حساب التفاضل والتكامل الأمثلة

$lim_{x \to \infty} {(1 + \frac{a}{x})}^{x}$

خطوة 1

جمّع الحدود.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 1.1

اكتب $1$ في صورة كسر ذي قاسم مشترك.

$lim_{x \to \infty} {(\frac{x}{x} + \frac{a}{x})}^{x}$

خطوة 1.2

اجمع البسوط على القاسم المشترك.

$lim_{x \to \infty} {(\frac{x + a}{x})}^{x}$

خطوة 2

استخدِم خصائص اللوغاريتمات لتبسيط النهاية.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 2.1

أعِد كتابة ${(\frac{x + a}{x})}^{x}$ بالصيغة $e^{\ln ({(\frac{x + a}{x})}^{x})}$ .

$lim_{x \to \infty} e^{\ln ({(\frac{x + a}{x})}^{x})}$

خطوة 2.2

وسّع $\ln ({(\frac{x + a}{x})}^{x})$ بنقل $x$ خارج اللوغاريتم.

$lim_{x \to \infty} e^{x \ln (\frac{x + a}{x})}$

خطوة 3

انقُل النهاية إلى الأُس.

$e^{lim_{x \to \infty} x \ln (\frac{x + a}{x})}$

خطوة 4

أعِد كتابة $x \ln (\frac{x + a}{x})$ بالصيغة $\frac{\ln (\frac{x + a}{x})}{\frac{1}{x}}$ .

$e^{lim_{x \to \infty} \frac{\ln (\frac{x + a}{x})}{\frac{1}{x}}}$

خطوة 5

طبّق قاعدة لوبيتال.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 5.1

احسِب قيمة حد بسط الكسر وحد القاسم.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 5.1.1

خُذ نهاية بسط الكسر ونهاية القاسم.

$e^{\frac{lim_{x \to \infty} \ln (\frac{x + a}{x})}{lim_{x \to \infty} \frac{1}{x}}}$

خطوة 5.1.2

احسِب قيمة حد بسط الكسر.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 5.1.2.1

انقُل النهاية داخل اللوغاريتم.

$e^{\frac{\ln (lim_{x \to \infty} \frac{x + a}{x})}{lim_{x \to \infty} \frac{1}{x}}}$

خطوة 5.1.2.2

اقسِم بسط الكسر والقاسم على أعلى قوة لـ $x$ في القاسم، وهي $x$ .

$e^{\frac{\ln (lim_{x \to \infty} \frac{\frac{x}{x} + \frac{a}{x}}{\frac{x}{x}})}{lim_{x \to \infty} \frac{1}{x}}}$

خطوة 5.1.2.3

احسِب قيمة النهاية.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 5.1.2.3.1

ألغِ العامل المشترك لـ $x$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 5.1.2.3.1.1

ألغِ العامل المشترك.

$e^{\frac{\ln (lim_{x \to \infty} \frac{\frac{x}{x} + \frac{a}{x}}{\frac{x}{x}})}{lim_{x \to \infty} \frac{1}{x}}}$

خطوة 5.1.2.3.1.2

أعِد كتابة العبارة.

$e^{\frac{\ln (lim_{x \to \infty} \frac{1 + \frac{a}{x}}{\frac{x}{x}})}{lim_{x \to \infty} \frac{1}{x}}}$

خطوة 5.1.2.3.2

ألغِ العامل المشترك لـ $x$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 5.1.2.3.2.1

ألغِ العامل المشترك.

$e^{\frac{\ln (lim_{x \to \infty} \frac{1 + \frac{a}{x}}{\frac{x}{x}})}{lim_{x \to \infty} \frac{1}{x}}}$

خطوة 5.1.2.3.2.2

أعِد كتابة العبارة.

