حساب التفاضل والتكامل الأمثلة

$f (x) = (x^{3} - 12 x) (3 x^{2} + 2 x)$

خطوة 1

أوجِد المشتقة باستخدام قاعدة الضرب التي تنص على أن $\frac{d}{d x} [f (x) g (x)]$ هو $f (x) \frac{d}{d x} [g (x)] + g (x) \frac{d}{d x} [f (x)]$ حيث $f (x) = x^{3} - 12 x$ و $g (x) = 3 x^{2} + 2 x$ .

$(x^{3} - 12 x) \frac{d}{d x} [3 x^{2} + 2 x] + (3 x^{2} + 2 x) \frac{d}{d x} [x^{3} - 12 x]$

خطوة 2

أوجِد المشتقة.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 2.1

وفقًا لقاعدة الجمع، فإن مشتق $3 x^{2} + 2 x$ بالنسبة إلى $x$ هو $\frac{d}{d x} [3 x^{2}] + \frac{d}{d x} [2 x]$ .

$(x^{3} - 12 x) (\frac{d}{d x} [3 x^{2}] + \frac{d}{d x} [2 x]) + (3 x^{2} + 2 x) \frac{d}{d x} [x^{3} - 12 x]$

خطوة 2.2

بما أن $3$ عدد ثابت بالنسبة إلى $x$ ، إذن مشتق $3 x^{2}$ بالنسبة إلى $x$ يساوي $3 \frac{d}{d x} [x^{2}]$ .

$(x^{3} - 12 x) (3 \frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [2 x]) + (3 x^{2} + 2 x) \frac{d}{d x} [x^{3} - 12 x]$

خطوة 2.3

أوجِد المشتقة باستخدام قاعدة القوة التي تنص على أن $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ هو $n x^{n - 1}$ حيث $n = 2$ .

$(x^{3} - 12 x) (3 (2 x) + \frac{d}{d x} [2 x]) + (3 x^{2} + 2 x) \frac{d}{d x} [x^{3} - 12 x]$

خطوة 2.4

اضرب $2$ في $3$ .

$(x^{3} - 12 x) (6 x + \frac{d}{d x} [2 x]) + (3 x^{2} + 2 x) \frac{d}{d x} [x^{3} - 12 x]$

خطوة 2.5

بما أن $2$ عدد ثابت بالنسبة إلى $x$ ، إذن مشتق $2 x$ بالنسبة إلى $x$ يساوي $2 \frac{d}{d x} [x]$ .

$(x^{3} - 12 x) (6 x + 2 \frac{d}{d x} [x]) + (3 x^{2} + 2 x) \frac{d}{d x} [x^{3} - 12 x]$

خطوة 2.6

أوجِد المشتقة باستخدام قاعدة القوة التي تنص على أن $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ هو $n x^{n - 1}$ حيث $n = 1$ .

$(x^{3} - 12 x) (6 x + 2 \cdot 1) + (3 x^{2} + 2 x) \frac{d}{d x} [x^{3} - 12 x]$

خطوة 2.7

اضرب $2$ في $1$ .

$(x^{3} - 12 x) (6 x + 2) + (3 x^{2} + 2 x) \frac{d}{d x} [x^{3} - 12 x]$

خطوة 2.8

وفقًا لقاعدة الجمع، فإن مشتق $x^{3} - 12 x$ بالنسبة إلى $x$ هو $\frac{d}{d x} [x^{3}] + \frac{d}{d x} [- 12 x]$ .

$(x^{3} - 12 x) (6 x + 2) + (3 x^{2} + 2 x) (\frac{d}{d x} [x^{3}] + \frac{d}{d x} [- 12 x])$

خطوة 2.9

أوجِد المشتقة باستخدام قاعدة القوة التي تنص على أن $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ هو $n x^{n - 1}$ حيث $n = 3$ .

