّط.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 5.1

طبّق قاعدة الضرب على $x e^{x}$ .

$\frac{1}{1 + x^{2} {(e^{x})}^{2}} (x e^{x} + e^{x})$

خطوة 5.2

اضرب الأُسس في ${(e^{x})}^{2}$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 5.2.1

طبّق قاعدة القوة واضرب الأُسس، ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$\frac{1}{1 + x^{2} e^{x \cdot 2}} (x e^{x} + e^{x})$

خطوة 5.2.2

انقُل $2$ إلى يسار $x$ .

$\frac{1}{1 + x^{2} e^{2 x}} (x e^{x} + e^{x})$

خطوة 5.3

أعِد ترتيب عوامل $\frac{1}{1 + x^{2} e^{2 x}} (x e^{x} + e^{x})$ .

$(x e^{x} + e^{x}) \frac{1}{1 + x^{2} e^{2 x}}$

خطوة 5.4

اضرب $x e^{x} + e^{x}$ في $\frac{1}{1 + x^{2} e^{2 x}}$ .

$\frac{x e^{x} + e^{x}}{1 + x^{2} e^{2 x}}$

خطوة 5.5

أخرِج العامل $e^{x}$ من $x e^{x} + e^{x}$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 5.5.1

أخرِج العامل $e^{x}$ من $x e^{x}$ .

$\frac{e^{x} x + e^{x}}{1 + x^{2} e^{2 x}}$

خطوة 5.5.2

اضرب في $1$ .

$\frac{e^{x} x + e^{x} \cdot 1}{1 + x^{2} e^{2 x}}$

خطوة 5.5.3

أخرِج العامل $e^{x}$ من $e^{x} x + e^{x} \cdot 1$ .

$\frac{e^{x} (x + 1)}{1 + x^{2} e^{2 x}}$