$e^{\frac{\ln (lim_{x \to \infty} \frac{1 + \frac{a}{x}}{1})}{lim_{x \to \infty} \frac{1}{x}}}$

خطوة 5.1.2.3.3

قسّم النهاية بتطبيق قاعدة قسمة النهايات على النهاية بينما يقترب $x$ من $\infty$ .

$e^{\frac{\ln (\frac{lim_{x \to \infty} 1 + \frac{a}{x}}{lim_{x \to \infty} 1})}{lim_{x \to \infty} \frac{1}{x}}}$

خطوة 5.1.2.3.4

قسّم النهاية بتطبيق قاعدة مجموع النهايات على النهاية بينما يقترب $x$ من $\infty$ .

$e^{\frac{\ln (\frac{lim_{x \to \infty} 1 + lim_{x \to \infty} \frac{a}{x}}{lim_{x \to \infty} 1})}{lim_{x \to \infty} \frac{1}{x}}}$

خطوة 5.1.2.3.5

احسِب قيمة حد $1$ الذي يظل ثابتًا مع اقتراب $x$ من $\infty$ .

$e^{\frac{\ln (\frac{1 + lim_{x \to \infty} \frac{a}{x}}{lim_{x \to \infty} 1})}{lim_{x \to \infty} \frac{1}{x}}}$

خطوة 5.1.2.3.6

انقُل الحد $a$ خارج النهاية لأنه ثابت بالنسبة إلى $x$ .

$e^{\frac{\ln (\frac{1 + a lim_{x \to \infty} \frac{1}{x}}{lim_{x \to \infty} 1})}{lim_{x \to \infty} \frac{1}{x}}}$

خطوة 5.1.2.4

بما أن بسط الكسر يقترب من عدد حقيقي بينما يُعد قاسمه غير محدود، إذن الكسر $\frac{1}{x}$ يقترب من $0$ .

$e^{\frac{\ln (\frac{1 + a \cdot 0}{lim_{x \to \infty} 1})}{lim_{x \to \infty} \frac{1}{x}}}$

خطوة 5.1.2.5

احسِب قيمة النهاية.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 5.1.2.5.1

احسِب قيمة حد $1$ الذي يظل ثابتًا مع اقتراب $x$ من $\infty$ .

$e^{\frac{\ln (\frac{1 + a \cdot 0}{1})}{lim_{x \to \infty} \frac{1}{x}}}$

خطوة 5.1.2.5.2

بسّط الإجابة.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 5.1.2.5.2.1

اقسِم $1 + a \cdot 0$ على $1$ .

$e^{\frac{\ln (1 + a \cdot 0)}{lim_{x \to \infty} \frac{1}{x}}}$

خطوة 5.1.2.5.2.2

اضرب $a$ في $0$ .

$e^{\frac{\ln (1 + 0)}{lim_{x \to \infty} \frac{1}{x}}}$

خطوة 5.1.2.5.2.3

أضف $1$ و $0$ .

$e^{\frac{\ln (1)}{lim_{x \to \infty} \frac{1}{x}}}$

خطوة 5.1.2.5.2.4

اللوغاريتم الطبيعي لـ $1$ يساوي $0$ .

$e^{\frac{0}{lim_{x \to \infty} \frac{1}{x}}}$

خطوة 5.1.3

بما أن بسط الكسر يقترب من عدد حقيقي بينما يُعد قاسمه غير محدود، إذن الكسر $\frac{1}{x}$ يقترب من $0$ .

$e^{\frac{0}{0}}$

خطوة 5.1.4

تتضمن العبارة قسمة على $0$ . العبارة غير معرّفة.

غير معرّف

$e^{\frac{0}{0}}$

خطوة 5.2

بما أن $\frac{0}{0}$ مكتوبة بصيغة غير معيّنة، طبّق قاعدة لوبيتال. تنص قاعدة لوبيتال على أن نهاية ناتج قسمة الدوال يساوي نهاية ناتج قسمة مشتقاتها.