$(x^{3} - 12 x) (6 x + 2) + (3 x^{2} + 2 x) (3 x^{2} + \frac{d}{d x} [- 12 x])$

خطوة 2.10

بما أن $- 12$ عدد ثابت بالنسبة إلى $x$ ، إذن مشتق $- 12 x$ بالنسبة إلى $x$ يساوي $- 12 \frac{d}{d x} [x]$ .

$(x^{3} - 12 x) (6 x + 2) + (3 x^{2} + 2 x) (3 x^{2} - 12 \frac{d}{d x} [x])$

خطوة 2.11

أوجِد المشتقة باستخدام قاعدة القوة التي تنص على أن $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ هو $n x^{n - 1}$ حيث $n = 1$ .

$(x^{3} - 12 x) (6 x + 2) + (3 x^{2} + 2 x) (3 x^{2} - 12 \cdot 1)$

خطوة 2.12

اضرب $- 12$ في $1$ .

$(x^{3} - 12 x) (6 x + 2) + (3 x^{2} + 2 x) (3 x^{2} - 12)$

خطوة 3

بسّط.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 3.1

أخرِج العامل $1$ من $(x^{3} - 12 x) (6 x + 2) + (3 x^{2} + 2 x) (3 x^{2} - 12)$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 3.1.1

أخرِج العامل $1$ من $(x^{3} - 12 x) (6 x + 2)$ .

$1 ((x^{3} - 12 x) (6 x + 2)) + (3 x^{2} + 2 x) (3 x^{2} - 12)$

خطوة 3.1.2

أخرِج العامل $1$ من $(3 x^{2} + 2 x) (3 x^{2} - 12)$ .

$1 ((x^{3} - 12 x) (6 x + 2)) + 1 ((3 x^{2} + 2 x) (3 x^{2} - 12))$

خطوة 3.1.3

أخرِج العامل $1$ من $1 ((x^{3} - 12 x) (6 x + 2)) + 1 ((3 x^{2} + 2 x) (3 x^{2} - 12))$ .

$1 ((x^{3} - 12 x) (6 x + 2) + (3 x^{2} + 2 x) (3 x^{2} - 12))$

خطوة 3.2

اضرب $(x^{3} - 12 x) (6 x + 2) + (3 x^{2} + 2 x) (3 x^{2} - 12)$ في $1$ .

$(x^{3} - 12 x) (6 x + 2) + (3 x^{2} + 2 x) (3 x^{2} - 12)$

خطوة 3.3

أعِد ترتيب الحدود.

$(6 x + 2) (x^{3} - 12 x) + (3 x^{2} + 2 x) (3 x^{2} - 12)$

خطوة 3.4

بسّط كل حد.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 3.4.1

وسّع $(6 x + 2) (x^{3} - 12 x)$ باستخدام طريقة "الأول، الخارجي، الداخلي، الأخير".

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 3.4.1.1

طبّق خاصية التوزيع.

$6 x (x^{3} - 12 x) + 2 (x^{3} - 12 x) + (3 x^{2} + 2 x) (3 x^{2} - 12)$

خطوة 3.4.1.2

طبّق خاصية التوزيع.

$6 x \cdot x^{3} + 6 x (- 12 x) + 2 (x^{3} - 12 x) + (3 x^{2} + 2 x) (3 x^{2} - 12)$

خطوة 3.4.1.3

طبّق خاصية التوزيع.

$6 x \cdot x^{3} + 6 x (- 12 x) + 2 x^{3} + 2 (- 12 x) + (3 x^{2} + 2 x) (3 x^{2} - 12)$

خطوة 3.4.2

بسّط كل حد.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 3.4.2.1

اضرب $x$ في $x^{3}$ بجمع الأُسس.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 3.4.2.1.1

انقُل $x^{3}$ .

$6 (x^{3} x) + 6 x (- 12 x) + 2 x^{3} + 2 (- 12 x) + (3 x^{2} + 2 x) (3 x^{2} - 12)$

خطوة 3.4.2.1.2

اضرب $x^{3}$ في $x$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 3.4.2.1.2.1

ارفع $x$ إلى القوة $1$ .

$6 (x^{3} x^{1}) + 6 x (- 12 x) + 2 x^{3} + 2 (- 12 x) + (3 x^{2} + 2 x) (3 x^{2} - 12)$

خطوة 3.4.2.1.2.2

استخدِم قاعدة القوة $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ لتجميع الأُسس.

$6 x^{3 + 1} + 6 x (- 12 x) + 2 x^{3} + 2 (- 12 x) + (3 x^{2} + 2 x) (3 x^{2} - 12)$

خطوة 3.4.2.1.3

أضف $3$ و $1$ .

$6 x^{4} + 6 x (- 12 x) + 2 x^{3} + 2 (- 12 x) + (3 x^{2} + 2 x) (3 x^{2} - 12)$

خطوة 3.4.2.2

أعِد الكتابة باستخدام خاصية الإبدال لعملية الضرب.

$6 x^{4} + 6 \cdot - 12 x \cdot x + 2 x^{3} + 2 (- 12 x) + (3 x^{2} + 2 x) (3 x^{2} - 12)$

خطوة 3.4.2.3

اضرب $x$ في $x$ بجمع الأُسس.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 3.4.2.3.1

انقُل $x$ .

$6 x^{4} + 6 \cdot - 12 (x \cdot x) + 2 x^{3} + 2 (- 12 x) + (3 x^{2} + 2 x) (3 x^{2} - 12)$

خطوة 3.4.2.3.2

اضرب $x$ في $x$ .

$6 x^{4} + 6 \cdot - 12 x^{2} + 2 x^{3} + 2 (- 12 x) + (3 x^{2} + 2 x) (3 x^{2} - 12)$

خطوة 3.4.2.4

اضرب $6$ في $- 12$ .

$6 x^{4} - 72 x^{2} + 2 x^{3} + 2 (- 12 x) + (3 x^{2} + 2 x) (3 x^{2} - 12)$

خطوة 3.4.2.5

اضرب $- 12$ في $2$ .

$6 x^{4} - 72 x^{2} + 2 x^{3} - 24 x + (3 x^{2} + 2 x) (3 x^{2} - 12)$

خطوة 3.4.3

وسّع $(3 x^{2} + 2 x) (3 x^{2} - 12)$ باستخدام طريقة "الأول، الخارجي، الداخلي، الأخير".

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 3.4.3.1

طبّق خاصية التوزيع.

$6 x^{4} - 72 x^{2} + 2 x^{3} - 24 x + 3 x^{2} (3 x^{2} - 12) + 2 x (3 x^{2} - 12)$

خطوة 3.4.3.2

طبّق خاصية التوزيع.

$6 x^{4} - 72 x^{2} + 2 x^{3} - 24 x + 3 x^{2} (3 x^{2}) + 3 x^{2} \cdot - 12 + 2 x (3 x^{2} - 12)$

خطوة 3.4.3.3

طبّق خاصية التوزيع.

$6 x^{4} - 72 x^{2} + 2 x^{3} - 24 x + 3 x^{2} (3 x^{2}) + 3 x^{2} \cdot - 12 + 2 x (3 x^{2}) + 2 x \cdot - 12$

خطوة 3.4.4

بسّط كل حد.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 3.4.4.1

أعِد الكتابة باستخدام خاصية الإبدال لعملية الضرب.

$6 x^{4} - 72 x^{2} + 2 x^{3} - 24 x + 3 \cdot 3 x^{2} x^{2} + 3 x^{2} \cdot - 12 + 2 x (3 x^{2}) + 2 x \cdot - 12$

خطوة 3.4.4.2

اضرب $x^{2}$ في $x^{2}$ بجمع الأُسس.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 3.4.4.2.1

انقُل $x^{2}$ .

$6 x^{4} - 72 x^{2} + 2 x^{3} - 24 x + 3 \cdot 3 (x^{2} x^{2}) + 3 x^{2} \cdot - 12 + 2 x (3 x^{2}) + 2 x \cdot - 12$

خطوة 3.4.4.2.2

استخدِم قاعدة القوة $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ لتجميع الأُسس.