$lim_{x \to \infty} \frac{\ln (\frac{x + a}{x})}{\frac{1}{x}} = lim_{x \to \infty} \frac{\frac{d}{d x} [\ln (\frac{x + a}{x})]}{\frac{d}{d x} [\frac{1}{x}]}$

خطوة 5.3

أوجِد مشتق بسط الكسر والقاسم.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 5.3.1

أوجِد مشتقة البسط والقاسم.

$e^{lim_{x \to \infty} \frac{\frac{d}{d x} [\ln (\frac{x + a}{x})]}{\frac{d}{d x} [\frac{1}{x}]}}$

خطوة 5.3.2

أوجِد المشتقة باستخدام قاعدة السلسلة، والتي تنص على أن $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ هو $f' (g (x)) g' (x)$ حيث $f (x) = \ln (x)$ و $g (x) = \frac{x + a}{x}$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 5.3.2.1

لتطبيق قاعدة السلسلة، عيّن قيمة $u$ لتصبح $\frac{x + a}{x}$ .

$e^{lim_{x \to \infty} \frac{\frac{d}{d u} [\ln (u)] \frac{d}{d x} [\frac{x + a}{x}]}{\frac{d}{d x} [\frac{1}{x}]}}$

خطوة 5.3.2.2

مشتق $\ln (u)$ بالنسبة إلى $u$ يساوي $\frac{1}{u}$ .

$e^{lim_{x \to \infty} \frac{\frac{1}{u} \frac{d}{d x} [\frac{x + a}{x}]}{\frac{d}{d x} [\frac{1}{x}]}}$

خطوة 5.3.2.3

استبدِل كافة حالات حدوث $u$ بـ $\frac{x + a}{x}$ .

$e^{lim_{x \to \infty} \frac{\frac{1}{\frac{x + a}{x}} \frac{d}{d x} [\frac{x + a}{x}]}{\frac{d}{d x} [\frac{1}{x}]}}$

خطوة 5.3.3

اضرب في مقلوب الكسر للقسمة على $\frac{x + a}{x}$ .

$e^{lim_{x \to \infty} \frac{1 \frac{x}{x + a} \frac{d}{d x} [\frac{x + a}{x}]}{\frac{d}{d x} [\frac{1}{x}]}}$

خطوة 5.3.4

اضرب $\frac{x}{x + a}$ في $1$ .

$e^{lim_{x \to \infty} \frac{\frac{x}{x + a} \frac{d}{d x} [\frac{x + a}{x}]}{\frac{d}{d x} [\frac{1}{x}]}}$

خطوة 5.3.5

أوجِد المشتقة باستخدام قاعدة القسمة التي تنص على أن $\frac{d}{d x} [\frac{f (x)}{g (x)}]$ هو $\frac{g (x) \frac{d}{d x} [f (x)] - f (x) \frac{d}{d x} [g (x)]}{{g (x)}^{2}}$ حيث $f (x) = x + a$ و $g (x) = x$ .

$e^{lim_{x \to \infty} \frac{\frac{x}{x + a} \cdot \frac{x \frac{d}{d x} [x + a] - (x + a) \frac{d}{d x} [x]}{x^{2}}}{\frac{d}{d x} [\frac{1}{x}]}}$

خطوة 5.3.6

وفقًا لقاعدة الجمع، فإن مشتق $x + a$ بالنسبة إلى $x$ هو $\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [a]$ .

$e^{lim_{x \to \infty} \frac{\frac{x}{x + a} \cdot \frac{x (\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [a]) - (x + a) \frac{d}{d x} [x]}{x^{2}}}{\frac{d}{d x} [\frac{1}{x}]}}$

خطوة 5.3.7

أوجِد المشتقة باستخدام قاعدة القوة التي تنص على أن $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ هو $n x^{n - 1}$ حيث $n = 1$ .

$e^{lim_{x \to \infty} \frac{\frac{x}{x + a} \cdot \frac{x (1 + \frac{d}{d x} [a]) - (x + a) \frac{d}{d x} [x]}{x^{2}}}{\frac{d}{d x} [\frac{1}{x}]}}$

خطوة 5.3.8

بما أن $a$ عدد ثابت بالنسبة إلى $x$ ، فإن مشتق $a$ بالنسبة إلى $x$ هو $0$ .

$e^{lim_{x \to \infty} \frac{\frac{x}{x + a} \cdot \frac{x (1 + 0) - (x + a) \frac{d}{d x} [x]}{x^{2}}}{\frac{d}{d x} [\frac{1}{x}]}}$

خطوة 5.3.9

أضف $1$ و $0$ .

$e^{lim_{x \to \infty} \frac{\frac{x}{x + a} \cdot \frac{x \cdot 1 - (x + a) \frac{d}{d x} [x]}{x^{2}}}{\frac{d}{d x} [\frac{1}{x}]}}$

خطوة 5.3.10

اضرب $x$ في $1$ .

$e^{lim_{x \to \infty} \frac{\frac{x}{x + a} \cdot \frac{x - (x + a) \frac{d}{d x} [x]}{x^{2}}}{\frac{d}{d x} [\frac{1}{x}]}}$

خطوة 5.3.11

أوجِد المشتقة باستخدام قاعدة القوة التي تنص على أن $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ هو $n x^{n - 1}$ حيث $n = 1$ .

$e^{lim_{x \to \infty} \frac{\frac{x}{x + a} \cdot \frac{x - (x + a) \cdot 1}{x^{2}}}{\frac{d}{d x} [\frac{1}{x}]}}$

خطوة 5.3.12

اضرب $- 1$ في $1$ .

$e^{lim_{x \to \infty} \frac{\frac{x}{x + a} \cdot \frac{x - (x + a)}{x^{2}}}{\frac{d}{d x} [\frac{1}{x}]}}$

خطوة 5.3.13

اضرب $\frac{x}{x + a}$ في $\frac{x - (x + a)}{x^{2}}$ .

$e^{lim_{x \to \infty} \frac{\frac{x (x - (x + a))}{(x + a) x^{2}}}{\frac{d}{d x} [\frac{1}{x}]}}$

خطوة 5.3.14

ألغِ العوامل المشتركة.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 5.3.14.1

أخرِج العامل $x$ من $(x + a) x^{2}$ .

$e^{lim_{x \to \infty} \frac{\frac{x (x - (x + a))}{x (x + a) x}}{\frac{d}{d x} [\frac{1}{x}]}}$

خطوة 5.3.14.2

ألغِ العامل المشترك.

$e^{lim_{x \to \infty} \frac{\frac{x (x - (x + a))}{x (x + a) x}}{\frac{d}{d x} [\frac{1}{x}]}}$

خطوة 5.3.14.3

أعِد كتابة العبارة.

$e^{lim_{x \to \infty} \frac{\frac{x - (x + a)}{(x + a) x}}{\frac{d}{d x} [\frac{1}{x}]}}$

خطوة 5.3.15

بسّط.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 5.3.15.1

طبّق خاصية التوزيع.

$e^{lim_{x \to \infty} \frac{\frac{x - x - a}{(x + a) x}}{\frac{d}{d x} [\frac{1}{x}]}}$

خطوة 5.3.15.2

طبّق خاصية التوزيع.

$e^{lim_{x \to \infty} \frac{\frac{x - x - a}{x \cdot x + a x}}{\frac{d}{d x} [\frac{1}{x}]}}$

خطوة 5.3.15.3

بسّط بَسْط الكسر.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 5.3.15.3.1

اطرح $x$ من $x$ .

$e^{lim_{x \to \infty} \frac{\frac{0 - a}{x \cdot x + a x}}{\frac{d}{d x} [\frac{1}{x}]}}$

خطوة 5.3.15.3.2

اطرح $a$ من $0$ .