$6 x^{4} - 72 x^{2} + 2 x^{3} - 24 x + 3 \cdot 3 x^{2 + 2} + 3 x^{2} \cdot - 12 + 2 x (3 x^{2}) + 2 x \cdot - 12$

خطوة 3.4.4.2.3

أضف $2$ و $2$ .

$6 x^{4} - 72 x^{2} + 2 x^{3} - 24 x + 3 \cdot 3 x^{4} + 3 x^{2} \cdot - 12 + 2 x (3 x^{2}) + 2 x \cdot - 12$

خطوة 3.4.4.3

اضرب $3$ في $3$ .

$6 x^{4} - 72 x^{2} + 2 x^{3} - 24 x + 9 x^{4} + 3 x^{2} \cdot - 12 + 2 x (3 x^{2}) + 2 x \cdot - 12$

خطوة 3.4.4.4

اضرب $- 12$ في $3$ .

$6 x^{4} - 72 x^{2} + 2 x^{3} - 24 x + 9 x^{4} - 36 x^{2} + 2 x (3 x^{2}) + 2 x \cdot - 12$

خطوة 3.4.4.5

أعِد الكتابة باستخدام خاصية الإبدال لعملية الضرب.

$6 x^{4} - 72 x^{2} + 2 x^{3} - 24 x + 9 x^{4} - 36 x^{2} + 2 \cdot 3 x \cdot x^{2} + 2 x \cdot - 12$

خطوة 3.4.4.6

اضرب $x$ في $x^{2}$ بجمع الأُسس.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 3.4.4.6.1

انقُل $x^{2}$ .

$6 x^{4} - 72 x^{2} + 2 x^{3} - 24 x + 9 x^{4} - 36 x^{2} + 2 \cdot 3 (x^{2} x) + 2 x \cdot - 12$

خطوة 3.4.4.6.2

اضرب $x^{2}$ في $x$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 3.4.4.6.2.1

ارفع $x$ إلى القوة $1$ .

$6 x^{4} - 72 x^{2} + 2 x^{3} - 24 x + 9 x^{4} - 36 x^{2} + 2 \cdot 3 (x^{2} x^{1}) + 2 x \cdot - 12$

خطوة 3.4.4.6.2.2

استخدِم قاعدة القوة $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ لتجميع الأُسس.

$6 x^{4} - 72 x^{2} + 2 x^{3} - 24 x + 9 x^{4} - 36 x^{2} + 2 \cdot 3 x^{2 + 1} + 2 x \cdot - 12$

خطوة 3.4.4.6.3

أضف $2$ و $1$ .

$6 x^{4} - 72 x^{2} + 2 x^{3} - 24 x + 9 x^{4} - 36 x^{2} + 2 \cdot 3 x^{3} + 2 x \cdot - 12$

خطوة 3.4.4.7

اضرب $2$ في $3$ .

$6 x^{4} - 72 x^{2} + 2 x^{3} - 24 x + 9 x^{4} - 36 x^{2} + 6 x^{3} + 2 x \cdot - 12$

خطوة 3.4.4.8

اضرب $- 12$ في $2$ .

$6 x^{4} - 72 x^{2} + 2 x^{3} - 24 x + 9 x^{4} - 36 x^{2} + 6 x^{3} - 24 x$

خطوة 3.5

أضف $6 x^{4}$ و $9 x^{4}$ .

$15 x^{4} - 72 x^{2} + 2 x^{3} - 24 x - 36 x^{2} + 6 x^{3} - 24 x$

خطوة 3.6

اطرح $36 x^{2}$ من $- 72 x^{2}$ .

$15 x^{4} - 108 x^{2} + 2 x^{3} - 24 x + 6 x^{3} - 24 x$

خطوة 3.7

أضف $2 x^{3}$ و $6 x^{3}$ .

$15 x^{4} - 108 x^{2} + 8 x^{3} - 24 x - 24 x$

خطوة 3.8

اطرح $24 x$ من $- 24 x$ .

$15 x^{4} - 108 x^{2} + 8 x^{3} - 48 x$