$e^{lim_{x \to \infty} \frac{\frac{- a}{x \cdot x + a x}}{\frac{d}{d x} [\frac{1}{x}]}}$

خطوة 5.3.15.4

جمّع الحدود.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 5.3.15.4.1

ارفع $x$ إلى القوة $1$ .

$e^{lim_{x \to \infty} \frac{\frac{- a}{x^{1} x + a x}}{\frac{d}{d x} [\frac{1}{x}]}}$

خطوة 5.3.15.4.2

ارفع $x$ إلى القوة $1$ .

$e^{lim_{x \to \infty} \frac{\frac{- a}{x^{1} x^{1} + a x}}{\frac{d}{d x} [\frac{1}{x}]}}$

خطوة 5.3.15.4.3

استخدِم قاعدة القوة $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ لتجميع الأُسس.

$e^{lim_{x \to \infty} \frac{\frac{- a}{x^{1 + 1} + a x}}{\frac{d}{d x} [\frac{1}{x}]}}$

خطوة 5.3.15.4.4

أضف $1$ و $1$ .

$e^{lim_{x \to \infty} \frac{\frac{- a}{x^{2} + a x}}{\frac{d}{d x} [\frac{1}{x}]}}$

خطوة 5.3.15.4.5

انقُل السالب أمام الكسر.

$e^{lim_{x \to \infty} \frac{- \frac{a}{x^{2} + a x}}{\frac{d}{d x} [\frac{1}{x}]}}$

خطوة 5.3.15.5

أخرِج العامل $x$ من $x^{2} + a x$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 5.3.15.5.1

أخرِج العامل $x$ من $x^{2}$ .

$e^{lim_{x \to \infty} \frac{- \frac{a}{x \cdot x + a x}}{\frac{d}{d x} [\frac{1}{x}]}}$

خطوة 5.3.15.5.2

أخرِج العامل $x$ من $a x$ .

$e^{lim_{x \to \infty} \frac{- \frac{a}{x \cdot x + x a}}{\frac{d}{d x} [\frac{1}{x}]}}$

خطوة 5.3.15.5.3

أخرِج العامل $x$ من $x \cdot x + x a$ .

$e^{lim_{x \to \infty} \frac{- \frac{a}{x (x + a)}}{\frac{d}{d x} [\frac{1}{x}]}}$

خطوة 5.3.16

أعِد كتابة $\frac{1}{x}$ بالصيغة $x^{- 1}$ .

$e^{lim_{x \to \infty} \frac{- \frac{a}{x (x + a)}}{\frac{d}{d x} [x^{- 1}]}}$

خطوة 5.3.17

أوجِد المشتقة باستخدام قاعدة القوة التي تنص على أن $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ هو $n x^{n - 1}$ حيث $n = - 1$ .

$e^{lim_{x \to \infty} \frac{- \frac{a}{x (x + a)}}{- x^{- 2}}}$

خطوة 5.3.18

أعِد كتابة العبارة باستخدام قاعدة الأُسس السالبة $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$e^{lim_{x \to \infty} \frac{- \frac{a}{x (x + a)}}{- \frac{1}{x^{2}}}}$

خطوة 5.4

اضرب بسط الكسر في مقلوب القاسم.

$e^{lim_{x \to \infty} - \frac{a}{x (x + a)} \cdot - 1 x^{2}}$

خطوة 5.5

جمّع العوامل.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 5.5.1

اضرب $- 1$ في $- 1$ .

$e^{lim_{x \to \infty} 1 \frac{a}{x (x + a)} x^{2}}$

خطوة 5.5.2

اضرب $\frac{a}{x (x + a)}$ في $1$ .

$e^{lim_{x \to \infty} \frac{a}{x (x + a)} x^{2}}$

خطوة 5.5.3

اجمع $\frac{a}{x (x + a)}$ و $x^{2}$ .

$e^{lim_{x \to \infty} \frac{a x^{2}}{x (x + a)}}$

خطوة 5.6

احذِف العامل المشترك لـ $x^{2}$ و $x$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 5.6.1

أخرِج العامل $x$ من $a x^{2}$ .

$e^{lim_{x \to \infty} \frac{x a x}{x (x + a)}}$

خطوة 5.6.2

ألغِ العوامل المشتركة.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 5.6.2.1

ألغِ العامل المشترك.

$e^{lim_{x \to \infty} \frac{x a x}{x (x + a)}}$

خطوة 5.6.2.2

أعِد كتابة العبارة.

$e^{lim_{x \to \infty} \frac{a x}{x + a}}$

خطوة 6

انقُل الحد $a$ خارج النهاية لأنه ثابت بالنسبة إلى $x$ .

$e^{a lim_{x \to \infty} \frac{x}{x + a}}$

خطوة 7

اقسِم بسط الكسر والقاسم على أعلى قوة لـ $x$ في القاسم، وهي $x$ .

$e^{a lim_{x \to \infty} \frac{\frac{x}{x}}{\frac{x}{x} + \frac{a}{x}}}$

خطوة 8

احسِب قيمة النهاية.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 8.1

ألغِ العامل المشترك لـ $x$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 8.1.1

ألغِ العامل المشترك.

$e^{a lim_{x \to \infty} \frac{\frac{x}{x}}{\frac{x}{x} + \frac{a}{x}}}$

خطوة 8.1.2

أعِد كتابة العبارة.

$e^{a lim_{x \to \infty} \frac{1}{\frac{x}{x} + \frac{a}{x}}}$

خطوة 8.2

ألغِ العامل المشترك لـ $x$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 8.2.1

ألغِ العامل المشترك.

$e^{a lim_{x \to \infty} \frac{1}{\frac{x}{x} + \frac{a}{x}}}$

خطوة 8.2.2

أعِد كتابة العبارة.

$e^{a lim_{x \to \infty} \frac{1}{1 + \frac{a}{x}}}$

خطوة 8.3

قسّم النهاية بتطبيق قاعدة قسمة النهايات على النهاية بينما يقترب $x$ من $\infty$ .

$e^{a \frac{lim_{x \to \infty} 1}{lim_{x \to \infty} 1 + \frac{a}{x}}}$

خطوة 8.4

احسِب قيمة حد $1$ الذي يظل ثابتًا مع اقتراب $x$ من $\infty$ .

$e^{a \frac{1}{lim_{x \to \infty} 1 + \frac{a}{x}}}$

خطوة 8.5

قسّم النهاية بتطبيق قاعدة مجموع النهايات على النهاية بينما يقترب $x$ من $\infty$ .

$e^{a \frac{1}{lim_{x \to \infty} 1 + lim_{x \to \infty} \frac{a}{x}}}$

خطوة 8.6

احسِب قيمة حد $1$ الذي يظل ثابتًا مع اقتراب $x$ من $\infty$ .

$e^{a \frac{1}{1 + lim_{x \to \infty} \frac{a}{x}}}$

خطوة 8.7

انقُل الحد $a$ خارج النهاية لأنه ثابت بالنسبة إلى $x$ .

$e^{a \frac{1}{1 + a lim_{x \to \infty} \frac{1}{x}}}$

خطوة 9

بما أن بسط الكسر يقترب من عدد حقيقي بينما يُعد قاسمه غير محدود، إذن الكسر $\frac{1}{x}$ يقترب من $0$ .

$e^{a \frac{1}{1 + a \cdot 0}}$

خطوة 10

بسّط الإجابة.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 10.1

بسّط القاسم.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 10.1.1

اضرب $a$ في $0$ .

$e^{a \frac{1}{1 + 0}}$

خطوة 10.1.2

أضف $1$ و $0$ .

$e^{a \frac{1}{1}}$

خطوة 10.2

اقسِم $1$ على $1$ .

$e^{a \cdot 1}$

خطوة 10.3

اضرب $a$ في $1$ .

$e^{a}$